Aronszajn trees and maximality
Hebrew University（希伯来大学）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）
在弱康托尔基数存在条件下，证明了宽μ⁺-Aronszajn树的一致性，该树能容纳所有宽μ⁺-Aronszajn树的嵌入。
2025-12-04 math.LO
Specializing Wide Aronszajn Trees without Adding Reals
我们表明，在某些情况下，广泛的Aronszajn树可以专门迭代不添加reals。然后，我们使用这个事实来研究强迫公理兼容CH和列出一些开放的问题。
2020-05-28 math.LO
The Special Aronszajn Tree Property at $κ^+$ and $\square_{κ, 2}$
我们证明了对任何正则基数$κ$，$\square_{κ, 2}$与“所有$κ^+$ -Aronszajn树是特殊的”是一致的.“根据Shelah和Stanley的结果，这是最佳的，因为$\square_{κ, 2}$可能不会被加强到$\square_κ$。使用Golshani和Hayut的方法，我们同时获得了所有正则$κ$的一致性结果。
2019-03-29 math.LO
Some Results on Finitely Splitting Subtrees of Aronszajn Trees
本文引入使用广义承诺的力迫偏序向 Aronszajn 树添加有穷分裂子树，证明了若干一致性结果，解决了 Marun 的拓扑平方非 Lindelöf 开放问题，并给出了相关的力迫迭代保持定理。
2025-09-10 math.LO
Forcing axioms and the structure theory of Aronszajn trees
Cornell University（康奈尔大学）；University of Toronto（多伦多大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu（儒勒·让苏数学研究所）；Matematički Institut, SANU（塞尔维亚科学与艺术研究院数学研究所）
本文研究Aronszajn树的结构定理对力迫公理的需求，证明MA(ℵ₁)足以保证存在2^ℵ₁棵两两非同构的相干A-树。
2026-10-06 math.LO
Aronszajn trees, square principles, and stationary reflection
我们调查的问题，涉及Aronszajn树，平方原则，和固定反射。我们首先考虑Brodsky和Rinot为了构造$κ$ -Souslin树而引入的$\square(κ)$的两个加强。通过对Rinot的一个问题的讨论，我们证明了较弱的增强与$κ$处的定态反射是相容的，而较强的则不然。然后，我们证明，如果$μ$是一个奇异基数，$\square_μ$意味着存在一个特殊的$μ^+$ -树的$\mathrm{cf}(μ)$ -上升路径，从而回答了一个问题的Lücke。
2016-06-04 math.LO
A Strongly Non-Saturated Aronszajn Tree Without Weak Kurepa Trees
本文基于 Chang 猜想的否定与不可达基数等大基数假设，通过构造 c.c.c. 和 Y-proper 等力迫偏序集，证明了强非饱和 Aronszajn 树的存在性与弱 Kurepa 树的不存在性及相关双基数树性质保持一致。
2025-06-27 math.LO
The special Aronszajn tree property at $\aleph_2$ and $GCH$
本文从弱紧基数出发构建了一个满足 $GCH$ 的通用扩张，证明了所有 $\aleph_2$-Aronszajn 树均是特殊的且不存在 $\aleph_2$-Souslin 树，从而回答了1970年代的著名开放问题。
2024-04-24 math.LO
A forcing axiom for a non-special Aronszajn tree
假设$T^*$是一棵没有固定反链的$ω_1$ -Aronszajn树.我们引入了一个强制公理PFA（$T^*$），用于保持$T^*$的这些性质的适当强制.我们证明了PFA（$T^*$）包含了PFA的许多强结果，例如非常弱的俱乐部猜测的失败，连续统的所有基数特征都大于$ω_1$，以及$P$ -理想二分法。另一方面，PFA（$T^*$）暗示了金刚石原理的某些结果，例如存在非稳态Knaster的Knaster力。
2020-04-24 math.LO
Club Stationary Reflection and the Special Aronszajn Tree Property
证明了俱乐部驻反射与特殊Aronszajn树性质在$ω_2$上同时成立的一致性，从而有助于研究集合论中紧性与非紧性之间的张力.产生最终模型的偏序集遵循一个不可言喻的基数的崩溃，首先是俱乐部添加的迭代（带有预期），其次是专门的Aronszajn树的迭代。在本文的第一部分中，我们证明了一个关于$ω_2$上的特殊化Aronszajn树的一般定理，在我们称之为$\mathcal{F}$ -强真偏序集的情况下，其中$\mathcal{F}$是弱紧滤子或与不可表达理想对偶的滤子。这种类型的偏序集，其中的列维塌缩是一个退化的例子，使用系统的确切剩余函数，以创建许多强一般的条件。我们利用此类偏序集的商证明了关于平稳集保持的一个新结果;作为推论，我们证明了从弱紧基数开始的原始Laver-Shelah模型满足强平稳反射原理，尽管它未能满足完整的俱乐部平稳反射。在第二部分中，我们证明了塌缩和俱乐部加（带预期）的合成是一个$\mathcal{F}$ -强真偏序集。在证明了关于Aronszajn树保存的一个新结果之后，我们展示了如何获得最终模型。
2022-05-16 math.LO
Continuous Maps on Aronszajn Trees
假设Jenson钻石原理：当B是一个完全不完美的实数集时，存在一个特殊的Aronszajn树，它不具有到B的连续保序映入。
2010-08-27 math.GN math.LO
The tree property at successors of singular cardinals
假设一些大基数，得到了ZFC的模型，其中aleph_{omega+1}不携带Aronszajn树。还证明了如果λ是强紧基数的奇异极限，则λ ^+不携带Aronszajn树。
1995-01-15 math.LO
Distributive Aronszajn trees
Ben-David和Shelah证明了：如果$λ$是奇异强极限基数且$2^λ=λ^+$，则$\square^*_λ$必然存在正规的$λ$ -分配$λ^+$ -Aronszajn树.这里，证明了在用$\square(λ^+,{<}λ)$替换假设$\square^*_λ$之后，相同的结论仍然有效。由于$\square(λ^+,{<}λ)$没有对见证俱乐部的序类型施加约束，我们的构造必然不同于本-大卫和希拉的构造，而是使用在俱乐部猜测增强的序数上的行走。这项工作的一个主要组成部分是研究后处理功能及其对平方序列的影响。本研究的一个副产品是发现，对于$κ$规则不可数，$\square(κ)$需要存在$κ$划分为$κ$许多脂肪集。当与Magidor的经典模型对比时，这表明$ω_2$不能分裂成两个脂肪集与弱紧基数的存在是等相容的。
2018-03-27 math.LO
Aronszajn tree preservation and bounded forcing axioms
本文研究了力迫类中三个反射原理层级（有界力迫公理、Σ¹₁-绝对性和Aronszajn树保持）之间的关系，证明了对于不添加实数的力迫类，在2^ω层级上三者等价，并特别关注子完全力迫的子类。
2020-01-09 math.LO
Aronszajn Free Kurepa Trees
本文研究 $ω_1$ 幂集上的传递关系，证明若存在极大元素则有无 Aronszajn 子树的 Kurepa tree，并指出这些极大子集在许多不假设大基数的模型中存在。
2023-10-19 math.LO
Square compactness and Lindelöf trees
本文证明弱方紧致基数必为强极限基数，并借助特定拓扑下的林德勒夫性刻画无不可数有限分叉子树的阿龙扎恩树，确定其严格介于苏斯林树与阿龙扎恩树之间。
2023-05-25 math.LO
A Decomposition Theorem for Aronszajn Lines
我们表明，适当的强制公理下的类的所有Aronszajn线的行为像$σ$ -分散订单下的嵌入关系。特别是，我们能够证明，一类更好的准序标记的片段Aronszajn线本身是一个更好的准序。此外，我们证明了每一个更好的准序标记Aronszajn线可以表示为一个有限的代数不可分解的标记类型的和。通过用有限标记树编码线，我们还能够推导出分解结果，即对于每个Aronszajn线$L$，存在整数n，使得对于$L$的任何有限着色，存在与$L$同构的$L$的子集$L^\prime$，其使用不超过n种颜色。
2020-03-26 math.LO
On the complexity of classes of uncountable structures: trees on $\aleph_1$
本文分析了在高阶Baire空间$ω_1^{ω_1}$的射影层次中的（特殊）Aronszajn树、Suslin树和Kurepa树类的复杂性.首先，我们将证明这些类都不具有Baire属性（除非它们为空）。此外，在$(V=L)$下，（a）Aronszajn树和Suslin树类是$Π_1^1$ -完全的，（b）特殊Aronszajn树类是$Σ_1^1$ -完全的，（c）Kurepa树类是$Π^1_2$ -完全的.我们实现这些结果，找到很好的定义减少映射子集$ω_1$ $X$树$T_X$，使$T_X$是在一个给定的树类$\mathcal T$当且仅当$X$是固定/非固定（取决于类$\mathcal T$）。最后，我们提出了CH模型，这些类具有较低的投影复杂度。
2019-06-03 math.LO
Successive failures of approachability
动机表明，在ZFC中，我们不能构建一个特殊的Aronszajn树的一些基数大于$\aleph_1$，我们产生了一个模型，其中的可接近性属性失败（因此没有特殊的Aronszajn树）在所有定期基数的间隔$[\aleph_2, \aleph_{ω^2+3}]$和$\aleph_{ω^2}$是强限制。
2018-06-11 math.LO
Can You Take Komjath's Inaccessible Away?
本文比较Kurepa树与Aronszajn树，通过序数步方法将相关相容性结论的大基数假设从两个不可达基数降至一个，还得到无需大基数的相容性结果及MA相关推论，并证明了Todorcevic ρ函数的新引理。
2023-10-08 math.LO
Ladder system uniformization on trees I & II
给定一棵树$T$的高度$ω_1$，我们说，一个阶梯系统着色$(f_α)_{α\in \limω_1}$有$T$ -均匀化，如果有一个功能$φ$定义在一个子树$T$的$S$，使任何$s\in S_α$的限制高度和几乎所有的$ξ\in {dom} (f_α)$，$φ(s\upharpoonright ξ)=f_α(ξ)$。与$ω_1$上的经典一致化理论形成鲜明对比的是，J. Moore证明了CH与任何梯形系统着色都有$T$ -一致化（对于任何Aronszajn树$T$）的陈述是一致的。我们的目标是提出一个很好的分析梯系统的一致化树指出之间的类比和经典和这个新的理论之间的差异。我们表明，如果$S$是一个Suslin树，那么（i）CH意味着有一个梯形系统着色没有$S$ -均匀化;（ii）限制强制公理$MA(S)$意味着任何梯形系统着色有一个$ω_1$ -均匀化。对于一个任意的Aronszajn树$T$，我们展示了钻石型假设如何影响存在的梯形系统着色没有$T$ -均匀化。此外，一致的是，对于任何Aronszajn树$T$和梯系$\mathbf C$，存在没有$T$ -均匀化的$\mathbf C$的着色;然而，非常令人惊讶的是，$\diamondsuit^+$意味着对于任何梯系$\mathbf C$，存在Aronszajn树$T$，使得$\mathbf C$的任何单色着色具有$T$ -均匀化…
2019-01-04 math.LO
Indestructibility of some compactness principles over models of PFA
我们证明了$\mathsf{PFA}$（Proper Forcing Axiom）意味着增加任意数量的$ω$的Cohen子集不会增加一棵$ω_2$ -Aronszajn树或一棵弱$ω_1$ -Kurepa树，而且没有$σ$ -中心强迫可以增加一棵弱$ω_1$ -Kurepa树（一棵高度和大小为$ω_1$且至少有$ω_2$共尾分支的树）.这部分地回答了ccc强迫是否可以添加$ω_2$ -Aronszajn或$ω_1$ -Kurepa树的一个开放问题。我们实际上证明了更多：我们表明，$\mathsf{PFA}$的一个后果，即猜测模型的原则，$\mathsf{GMP}$，这是相当于不可言喻的细长树属性，$\mathsf{ISP}$，被保存通过添加任何数量的科恩子集的$ω$。此外，$\mathsf{GMP}$还表明，没有$σ$中心强迫能增加一棵弱的$ω_1$ -Kurepa树.为了更一般性，我们研究的原则$\mathsf{GMP}$在任意正则基数$κ= κ^{<κ}$（我们表示这个原则$\mathsf{GMP}_{κ^{++}}$），并作为一个应用程序，我们表明，有一个模型，其中没有弱$\aleph_{ω+1}$ -Kurepa树和没有$\aleph_{ω+2}$ -Aronszajn树。
2022-08-04 math.LO
Walks on uncountable ordinals and non-structure theorems for higher Aronszajn lines
结合序数上的行走、club guessing和强着色等组合方法，证明了若存在$\aleph_2$-Aronszajn线则存在不含$\aleph_2$-Countryman线的特例，解决了Moore的问题，并将相关非结构定理推广至多种基数情形。
2024-10-11 math.LO
Subcomplete forcing, trees and generic absoluteness
研究树高为$ω_1$的树在次完全强迫下的性质及其保持性。我们表明，次完全强制不能添加一个新的分支到一个$ω_1$树。我们介绍片段的次完全性，这是保存的次完全强迫，并使用这些，以表明某些强形式的刚性的Suslin树保存的次完全强迫。最后，我们探讨在什么情况下，不完全强迫保留Aronszajn树的高度和宽度$ω_1$。我们表明，这是情况下，如果CH失败，如果CH持有，那么这是情况下，当且仅当有界次完全强制公理持有。最后，我们探讨有界强制公理之间的关系，高度和宽度$ω_1$和一般的绝对性的$Σ^1_1$-声明的Aronszajn树的保护在一阶结构的大小$ω_1$，也为其他规范类的强制。
2018-02-04 math.LO
Can a small forcing create Kurepa trees?
在本文中，我们探讨的可能性，创建一个Kurepa树的泛型扩张的CH加没有Kurepa树的模型的大小最多为ω_1的一个保持ω_1的力迫概念。在第一节中，我们证明了在Levy模型中，通过用可数支集强迫Levy塌缩序来塌缩Ω_1和强不可达基数之间的所有基数得到的许多Ω_1-保持的大小至多为Ω_1的力迫概念，包括所有的Ω-适当的力迫概念和一些大小至多为Ω_1的适当的但不是Ω-适当的力迫概念，不生成Kurepa树。在第二节中，我们构建了一个CH加无Kurepa树的模型，其中存在一棵ω-分布的Aronszajn树，使得用该Aronszajn树强制确实在泛型扩张中创建了一棵Kurepa树。在文章的最后，我们提出了三个问题。
1995-04-15 math.LO
Coherent forests
森林是树的推广，这里我们考虑森林的Aronszajn和Suslin性质。我们专注于那些满足一致性的森林，这是一种局部的小属性。我们表明，连贯的Aronszajn森林可以在ZFC内构建。我们给出了几种通过强迫获得连贯的Suslin森林的方法，其中之一概括了Todorčević的著名论点，即Cohen实数增加了Suslin树。另一种方法使用了强组合原理，其作用类似于钻石。我们表明，从一个大基数，这一原则可以得到一个强迫是小的相对于它构造的森林。
2019-01-04 math.LO
Suslin tree preservation and club isomorphisms
本文构造了存在Suslin树且特定正规Aronszajn树闭无界同构的集合论模型，还证明自由正规Suslin树经c.c.c.力迫可实现n-自由且高维导出树特殊的结果。
2022-12-17 math.LO
Diagonal supercompact Radin forcing
出于构建一个模型的目标，其中没有$κ$ -Aronszajn树的任何定期$κ>\aleph_1$，我们产生了一个模型与许多奇异基数的奇异基数假设和弱平方失败。
2020-05-21 math.LO
Destructibility and Axiomatizability of Kaufmann Models
Kaufmann模型是一个类似$ω_1$的、递归饱和的、相当无类的$\mathrm{PA}$或$\mathrm{ZF}$模型. Kaufmann根据组合原理$\diamondsuit_{ω_1}$构造了这些模型，Shelah通过绝对性论证证明了它们存在于$\mathrm{ZFC}$中。Kaufmann模型是$ω_1$类似于Aronszajn树的非紧性的重要证明。在本文中，我们看一些集合论的问题与此相关的动机似乎是天真的问题，这样的模型是否可以“杀死”的强迫没有崩溃$ω_1$。我们表明，这个问题的答案是独立的$\mathrm{ZFC}$和密切相关的类似问题Aronszajn树。作为这些方法的一个应用，我们还证明了Kaufmann模型是否可以在逻辑$L_{ω_1, ω} (Q)$中公理化与$\mathrm{ZFC}$无关，其中$Q$是量词“存在不可数多”.
2022-01-31 math.LO
A Strong Kurepa Tree
University of North Texas（北德克萨斯大学）
本文证明存在一棵 Kurepa 树，使 ${}^{ω_1}2$ 成为其共尾分支空间在锥拓扑下的连续像，从而解决 Bergfalk 等人提出的公开问题，并证明此类树必含 Aronszajn 子树。
2026-10-20 math.LO
Chang's Conjecture, The Weak Reflection Principle and the Tree Property at $ω_2$
我们证明了张氏猜想的一个强版本，等价于$ω_2$上的弱反射原理，连同$2^ω=ω_2$，意味着不存在$ω_2$ -Aronszajn树.
2017-08-07 math.LO
The vanishing levels of a tree
本文研究正规 $κ$-树消失层集合的谱 $Vspec(κ)$，证明其不变性与封闭性，并给出 Aronszajn、Souslin 树在多种相容模型中的消失层可能性。
2023-09-26 math.LO
The Uncountable Hadwiger Conjecture and Characterizations of Trees Using Graphs
我们证明了一个非特殊的树的大小$λ$的存在性是等价的不可数色图的存在性，没有$K_{ω_1}$小的大小$λ$，建立一个特殊的树数和不可数Hadwiger猜想之间的联系。还推出了Aronszajn，Kurepa和Suslin树的图的特征。引入了一个新的广义连通性概念，利用它我们可以刻画弱紧基数。
2022-12-05 math.CO math.LO
Guessing models, trees, and cardinal arithmetic
自从Viale和Weiss在2009年分离出猜测模型性质以来，猜测模型性质已经成为适当强迫公理的一个特别突出和强大的结果。在本文中，我们调查的猜测模型属性和基数算术的变化之间的连接，广义上解释。我们改进Viale和Krueger的结果，证明了猜测模型属性的弱化隐含着Shelah的强假设。我们还证明，虽然猜测模型属性是已知的，不把一个上限的连续的大小，它确实意味着$2^{ω_1}$是尽可能小的相对值$2^ω$。在Laver工作的基础上，我们证明了在任何$\mathsf{PFA}$模型的测度代数的扩展中，每一棵树的高度和大小$ω_1$都是B-特殊的（一种由Baumgartner引入的特殊性的推广，它也可以包含具有不可数分支的树）.最后，我们研究了Suslin树和几乎Suslin树的强制公理对猜测模型性质的影响。特别地，我们证明了如果$S$是一棵Suslin树，则公理$\mathsf{PFA}(S)$和$\mathsf{PFA}(S)[S]$分别蕴涵猜测模型性质和不可破坏猜测模型性质;如果$T^*$是一棵几乎Suslin Aronszajn树，则公理$\mathsf{PFA}(T^*)$蕴涵不可破坏猜测模型性质.这回答了考克斯和克鲁格的一些问题。
2023-03-02 math.LO
Reversible and Irreversible Trees
本文通过往返系统刻画树的序型可逆性，证明不可逆性等价于存在临界节点或原型子树，并由此给出多类可逆树的存在性与判定条件。
2023-10-28 math.LO
Finding paths through narrow and wide trees
我们考虑二阶算术的两个公理。这些公理以两种不同的方式断言，无限但窄的二叉树总是有无限的路径。我们表明，这两个公理是严格弱于弱柯尼希引理，和无与伦比的强度的双重声明（WWKL），广泛的二叉树有路径。
2014-08-12 math.LO
