$SL_n(Z)$的Kazhdan常数

Uniform Kazhdan Constants and Paradoxes of the Affine Plane

Let $G=\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})\ltimes\mathbb{Z}^2$ and $H=\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$. We prove that the action $G\curvearrowright\mathbb{R}^2$ is uniformly non-amenable and that the quasi-regular representation of $G$ on $\ell^2(G/H)$ has a uniform spectral gap. Both results are a consequence of a uniform quantitative form of ping-pong for affine transformations, which we establish here.

整数环上Chevalley群的Kazhdan常数

Kazhdan constants for Chevalley groups over the integers

本文研究整数环上Chevalley群的Kazhdan常数下界问题，通过建立根系结构与Laplace算子平方行为的新联系，得到了除$\u27e8\mathtt{A}_{n}\u27e9$外类型的首个显式渐近精确下界。

Lipschitz 和 Kazhdan 常数之间的一个联系：关于实数线上同胚群的群

A connection between Lipschitz and Kazhdan constants for groups of homeomorphisms of the real line

研究了实数线上同胚群的Lipschitz和Kazhdan常数之间的联系，得出了相关群作用的Lipschitz和Kazhdan常数的上下界。

有限直积商群与一致Kazhdan常数

Non Uniform Kazhdan Constant for Linear Groups

该研究证明，存在任意多非平凡有限群直积商群的有限生成群，其一致Kazhdan常数为0，并将此结果应用于SL_n(ℤ)，得出其一致Kazhdan常数为0的结论。

Kazhdan constants, continuous probability measures with large Fourier coefficients and rigidity sequences

Exploiting a construction of rigidity sequences for weakly mixing dynamical systems by Fayad and Thouvenot, we show that for every integers $p_{1},\dots,p_{r}$ there exists a continuous probability measure $μ$ on the unit circle $\mathbb{T}$ such that \[ \inf_{k_{1}\ge 0,\dots,k_{r}\ge 0}|\widehat{μ}(p_{1}^{k_{1}}\dots p_{r}^{k_{r}})|>0. \] This results applies in particular to the Furstenberg set $F=\{2^{k}3^{k'}\,;\,k\ge 0,\ k'\ge 0\}$, and disproves a 1988 conjecture of Lyons inspired by Furstenberg's famous $\times 2$-$\times 3$ conjecture. We also estimate the modified Kazhdan constant of…

Kazhdan性质（T）的非交换实algebraic geometry

Noncommutative real algebraic geometry of Kazhdan's property (T)

众所周知，一个有限生成群$Γ$具有Kazhdan性质（T）当且仅当${\mathbb R}[Γ]$中的拉普拉斯元$Δ$具有谱隙。在本文中，我们证明了这一现象在${\mathbb R}[Γ]$中也是存在的。也就是说，$Γ$具有性质（T）当且仅当在${\mathbb R}[Γ]$中存在常数$κ>0$和有限序列$ξ_1,...,ξ_n$，使得$Δ^2-κΔ= \sum_i ξ_i^*ξ_i$。这一结果表明，通过求解${\mathbb R}[Γ]$中的方程，可能在计算机的帮助下，找到新的性质（T）组的例子。

密度为1/3的随机三角形群

Random triangular groups at density 1/3

设Γ（n，p）表示随机三角群的二项模型.我们证明了存在常数c，C > 0使得当p <= c/n^2时，a.a.s.Γ（n，p）是自由的，如果p >= C log n/n^2，则a.a.s.Γ（n，p）具有Kazhdan性质（T）.进一步证明了存在常数C '，c' > 0，使得当C '/n^2 <= p <= c' log n/n^2时，a.a.s.Γ（n，p）既不是自由的，也不具有Kazhdan性质（T）。

上同调增长率与Kazhdan-Lusztig多项式

Cohomological growth rates and Kazhdan-Lusztig polynomials

在以前的工作中，作者建立了半单代数群$G$（正特征$p$）和（Lusztig）量子群$U_ζ$（单位$ζ$的根）的不可约模的次数$n$上同调和$\Ext$ -群的维数的各种界限.这些界限只取决于根系，而不是在特征$p$或单位$ζ$的根的大小。本文研究了这些界限的增长率。无论是在量子和代数群的情况下，这些增长率代表新的和基本的不变量附加到根系统$Φ$。对于具有固定$Φ$的量子群$U_ζ$，证明了序列$\{\max_{L\,{\text{irred}}}\dim \opH^n(U_ζ,L)\}_n$具有与$ζ$无关的多项式增长.事实上，我们提供了多项式增长率的上界和下界。应用这些和相关的结果$\Ext^n_{U_ζ}$的Kazhdan-Lusztig多项式。多项式增长在代数群的情况下仍然是一个悬而未决的问题，虽然它被证明，$\{\log\max_{L\,\text{\rm irred}}\dim\opH^n(G,L)\}$有多项式增长$\leq 3$任何固定的素数$p$（和$\leq 4$，如果$p$是允许的变化与$n$）。我们表明这些问题的相关性（额外的结构）的常数提出的理论中的高上同调群有限简单的组与不可约系数的Guralnick，坎特，Kassabov，和Lubotzky \cite{GKKL}。

On property (T) for $\operatorname{Aut}(F_n)$ and $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$

We prove that $\operatorname{Aut}(F_n)$ has Kazhdan's property (T) for every $n \geqslant 6$. Together with a previous result of Kaluba, Nowak, and Ozawa, this gives the same statement for $n\geqslant 5$. We also provide explicit lower bounds for the Kazhdan constants of $\operatorname{SAut}(F_n)$ (with $n \geqslant 6$) and of $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ (with $n \geqslant 3$) with respect to natural generating sets. In the latter case, these bounds improve upon previously known lower bounds whenever $n > 6$.