发表机构
Harbin Institute of Technology; UNICAEN CNRS LMNO; City University of Hong Kong（哈尔滨工业大学; 卡昂大学; 香港城市大学）
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本文证明了沿多项式序列的非交换极大遍历不等式，扩展了p的范围，通过Bourgain主弧策略及非交换Stein外插、组合方法和多线性Doob极大不等式等新工具实现。
AI 中文摘要
我们证明了沿多项式序列的平均值的非交换极大遍历不等式。设 $\gamma$ 是半有限 von Neumann 代数 $(\mathcal N,\tau)$ 的一个保迹自同构。我们证明相关的多项式平均值 \begin{equation*} A_Nf:=\frac1N\sum_{n=1}^N\gamma^{P(n)}(f), \qquad N\in\mathbb N, \end{equation*} 对每个 $1<p<\infty$ 在 $L_p(\mathcal N)$ 上满足强极大不等式，扩展了先前已知的 $p$ 的范围。证明遵循 Bourgain 的主弧策略，但需要针对算子的大量新思想和新工具，这些可能在非交换分析中有进一步应用。更具体地说，我们通过发展 Stein 外插的非交换版本、新颖的组合方法以及 Doob 极大不等式的一个令人惊讶的多线性版本，得到了一个局部化的极大不等式。对于所需的衰减 $L_2$ 逼近，我们以避开标量证明中使用的多频率极大不等式的方式结合了 Bourgain 的两个构造。
英文摘要
We prove a noncommutative maximal ergodic inequality for averages along polynomial sequences. Let $γ$ be a trace-preserving automorphism of a semifinite von Neumann algebra $(\mathcal N,τ)$. We show that the associated polynomial averages \begin{equation*} A_Nf:=\frac1N\sum_{n=1}^Nγ^{P(n)}(f), \qquad N\in\mathbb N, \end{equation*} satisfy a strong maximal inequality on $L_p(\mathcal N)$ for every $1<p<\infty$, extending the previously known restricted range of $p$. The proof follows Bourgain's major-arc strategy but requires substantially new ideas and tools for operators that may have further applications in noncommutative analysis. More precisely, we obtain a localized maximal inequality by developing a noncommutative version of Stein's extrapolation, novel combinatorial methods, and a surprising multilinear version of Doob's maximal inequality. For the required decaying $L_2$-approximation, we combine two of Bourgain's constructions in a way that avoids the multi-frequency maximal inequality used in the scalar proof.
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