How special is your Aronszajn tree?
Chaz Schlindwein
以下是一致的：存在一个平稳集S使得每个Aronszajn树是S-*-特殊的，并且存在一个Aronszajn树T使得对于每个无界的E，我们有T不是E-特殊的。这就回答了Shelah的一个问题（正确和不正确的强迫，IX.4.9（5）。
The following is consistent: There is a stationary set S such that every Aronszajn tree is S-*-special and there is an Aronszajn tree T such that for every unbounded E we have T is not E-special. This answers a question of Shelah (Proper and Improper Forcing, IX.4.9(5).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Specializing Aronszajn trees by countable approximations
我们表明，有适当的强迫基于可数树的生物，专门给定的Aronszajn树。
The Special Aronszajn Tree Property
假设存在一个真的超紧基数类，我们强迫对每一个正则基数$κ$，都存在$κ^+$ -Aronszajn树，并且所有这样的树都是特殊的.
Universal wide Aronszajn tree
本文在弱紧致基数一致性假设下，证明存在一棵包含所有宽 Aronszajn 树同构副本的通用宽 Aronszajn 树。
A Large Pairwise Far Family of Aronszajn Trees
利用Brodsky-Rinot的代理原理，构造了一类不含俱乐部同构子树的正规$κ$ -完全$\mathbb{R}_κ$-可嵌入非特殊$κ^+$ -Aronszajn树.
Club isomorphisms on higher Aronszajn trees
我们证明的一致性，假设一个不可言喻的基数，任何两个正常的可数闭$ω_2$ -Aronszajn树俱乐部同构。这项工作推广到更高的基数的属性Abraham-Shelah，任何两个正常的$ω_1$ -Aronszajn树俱乐部同构，从$\textsf{PFA}$。任何两个正规可数闭$ω_2$ -Aronszajn树是俱乐部同构的陈述意味着不存在$ω_2$ -Suslin树，因此我们的证明也扩展了Laver-Shelah获得$ω_2$ -Suslin假设的方法。
Aronszajn trees and maximality
在弱康托尔基数存在条件下，证明了宽μ⁺-Aronszajn树的一致性，该树能容纳所有宽μ⁺-Aronszajn树的嵌入。
On wide Aronszajn trees in the presence of MA
本文在MA(ω₁)假设下证明不存在万有宽Aronszajn树，解决1994年开放问题，并改进2007年结果，同时证明每棵宽Aronszajn树可弱嵌入Aronszajn树。
Specializing Wide Aronszajn Trees without Adding Reals
我们表明，在某些情况下，广泛的Aronszajn树可以专门迭代不添加reals。然后，我们使用这个事实来研究强迫公理兼容CH和列出一些开放的问题。
The Special Aronszajn Tree Property at $κ^+$ and $\square_{κ, 2}$
我们证明了对任何正则基数$κ$，$\square_{κ, 2}$与“所有$κ^+$ -Aronszajn树是特殊的”是一致的.“根据Shelah和Stanley的结果，这是最佳的，因为$\square_{κ, 2}$可能不会被加强到$\square_κ$。使用Golshani和Hayut的方法，我们同时获得了所有正则$κ$的一致性结果。
Some Results on Finitely Splitting Subtrees of Aronszajn Trees
本文引入使用广义承诺的力迫偏序向 Aronszajn 树添加有穷分裂子树，证明了若干一致性结果，解决了 Marun 的拓扑平方非 Lindelöf 开放问题，并给出了相关的力迫迭代保持定理。
Forcing axioms and the structure theory of Aronszajn trees
本文研究Aronszajn树的结构定理对力迫公理的需求，证明MA(ℵ₁)足以保证存在2^ℵ₁棵两两非同构的相干A-树。
Aronszajn trees, square principles, and stationary reflection
我们调查的问题，涉及Aronszajn树，平方原则，和固定反射。我们首先考虑Brodsky和Rinot为了构造$κ$ -Souslin树而引入的$\square(κ)$的两个加强。通过对Rinot的一个问题的讨论，我们证明了较弱的增强与$κ$处的定态反射是相容的，而较强的则不然。然后，我们证明，如果$μ$是一个奇异基数，$\square_μ$意味着存在一个特殊的$μ^+$ -树的$\mathrm{cf}(μ)$ -上升路径，从而回答了一个问题的Lücke。
A Strongly Non-Saturated Aronszajn Tree Without Weak Kurepa Trees
本文基于 Chang 猜想的否定与不可达基数等大基数假设，通过构造 c.c.c. 和 Y-proper 等力迫偏序集，证明了强非饱和 Aronszajn 树的存在性与弱 Kurepa 树的不存在性及相关双基数树性质保持一致。
The special Aronszajn tree property at $\aleph_2$ and $GCH$
本文从弱紧基数出发构建了一个满足 $GCH$ 的通用扩张，证明了所有 $\aleph_2$-Aronszajn 树均是特殊的且不存在 $\aleph_2$-Souslin 树，从而回答了1970年代的著名开放问题。
A forcing axiom for a non-special Aronszajn tree
假设$T^*$是一棵没有固定反链的$ω_1$ -Aronszajn树.我们引入了一个强制公理PFA（$T^*$），用于保持$T^*$的这些性质的适当强制.我们证明了PFA（$T^*$）包含了PFA的许多强结果，例如非常弱的俱乐部猜测的失败，连续统的所有基数特征都大于$ω_1$，以及$P$ -理想二分法。另一方面，PFA（$T^*$）暗示了金刚石原理的某些结果，例如存在非稳态Knaster的Knaster力。
Club Stationary Reflection and the Special Aronszajn Tree Property
证明了俱乐部驻反射与特殊Aronszajn树性质在$ω_2$上同时成立的一致性，从而有助于研究集合论中紧性与非紧性之间的张力.产生最终模型的偏序集遵循一个不可言喻的基数的崩溃，首先是俱乐部添加的迭代（带有预期），其次是专门的Aronszajn树的迭代。在本文的第一部分中，我们证明了一个关于$ω_2$上的特殊化Aronszajn树的一般定理，在我们称之为$\mathcal{F}$ -强真偏序集的情况下，其中$\mathcal{F}$是弱紧滤子或与不可表达理想对偶的滤子。这种类型的偏序集，其中的列维塌缩是一个退化的例子，使用系统的确切剩余函数，以创建许多强一般的条件。我们利用此类偏序集的商证明了关于平稳集保持的一个新结果;作为推论，我们证明了从弱紧基数开始的原始Laver-Shelah模型满足强平稳反射原理，尽管它未能满足完整的俱乐部平稳反射。在第二部分中，我们证明了塌缩和俱乐部加（带预期）的合成是一个$\mathcal{F}$ -强真偏序集。在证明了关于Aronszajn树保存的一个新结果之后，我们展示了如何获得最终模型。
Continuous Maps on Aronszajn Trees
假设Jenson钻石原理：当B是一个完全不完美的实数集时，存在一个特殊的Aronszajn树，它不具有到B的连续保序映入。
The tree property at successors of singular cardinals
假设一些大基数，得到了ZFC的模型，其中aleph_{omega+1}不携带Aronszajn树。还证明了如果λ是强紧基数的奇异极限，则λ ^+不携带Aronszajn树。
Distributive Aronszajn trees
Ben-David和Shelah证明了：如果$λ$是奇异强极限基数且$2^λ=λ^+$，则$\square^*_λ$必然存在正规的$λ$ -分配$λ^+$ -Aronszajn树.这里，证明了在用$\square(λ^+,{<}λ)$替换假设$\square^*_λ$之后，相同的结论仍然有效。由于$\square(λ^+,{<}λ)$没有对见证俱乐部的序类型施加约束，我们的构造必然不同于本-大卫和希拉的构造，而是使用在俱乐部猜测增强的序数上的行走。这项工作的一个主要组成部分是研究后处理功能及其对平方序列的影响。本研究的一个副产品是发现，对于$κ$规则不可数，$\square(κ)$需要存在$κ$划分为$κ$许多脂肪集。当与Magidor的经典模型对比时，这表明$ω_2$不能分裂成两个脂肪集与弱紧基数的存在是等相容的。
Aronszajn tree preservation and bounded forcing axioms
本文研究了力迫类中三个反射原理层级（有界力迫公理、Σ¹₁-绝对性和Aronszajn树保持）之间的关系，证明了对于不添加实数的力迫类，在2^ω层级上三者等价，并特别关注子完全力迫的子类。
Aronszajn Free Kurepa Trees
本文研究 $ω_1$ 幂集上的传递关系，证明若存在极大元素则有无 Aronszajn 子树的 Kurepa tree，并指出这些极大子集在许多不假设大基数的模型中存在。
Square compactness and Lindelöf trees
本文证明弱方紧致基数必为强极限基数，并借助特定拓扑下的林德勒夫性刻画无不可数有限分叉子树的阿龙扎恩树，确定其严格介于苏斯林树与阿龙扎恩树之间。
On the complexity of classes of uncountable structures: trees on $\aleph_1$
本文分析了在高阶Baire空间$ω_1^{ω_1}$的射影层次中的（特殊）Aronszajn树、Suslin树和Kurepa树类的复杂性.首先，我们将证明这些类都不具有Baire属性（除非它们为空）。此外，在$(V=L)$下，（a）Aronszajn树和Suslin树类是$Π_1^1$ -完全的，（b）特殊Aronszajn树类是$Σ_1^1$ -完全的，（c）Kurepa树类是$Π^1_2$ -完全的.我们实现这些结果，找到很好的定义减少映射子集$ω_1$ $X$树$T_X$，使$T_X$是在一个给定的树类$\mathcal T$当且仅当$X$是固定/非固定（取决于类$\mathcal T$）。最后，我们提出了CH模型，这些类具有较低的投影复杂度。
Successive failures of approachability
动机表明，在ZFC中，我们不能构建一个特殊的Aronszajn树的一些基数大于$\aleph_1$，我们产生了一个模型，其中的可接近性属性失败（因此没有特殊的Aronszajn树）在所有定期基数的间隔$[\aleph_2, \aleph_{ω^2+3}]$和$\aleph_{ω^2}$是强限制。
Can You Take Komjath's Inaccessible Away?
本文比较Kurepa树与Aronszajn树，通过序数步方法将相关相容性结论的大基数假设从两个不可达基数降至一个，还得到无需大基数的相容性结果及MA相关推论，并证明了Todorcevic ρ函数的新引理。
Ladder system uniformization on trees I & II
给定一棵树$T$的高度$ω_1$，我们说，一个阶梯系统着色$(f_α)_{α\in \limω_1}$有$T$ -均匀化，如果有一个功能$φ$定义在一个子树$T$的$S$，使任何$s\in S_α$的限制高度和几乎所有的$ξ\in {dom} (f_α)$，$φ(s\upharpoonright ξ)=f_α(ξ)$。与$ω_1$上的经典一致化理论形成鲜明对比的是，J. Moore证明了CH与任何梯形系统着色都有$T$ -一致化（对于任何Aronszajn树$T$）的陈述是一致的。我们的目标是提出一个很好的分析梯系统的一致化树指出之间的类比和经典和这个新的理论之间的差异。我们表明，如果$S$是一个Suslin树，那么（i）CH意味着有一个梯形系统着色没有$S$ -均匀化;（ii）限制强制公理$MA(S)$意味着任何梯形系统着色有一个$ω_1$ -均匀化。对于一个任意的Aronszajn树$T$，我们展示了钻石型假设如何影响存在的梯形系统着色没有$T$ -均匀化。此外，一致的是，对于任何Aronszajn树$T$和梯系$\mathbf C$，存在没有$T$ -均匀化的$\mathbf C$的着色;然而，非常令人惊讶的是，$\diamondsuit^+$意味着对于任何梯系$\mathbf C$，存在Aronszajn树$T$，使得$\mathbf C$的任何单色着色具有$T$ -均匀化…
Indestructibility of some compactness principles over models of PFA
我们证明了$\mathsf{PFA}$（Proper Forcing Axiom）意味着增加任意数量的$ω$的Cohen子集不会增加一棵$ω_2$ -Aronszajn树或一棵弱$ω_1$ -Kurepa树，而且没有$σ$ -中心强迫可以增加一棵弱$ω_1$ -Kurepa树（一棵高度和大小为$ω_1$且至少有$ω_2$共尾分支的树）.这部分地回答了ccc强迫是否可以添加$ω_2$ -Aronszajn或$ω_1$ -Kurepa树的一个开放问题。我们实际上证明了更多：我们表明，$\mathsf{PFA}$的一个后果，即猜测模型的原则，$\mathsf{GMP}$，这是相当于不可言喻的细长树属性，$\mathsf{ISP}$，被保存通过添加任何数量的科恩子集的$ω$。此外，$\mathsf{GMP}$还表明，没有$σ$中心强迫能增加一棵弱的$ω_1$ -Kurepa树.为了更一般性，我们研究的原则$\mathsf{GMP}$在任意正则基数$κ= κ^{<κ}$（我们表示这个原则$\mathsf{GMP}_{κ^{++}}$），并作为一个应用程序，我们表明，有一个模型，其中没有弱$\aleph_{ω+1}$ -Kurepa树和没有$\aleph_{ω+2}$ -Aronszajn树。
Walks on uncountable ordinals and non-structure theorems for higher Aronszajn lines
结合序数上的行走、club guessing和强着色等组合方法，证明了若存在$\aleph_2$-Aronszajn线则存在不含$\aleph_2$-Countryman线的特例，解决了Moore的问题，并将相关非结构定理推广至多种基数情形。
Coherent forests
森林是树的推广，这里我们考虑森林的Aronszajn和Suslin性质。我们专注于那些满足一致性的森林，这是一种局部的小属性。我们表明，连贯的Aronszajn森林可以在ZFC内构建。我们给出了几种通过强迫获得连贯的Suslin森林的方法，其中之一概括了Todorčević的著名论点，即Cohen实数增加了Suslin树。另一种方法使用了强组合原理，其作用类似于钻石。我们表明，从一个大基数，这一原则可以得到一个强迫是小的相对于它构造的森林。
Suslin tree preservation and club isomorphisms
本文构造了存在Suslin树且特定正规Aronszajn树闭无界同构的集合论模型，还证明自由正规Suslin树经c.c.c.力迫可实现n-自由且高维导出树特殊的结果。
A virtual five element basis for the uncountable linear orders
该研究通过证明Aronzsajn线与Countryman线的同构嵌入结论，结合真力迫等新保持性结果，解答了不可数线性序五元基存在性等相关数理逻辑问题，推广了前人工作。
Diagonal supercompact Radin forcing
出于构建一个模型的目标，其中没有$κ$ -Aronszajn树的任何定期$κ>\aleph_1$，我们产生了一个模型与许多奇异基数的奇异基数假设和弱平方失败。
Destructibility and Axiomatizability of Kaufmann Models
Kaufmann模型是一个类似$ω_1$的、递归饱和的、相当无类的$\mathrm{PA}$或$\mathrm{ZF}$模型. Kaufmann根据组合原理$\diamondsuit_{ω_1}$构造了这些模型，Shelah通过绝对性论证证明了它们存在于$\mathrm{ZFC}$中。Kaufmann模型是$ω_1$类似于Aronszajn树的非紧性的重要证明。在本文中，我们看一些集合论的问题与此相关的动机似乎是天真的问题，这样的模型是否可以“杀死”的强迫没有崩溃$ω_1$。我们表明，这个问题的答案是独立的$\mathrm{ZFC}$和密切相关的类似问题Aronszajn树。作为这些方法的一个应用，我们还证明了Kaufmann模型是否可以在逻辑$L_{ω_1, ω} (Q)$中公理化与$\mathrm{ZFC}$无关，其中$Q$是量词“存在不可数多”.
A Strong Kurepa Tree
本文证明存在一棵 Kurepa 树，使 ${}^{ω_1}2$ 成为其共尾分支空间在锥拓扑下的连续像，从而解决 Bergfalk 等人提出的公开问题，并证明此类树必含 Aronszajn 子树。
The vanishing levels of a tree
本文研究正规 $κ$-树消失层集合的谱 $Vspec(κ)$，证明其不变性与封闭性，并给出 Aronszajn、Souslin 树在多种相容模型中的消失层可能性。
There may be no minimal non $σ$-scattered linear orders
在本文中，我们证明了它是一致的，相对于存在一个超紧基数，没有线性秩序，这是最小的非$σ$ -分散。这表明拉弗的一个定理是尖锐的，该定理断言$σ$ -分散线性序类是良好的拟序。我们还证明了PFA ${}^+$意味着每一个非$σ$ -分散的线性顺序包含一个真正的类型，一个Aronszajn型，或梯形系统索引的固定子集的$ω_1$，配备了字典序或逆字典序。我们的工作直接暗示CH与“没有Aronszajn树有基数基$\aleph_1$”是一致的。“这对鲍姆加特纳的问题给出了肯定的答案。
The Uncountable Hadwiger Conjecture and Characterizations of Trees Using Graphs
我们证明了一个非特殊的树的大小$λ$的存在性是等价的不可数色图的存在性，没有$K_{ω_1}$小的大小$λ$，建立一个特殊的树数和不可数Hadwiger猜想之间的联系。还推出了Aronszajn，Kurepa和Suslin树的图的特征。引入了一个新的广义连通性概念，利用它我们可以刻画弱紧基数。
The Special Tree Number
定义特殊树编号，记为$\mathfrak{st}$，是高度为$ω_1$的树的最小尺寸，该树既不特殊也没有共尾分支。这红衣主教以前曾研究的背景下的片段$\mathsf{MA}$，但在本文中，我们看看它的关系，其他更典型的，红衣主教的特点。经典的事实意味着，$\aleph_1 \leq \mathfrak{st} \leq 2^{\aleph_0}$，根据马丁的公理$\mathfrak{st} = 2^{\aleph_0}$和$\mathfrak{st} = \aleph_1$是一致的$\mathsf{MA}({\rm Knaster}) + 2^{\aleph_0} = κ$的任何定期$κ$因此价值$\mathfrak{st}$是不决定的$\mathsf{ZFC}$，事实上可以严格低于基本上所有良好的研究基本特征。相反，我们证明了对于不可数共尾的$κ$，$\mathfrak{st} = 2^{\aleph_0} = κ$是相容的，而对于不可数共尾的${\rm non}(\mathcal M) = \mathfrak{a} = \mathfrak{s} = \mathfrak{g} = \aleph_1$，$\mathfrak{st} = 2^{\aleph_0} = κ$是相容的.尤其是$\mathfrak{st}$独立于Chichocolate图的左侧。证明涉及到深入研究的标准CC…
Reversible and Irreversible Trees
本文通过往返系统刻画树的序型可逆性，证明不可逆性等价于存在临界节点或原型子树，并由此给出多类可逆树的存在性与判定条件。
Chains of Baire class 1 functions and various notions of special trees
在Laczkovich的基础上，我们考虑了Baire类1函数的偏序集$\iB_1(\RR)$具有逐点序，并研究了线性序子集的序型.通过讨论Komjáth和Kunen的问题，我们证明了（在$ZFC$中）特殊的Aronszajn线可以嵌入到$\iB_1(\RR)$中。我们还表明，在马丁公理下，一个线性有序集$\mathbb{L}$与$|\mathbb{L}|<2^ω$是嵌入到$\iB_1(\RR)$当且仅当$\mathbb{L}$不包含$ω_1$或$ω_1^*$的副本。我们提出了一个$ZFC$ -一个线性顺序的大小$2^ω$的例子表明，这种特性是无效的顺序的大小连续。这些结果是使用紧特殊树的概念得到的;也就是说，一棵树可以嵌入到在反向包含下偏序的实的紧子集的类中。我们调查这个概念是如何与众所周知的概念的$\RR$特殊树，也到一些其他的特殊性的概念。
A Theory of Stationary Trees and the Balanced Baumgartner-Hajnal-Todorcevic Theorem for Trees
早期的工作由Stevo Todorcevic的基础上，我们描述了一个理论的静态子树的树的继任者基数高度。我们定义的对角线联盟的子集的树，以及正常的理想的树，我们的特点是任意子集的非特殊树是固定的或非固定的。主要定理：设$κ$为任意无穷正则基数，$ξ$为任意序数使得$2^{\left|ξ\right|} < κ$，$k$为任意自然数。然后是\[ \text{non-$\left(2^{<κ}\right)$-special tree } \to \left(κ+ ξ\right)^2_k. \]这是平衡Baumgartner-Hajnal-Todorcevic定理的树的推广，我们通过将上述应用于基数$(2^{<κ})^+$来恢复，基数是非$(2^{<κ})$特殊树的最简单示例。定理：设$κ$是任意无穷正则基数，$ξ$是任意序数，使得$2^{\left|ξ\right|} < κ$，$k$是任意自然数.设$P$是一个偏序集，使得$P \to (2^{<κ})^1_{2^{<κ}}$ .然后是\[ P \to \left(κ+ ξ\right)^2_k. \]
On the intersection conjecture for infinite trees of matroids
使用一种新的技术，我们证明了一个丰富的家庭的特殊情况下的拟阵相交猜想。粗略地，我们证明了猜想的驯服拟阵对有一个共同的2-分离分解成有限部分。
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