Noncommutative Plurisubharmonic Polynomials Part I: Global Assumptions
我们考虑非交换自由变元（x_1，x_2，.，x_g）。我们定义了p的非交换复海森矩阵，我们称一个非交换对称多项式为非交换多重次调和多项式，如果它有一个非交换复海森矩阵，当对每个大小n的n × n矩阵的所有元组求值时，它是半正定的。本文证明了对称非交换多重次调和多项式是具有非交换解析变量变换的非交换凸多项式，即，一个非交换对称多项式p是非交换多重次调和的当且仅当它具有形式p = \sum f_j^T f_j + \sum k_j^T + F + F^T其中和是有限的并且f_j，k_j，F都是非交换解析的。我们还提出了一个理论的非交换积分的非交换多项式，我们证明了一个非交换版本的Frobenius定理。随后的文件格林证明，如果非交换复杂的海森的p采取半正定值的“非交换开集“然后非交换复杂的海森采取半正定值的所有矩阵元组。因此，p具有上面的形式。在随后的文件中的证明借鉴了本文中的大部分定理，以及涉及非交换二次函数表示的非常不同的技术。
2011-01-14 math.CV math.FA math.OA
Noncommutative Cauchy Bound and Noncommutative Montel Bound for Roots of Polynomials
Chanakya University Global Campus（查纳基亚全球大学）
本文将复数多项式根的Cauchy界和Montel界推广到非交换多项式，利用系数范数给出算子根的上界。
2026-06-19 math.CV math.FA math.OA
Classification of All Noncommutative Polynomials Whose Hessian Has Negative Signature One and A Noncommutative Second Fundamental Form
每个对称多项式p（x）=p（x_1，.，x_g）（具有实系数）在g个非交换变量x_1，...，x_g可以写成非交换多项式的平方和与平方差。设s（p），p的负签名，表示在该表示中使用的负平方的最小数目，并且设p的非交换海森由公式p“（x）[h]定义：= d^2p（x+th）\dt^2|_{t=0}。本文对所有s（p“）为0或1的对称非交换多项式p（x）进行了分类.我们还通过公式p“_{L，K}（x）[h]：= p”（x）[h] + Lp“（x）[h]^{T} p "（x）[h] + KR（x）[h]对L，K实数引入了d次对称多项式p的松弛Hessian，并证明了如果该松弛Hessian以适当且相对无害的方式是半正定的，则p的次数至多为2.这里R（x）[h]是一个简单的泛正多项式，它在h中是二次的。这种分析的动机是试图发展与其曲率有关的非交换实代数簇的性质，因为正如在其他地方所示，- <p“_{L，K}（x）[h]v，v >（适当限制）扮演着非交换第二基本型的角色。
2009-03-11 math.AG math.FA
Positivstellensatzë for noncommutative rational expressions
我们从非对易多项式的Positivstellensatzë得到了非对易有理表达式的Positivstellensatzë。具体来说，我们表明，如果一个非交换的合理的表达是积极的多项式凸集，然后有一个代数证明证明这一事实。在非交换多项式的情况下，我们的结果是更好的，当我们另外假设积极的凸集-也就是说，我们得到了所谓的“完美Positivstellenstrasse”凸集。
2017-03-20 math.FA math.RA
Noncommutative Plurisubharmonic Polynomials Part II: Local Assumptions
我们说，非交换自由变元（x_1，x_2，.，x_g）在非交换开集上是非交换多重次调和的，如果它有一个非交换复Hessian，当在足够大的矩阵元组的开集上求值时，该Hessian是半正定的.本文证明了如果一个非交换多项式在非交换开集上是非交换多重次调和的，则该多项式处处实际上是非交换多重次调和的，并具有形式p = \sum f_j^T f_j + \sum k_j^T + F + F^T其中和是有限的，且f_j，k_j，F都是非交换解析的.在Greene、Helton和Vinnikov的论文中，证明了如果p处处是非交换的多重次调和的，则p具有上述形式。换句话说，Greene，Helton和Vinnikov的论文做了一个全局假设，而本文做了一个局部假设，但两者都得出了相同的结论。本文采用非交换多项式的类格拉姆矩阵表示。对这个格拉姆矩阵的仔细分析加上格林、赫尔顿和文尼科夫论文中的主要定理最终得出了上面方程的形式。
2011-01-14 math.CV math.FA math.OA
Noncommutative partial convexity via $Γ$-convexity
受经典的部分凸性，双凸性和双线性矩阵不等式的概念的启发，我们研究了自由集的理论，自由集是由（低次）非交换矩阵多项式的约束条件。给定一个对称多项式元组$Γ$，一个自由集称为$Γ$ -凸的，如果它在等距共轭下通过等距缠绕$Γ$而闭合。我们建立了$Γ$ -凸集的Effros-Winkler Hahn-Banach分离定理;它们在$Γ$和变量$x$的坐标系中用线性束描绘。
2019-08-16 math.FA
Upper bound hierarchies for noncommutative polynomial optimization
本文针对非交换多项式优化问题，基于Helton-McCullough正性定理，提出了收敛的上界层级，每个上界通过求解广义特征值问题获得。
2025-09-08 math.FA math.OC quant-ph
On trace-convex noncommutative polynomials
对于每个实连续函数f，在实对称矩阵Tr f上存在一个相关联的迹函数。经典的Klein引理指出f是凸的当且仅当Tr f是凸的。本文对一元多项式f给出了这个引理的代数加强：Tr f是凸的当且仅当f的非交换二阶方向导数是自由代数中的埃尔米特平方和算子之和.我们也给出了这个结果的一个局部化版本。
2014-11-24 math.FA math.OA
Some notes on orthogonally additive polynomials
利用Kusraeva的两个多项式恒等式，分别给出了从一致完备向量格到凸拓扑几何平均的有界正交可加多项式的两个新刻画.此外，还证明了向量格上的多项式在正锥上正交可加时也是正交可加的。这些结果改进了G. Buskes和作者。
2020-12-25 math.FA
Orthogonal polynomials in several variables. I
本文引入并讨论了几类多元非交换正交多项式。重点是一个非交换版本的正交多项式的实数线。我们介绍这些多项式的递归方程，Christoffel-Darboux公式和Jacobi型矩阵。
2002-05-31 math.FA
Gram-like matrix preserving extensions and completions of noncommutative polynomials
针对非交换多项式扩展为埃尔米特平方和时无法保持Gram矩阵不变的问题，本文提出类Gram矩阵概念及线性代数技术实现扩展，并利用半正定完备化问题结合弦图与2-正则射影代数集给出判据。
2025-06-27 math.AC math.AG math.FA
A Noncommutative Szegő-Type Theorem on the Row-Ball
本文借助非交换测度与 Schur 参数理论，建立 nc 测度和多 Toeplitz 核的对应，证明行球上的非交换 Szegő 型定理及正交多项式零点定理。
2025-07-25 math.FA math.OA
Hölder Continuity of Cumulative Distribution Functions for Noncommutative Polynomials under Finite Free Fisher Information
本文是对自由概率论中非对易分布正则性研究的一个贡献。更确切地说，我们认为评估的自伴非交换多项式的非交换随机变量，有有限的非微观状态免费的Fisher信息，突出的特殊情况下Lipschitz共轭变量。对于第一次在这种普遍性，它表明，这些评估的解析分布具有Hölder连续累积分布函数与显式的Hölder指数，仅取决于所考虑的多项式的程度。对于线性多项式，在有限非微观状态自由Fisher信息的情况下，得到了最优Hölder指数$\frac{2}{3}$，在Lipschitz共轭变量的情况下，得到了Lipschitz连续性.特别地，我们的结果保证这样的多项式求值具有有限的对数能量，因此具有有限的（非微观状态）自由熵，这部分地解决了Charlesworth和Shlyakhtenko的猜想[CS 16]。我们进一步提供了一个非常普遍的标准，给出了弱近似的措施，具有Hölder连续累积分布函数明确的速度收敛的Kolmogorov距离。最后，我们结合这些结果来研究多项式的渐近特征值分布的GUE或矩阵更一般的吉布斯定律。对于吉布斯定律，这将在[GS 09]中得到的相应结果从分布的依分布收敛扩展到Kolmogorov距离的收敛;在GUE的情况下，我们甚至提供了显式速率，其根据Kolmogorov距离量化[HT 05，HST 06]的结果。
2019-11-20 math.FA math.OA math.PR
Positive operator-valued noncommutative polynomials are squares
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Famnit, University of Primorska（波摩拉大学 FAMNIT）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Florida（佛罗里达大学）
本文证明了正算子值非交换多项式可分解为单平方形式，并通过构造算子元和利用拓扑方法证明sos锥的闭合性。
2026-01-11 math.FA math.OA
Noncommutative polynomials nonnegative on a variety intersect a convex set
根据Helton和McCullough的结果，开有界凸自由半代数集是线性矩阵不等式（LMI）L（X）>0的开（矩阵）解集DL.本文给出了凸半代数集与簇相交的多项式非负的一个精确的代数证明，即所谓的“完美”正代数。例如，给定一般的凸自由半代数集D_L，我们确定D_L的所有“强意义定义多项式”p。这是从我们对给定线性束L和多项式行的有限集I的一般结果得出的。矩阵多项式p是正的，其中L是正的，且I为零当且仅当p具有I的“L-实根”的加权平方和表示模。在这样的表示中，多项式的次数以一种非常温和的方式只取决于p的次数和I的元素的次数。进一步，本文给出了计算I的L-实根的一个有效算法。我们的Positivstellenance有一些额外的后果，其中提出。
2014-03-15 math.FA math.RA
Positivity is undecidable in tensor products of free algebras
University of Ottawa（渥太华大学）；Nexus for Quantum Technologies, University of Ottawa（渥太华大学量子技术枢纽）；Institute for Quantum Computing, University of Waterloo（滑铁卢大学量子计算研究所）；Department of Pure Mathematics, University of Waterloo（滑铁卢大学纯数学系）；QMATH, Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen（哥本哈根大学数学科学系量子数学中心）
研究指出，在自由代数的张量积中，判断元素正性是coRE难问题，且非交换*多项式正性也具有类似复杂度。
2026-03-18 math.FA math.GR math.OA
Noncommutative polynomials describing convex sets
由埃尔米特非交换多项式$f$确定的自由闭半代数集$D_f$是包含原点的$\{(X,X^*)\mid f(X,X^*)>0\}$的连通分支的闭包。当$L$是埃尔米特一元线性束时，自由闭半代数集$D_L$是线性矩阵不等式$L(X,X^*)\geq 0$的可行集，称为自由谱面体。显然，这些是凸的，这是众所周知的，一个自由的封闭半代数集是凸的，当且仅当它是一个自由的spectrahedron。本文的主要结果解决了确定$D_f$为凸的$f$的基本问题。该解决方案导致一个有效的算法，不仅确定如果$D_f$是凸的，但如果是这样，产生一个最小的埃尔米特monic铅笔$L$，使$D_f=D_L$。独立的兴趣是一个子算法的基础上的一个Nichtsingulärstellenstrasse在这里提出：给定一个线性铅笔$L'$和一个厄米monic铅笔$L$，它确定如果$L'$采取可逆值的内部$D_L$。最后，证明了若$D_f$对不可约埃尔米特多项式$f$是凸的，则$f$的次数至多为2，并作为$L$的Schur补而产生，使得$D_f=D_L$ .
2020-05-29 math.FA math.OC
Noncommutative maximal inequalities for polynomial ergodic averages
Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）；UNICAEN CNRS LMNO（卡昂大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文证明了沿多项式序列的非交换极大遍历不等式，扩展了p的范围，通过Bourgain主弧策略及非交换Stein外插、组合方法和多线性Doob极大不等式等新工具实现。
2026-10-06 math.CA math.DS math.FA
Motzkin path decompositions of functionals in noncommutative probability
本文从正交副本视角研究自由随机变量的分解，揭示混合矩与Motzkin路径的联系，并给出基于布尔累积量的分解公式及泛函生成集。
2022-09-07 math.FA math.OA math.PR
