The topology of the category of open and closed strings
本文研究开弦和闭弦的配边范畴的拓扑。这是一个2-范畴，其中的对象是紧致的单流形，其边界分量被标记为索引集（“D-膜”的集合），1-态射是有边界流形的配边，2-态射是曲面配边的仿射。我们的方法和技术是直接推广的美国。Tillmann在她的闭弦范畴的研究中。我们输入马德森和韦斯关于稳定的映射类群的拓扑的引人注目的定理，以确定作为无限闭路空间的开弦和闭弦范畴的几何实现的同伦类型。
2004-11-04 math.AT math.GT
Virtual Khovanov homology using cobordisms
我们扩展Bar-Natan的cobordism为基础的分类的琼斯多项式的虚拟链接。我们的拓扑复合物允许直接扩展的经典Khovanov复杂（$h=t=0$），李（$h=0,t=1$）和其他经典的链接同源的变体。我们表明，我们的建设允许，在环的特征两个，扩展没有经典的类比，例如巴-纳坦的$\mathbb{Z}/2$链接同源性可以扩展在两个非等价的方式。我们的构造是可计算的，在这个意义上，人们可以编写计算机程序来执行计算，例如，我们已经编写了一个基于Mathematica的程序。此外，我们给出了一个分类的所有无向TQFT，可用于定义虚拟链接同源从我们的拓扑结构。此外，我们证明了我们的扩张是组合的，并具有半局部性质。本文利用半局部性质证明了一个应用，即讨论了Lee关于虚同调的退化。
2014-09-02 math.GT
Cobordism invariants for knots with two indices
我们构造了一个对$Δ$ -移动敏感的无障碍虚结点不变量。如果存在和弦的$\Z_{2}\oplus \Z_{2}$ -索引，则该不变量有效。
2022-01-01 math.GT
Khovanov Homology, Lee Homology and a Rasmussen Invariant for Virtual Knots
本文包含了一个基本上自足的治疗Khovanov同调，Khovanov-Lee同调以及Rasmussen不变量的虚拟结和虚拟结配边，直接适用于经典的结和经典的结配边。要做到这一点，我们给出了一个替代配方的Manturov定义的Khovanov同调的虚拟结和链接与任意系数。这种方法使用纽结图上的切割轨迹来诱导Frobenius代数中的共轭算子。然后，我们讨论的影响，在上述理论的通用Frobenius代数的虚拟节点诱导的地图。接下来，我们将展示如何应用Karoubi包络的方法Bar-Natan和莫里森抽象的链接图与横截构建规范的Khovanov-李同源发电机。使用这些典型的发电机，我们推导出一个推广的Rasmussen不变量的虚拟结配边，并进一步推广Rasmussen的结果切片属正结的情况下，积极的虚拟结。还应该注意的是，这种推广的拉斯穆森不变量提供了一个很容易计算的障碍，在$S_g \times I \times I$的纽结配边在Turaev的意义。
2015-06-26 math.GT
Parity and Cobordisms of Free Knots
在本文中，我们构造了一个简单的不变量，它为{ \em free knots}提供了一个sliceness障碍。这个障碍提供了一个新的观点，研究问题的共边的曲线浸入2-曲面，一个问题以前研究的卡特，Turaev，奥尔，和其他人。利用作者最近在研究虚纽结及其变形时引入的{ \em宇称}概念，构造了无证性的障碍。这个不变量是一个障碍，更高的属的配边与一些额外的限制。
2010-05-16 math.GT
Virtual strings
虚弦是曲面上闭曲线的自相交的一种形式。我们引入虚弦并研究其几何性质和同伦不变量。我们还讨论了虚拟字符串，高斯字，和虚拟结之间的连接。
2003-10-15 math.AT math.GT
The Magnus representation and higher-order Alexander invariants for homology cobordisms of surfaces
从曲面到自身的带有边界标记的同调配边集具有自然幺半群结构。为了研究这个幺半群的结构，我们定义并研究了它的Magnus表示和Reidemeister扭转不变量，通过推广Kirk-Livingston-Wang关于弦链的Gassner表示的论点。此外，通过应用Cochran和Harvey的高阶（非交换）亚历山大不变量的框架，我们提取了几条信息的幺半群和相关对象。
2006-11-06 math.GT
Khovanov homology for virtual tangles and applications
我们扩展了基于配边的虚拟琼斯多项式的虚拟缠结的分类。这种扩张是组合的，并且具有半局部性质。本文利用半局部性质证明了一个应用，即讨论了Lee关于虚同调的退化。
2012-12-02 math.GT
Invariants and structures of the homology cobordism group of homology cylinders
同调柱面的同调配边群是映射类群和弦链协调群的推广。我们研究了这个群和它的子群通过发展新的同态的过滤。首先，我们定义了扩展的Milnor不变量相结合的思想Milnor的链接不变量和约翰逊同态。它们引起同调圆柱的同调配边群的降滤。证明了滤子的每一个连续商都是有限秩的自由阿贝尔。其次，我们定义了Hirzebruch型相交形式的缺陷不变量从迭代的p-覆盖的同调圆柱。利用它们，我们证明了我们的过滤的交集的阿贝尔化是无限秩的。此外，我们进一步研究结构的同源配边群的同源圆柱体，以前已知的不变量不检测。
2015-05-18 math.GT
Homology cobordism group of homology cylinders and invariants related to lower central series
同调柱面的同调配边群是曲面的映射类群和弦链协调群的推广。我们考虑了映射类群的Johnson同态的扩张，同调柱面上链环的Milnor不变量和Orr不变量，所有这些都与自由幂零群群有关.我们通过扩展的Johnson同态和扩展的Milnor不变量的核建立了一个组合过滤。我们确定了它在这三个不变量下的象，研究了不变量之间的关系，以及滤子与自由幂零群的自同构群和分次自由李代数的关系.我们通过检查过滤的连续的连续项来获得线性无关不变量的数目。
2020-12-24 math.GT
Homology Cobordism Invariants and the Cochran-Orr-Teichner Filtration of the Link Concordance Group
对于任意群G，我们定义了一个与其导出列有关的新的特征列，称之为G的无挠导出列.利用这个级数和Cheeger-Gromov rho-不变量，我们得到了（4k-1）维闭流形上新的实值同调配边不变量rho_n.对于三维流形，我们证明了{rho_n}是一个线性无关集，并且对于每个n，rho_n的象是R的一个无限生成的稠密子集.在他们关于结一致性的开创性工作中，T。Cochran，K. Orr和P. Teichner定义了m-分量（弦）链协调群的滤子F_（n）^m，称为（n）-可解滤子。它们还定义了一个摸索过滤G_n^m。我们证明了对于（n+1）-可解链，rho_n为零.利用这一点和rho_n的非平凡性，我们证明了对于每个m>1，链协调群的（n）-可解滤子的连续子群包含一个无限生成子群。我们也建立了一个类似的结果，摸索过滤。我们注意到，对于结点（m=1），已知（n）-可解滤子的连续向量是无穷的。然而，对于纽结，当n>2时，不知道这些子元是否具有无穷秩。
2007-10-28 math.AT math.GT
Bikei Invariants and Gauss Diagrams for Virtual Knotted Surfaces
标记顶点图提供了一种组合方式来表示$\mathbb{R}^4$中的打结表面;包括虚拟交叉允许虚拟打结表面和虚拟配边理论。Biquandle计数不变量的定义只为标记的顶点图表示打结可定向曲面，我们扩展这些不变量的所有虚拟标记顶点图考虑着色对合biquandles，也被称为bikei。我们引入了一种用高斯图表示标记顶点图的方法，并用它来刻画可定向性。
2015-06-05 math.GT math.QA
Coverings, composites and cables of virtual strings
虚串可以定义为平面图在某种图移下的一个等价类。虚拟字符串与虚拟结相关，因为对虚拟结图的简单操作产生虚拟字符串的图。在本文中，我们考虑三个操作的虚拟字符串或虚拟字符串产生另一个虚拟字符串，即覆盖，组成和电缆。特别是，我们研究虚拟字符串不变的覆盖操作。我们还展示了一个复合虚拟字符串的基础矩阵是如何与其组件的基础矩阵，纠正Turaev的结果。最后，我们调查电缆下发生了什么，一些不变量定义的Turaev。
2009-07-07 math.GT
Bowling ball representation of virtual string links
在本文中，我们调查的虚拟字符串链接通过概率的解释。这种表示可以用来区分一些虚拟的字符串链接从经典的字符串链接。为了研究这种概率解释背后的代数结构，我们引入了虚平面双量子的概念。讨论了虚平坦双量子点的上循环不变量。
2015-01-21 math.GT
An invariant for open virtual strings
扩展的Alexander群被用来定义开虚拟字符串的不变量。非交换开弦和一个带状和谐障碍的例子。给出了一个非带状切片虚拟开弦的例子。定义扩展到开n-字符串。
2004-12-28 math.GT
On tabulating virtual strings
虚弦可以被定义为曲面上的闭曲线模某些等价关系。Turaev定义了几个不变量的虚拟字符串，我们用它来产生一个表的虚拟字符串多达4个交叉。我们讨论了将列表扩展到5个过境点的进展情况。我们还提供了一个反例角上的声明。
2008-08-01 math.GT
On Homology of Virtual Braids and Burau Representation
虚纽结产生于高斯图和普通纽结的瓦西里耶夫不变量的研究。虚拟辫子自然地对应于虚拟结。本文研究了n个弦VB_n上的虚辫群及其Burau表示，特别是研究了它们的同调性质。证明了无穷多个弦上的虚辫群的分类空间的加-结构是一个无穷闭路空间，它等价于Q（S^0），S^1和一个无穷闭路空间Y的乘积.讨论了与整数的K-函子的关系。
1999-04-18 math.AT math.GT
Complexity of virtual multistrings
虚拟$n$字符串$α$是曲面$M$上面向$n$的平滑通用环的集合。$α$的稳定是一种手术，该手术导致将手柄沿着椎间盘连接到$M$上，避免$α$，而反向操作是$α$的不稳定。我们考虑虚拟$n$ -串到虚拟同伦，即，$α$的稳定化、去稳定化和同伦序列。最近，Cahn证明了任何虚$1$ -弦都可以通过单调减少亏格和自相交数而虚拟同伦到亏格最小和交叉最小的代表。我们将她的结果推广到连通非平行$n$ -串的情况。Cahn还证明了虚$1$ -弦的任何两个交叉不可约表示都与类型3移动、稳定化和不稳定化相关。Kadokami声称这适用于一般的虚$n$ -字符串，但Gibson发现了$5$ -字符串的反例。我们表明，Kadokami的声明举行的连接非平行$n$ -字符串，并展示了一个反例$3$ -字符串。
2017-09-05 math.GT
Multistring based matrices
虚拟$n$ -字符串是一个弦图，具有$n$核心圆和核心圆之间的箭头集合。我们认为虚拟$n$ -字符串虚拟同伦，组成单位虚拟Reidemeister移动和弦图。给定一个虚1-字符串$α$，Turaev关联了一个基矩阵，该基矩阵编码$α$的虚同伦类的不变量。我们推广Turaev的方法，将一个基于多字符串的矩阵关联到虚拟$n$ -字符串，解决了Turaev的一个公开问题，并为虚拟$n$ -字符串的虚拟同伦类构造了类似的不变量。
2017-09-02 math.GT
Virtual Strings for Closed Curves with Multiple Components
高斯段是在某个曲面上具有多个分量的一般闭曲线的组合公式。虚拟字符串是带有箭头的圆的集合，箭头表示此类曲线的交叉点。每个闭曲线都有一个潜在的虚拟字符串，每个虚拟字符串都有一个潜在的高斯段落。按单词划分是高斯段落的字母集的划分，其满足关于高斯段落的某些条件。在本文中，我们使用的理论虚拟字符串获得的组合描述的闭曲线在2球（因此2维欧几里得空间）的高斯段落和字明智的分区。
2005-03-08 math.GT
A Generalization of Turaev's Virtual String Cobracket
在以前的文件中，我们定义了一个操作$μ$，推广Turaev的cobracket的循环表面上。我们表明，在对比cobracket，这个操作给出了一个公式的最小数目的自相交的循环在一个给定的自由同伦类。在本文中，我们考虑相应的问题，虚拟字符串。我们发现，$μ$给出了一个虚拟字符串的最小自相交数的界限，这是强于由Turaev的虚拟字符串cobracket给出的界限。我们使用Turaev基矩阵来描述字符串$α$，使得$μ$给出了最小自相交数$α$的公式。我们还构造了一个例子，表明由$μ$给出的最小自相交数的界有时比由Turaev基于矩阵不变量给出的界$ρ$更强。
2014-05-09 math.GT
Doubled Khovanov Homology
我们定义了一个同调论的虚拟链接建立了直和的标准Khovanov复杂的本身，激励的名称加倍Khovanov同源。我们证明，它可以用来表明，一些虚拟的链接是非经典的，它会产生一个条件的虚拟结是两个unknots的连接和。此外，我们证明了双Khovanov同调具有类似于李在经典情况下定义的扰动，并定义了一个双Rasmussen不变量。这个不变量用于获得各种配边障碍;特别是它是对sliceness的障碍。最后，我们证明了双Rasmussen不变量包含了一个虚拟纽结的奇扭，并利用这一点来证明具有非零奇扭的纽结不是切片的。
2017-05-30 math.GT
Goussarov-Polyak-Viro's $n$-equivalence and the pure virtual braid group
在有限型不变量的背景下，Stanford在纯辫群的下中心序列所定义的纽结上引入了一族等价关系，并根据辫群的结构刻画了有限型不变量。我们知道，这个等价和Ohyama的等价定义的一个局部移动是等价的。另一方面，在虚纽结理论中，Ohyama等价的概念被Goussarov-Polyak-Viro扩展，称为$n$ -等价。本文利用纯虚辫群的下中心序列将Stanford等价推广到虚纽结和虚弦链，称之为$L_n$ -等价.然后，我们证明了$L_n$ -等价等于$n$ -等价的虚拟字符串链接。此外，我们直接证明了两个虚拟字符串链接是不区分的任何有限型不变量的程度$n-1$，如果他们是$L_n$ -等价的，任何正整数$n$。
2019-05-04 math.GT
A polarized view of string topology
设M是连通闭流形，LM是它的闭路空间.本文描述了h_*（LM）中的闭弦拓扑运算，其中h_* 是支持M定向的广义同调论.我们将证明这些运算使h_*（LM）具有无可数单位的交换Frobenius代数的结构。等价地，它们描述了与h_*（LM）相联系的正边界二维拓扑量子场论.这意味着，只要q >0，就存在对应于具有p个输入边界分量和q个输出边界分量的任何曲面的运算。不存在计数是因为不存在与圆盘D^2相关联的运算，可以看作是从圆到空集的配边。我们将研究构造这样一个运算的同调障碍，并证明为了使这样一个运算存在，必须取h_*（LM）为与闭路空间相关联的一个适当的同调亲对象.受此启发，我们引入了一个前光谱与LM时，M具有殆复结构。给定这样一个流形，它的闭路空间有它的切丛的正则极化，这是定义这个原谱所需要的基本特征。我们称之为LM的“极化Atiyah -对偶”。一个适当的同调论应用于这个prospectrum将是一个候选的理论，支持弦拓扑操作与任何表面，包括闭曲面。
2004-04-08 math.AT math.GT
Milnor invariants, $2n$-moves and $V^{n}$-moves for welded string links
在以前的论文中，作者证明了Milnor链接同伦模$n$不变量分类经典字符串链接到$2n$ -移动和链接同伦。作为焊接的情况下的类似物，在米尔诺不变量方面，我们在这里给出两个分类的焊接字符串链接到$2n$ -移动和自交叉虚拟化，和高达$V^{n}$ -移动和自交叉虚拟化，分别。
2019-02-28 math.GT
Homotopy classification of ribbon tubes and welded string links
带状2-纽结物体是四维空间中曲面的局部平坦嵌入，它仅以带状奇点约束浸入三维流形。它们表现为焊接打结物体的拓扑实现，这是虚拟纽结理论的自然商。在本文中，我们考虑带状管和带状环面链接，这是自然的类似物的字符串链接和链接，分别。我们将展示如何带状管自然作用于减少自由群，以及如何将带状管分类到链接同伦，即允许每个组件交叉时。在组合层次上，这提供了一种焊接串链接到自虚拟化的分类。这推广了Habegger和Lin关于通常的弦链的一个结果，并且上述关于约化自由群的作用可以被精化为Milnor不变量的一般“虚扩张”。作为应用，我们得到了带状环链到链同伦的分类。
2016-02-05 math.GT
Finite-Type Invariants of Order One for Framed Virtual Knots
A. Henrich证明了虚纽结的一阶普适有限型不变量的存在性。我们扩展的建设和她的论文的方法，以框架虚拟结。要做到这一点，我们介绍的概念，虚拟字符串和框架平面虚拟结的基础矩阵。
2016-10-11 math.GT
Finite-type Invariants of Long and Framed Virtual Knots
我们推广了三个不变量，首先由A。亨利克，到长和/或框架虚拟结的情况下。这些不变量都是一阶的有限型不变量，并包括一个泛不变量。这种推广要求我们把最初由V. Turaev提出、后来由Henrich推广的虚弦的基矩阵的概念推广到长的和框架的情况。
2016-10-13 math.GT
A Polynomial Invariant for Flat Virtual Links
本文给出了平面虚连杆的一个多项式不变量。在一个组件的情况下，多项式专用于Turaev的虚拟字符串多项式。我们表明，Turaev的多项式具有的属性，它是非零的，正是当没有约束的结，所描述的Hrencecin和考夫曼。Schellhorn提供了一个用于扁平虚拟链接的演示版本。我们的多项式具有这样的性质，即如果存在一个多项式，则多项式为0。反之则会失败，尽管如果多项式为0，则很容易确定是否存在双列式。
2005-12-06 math.GT
A Sequence of Degree One Vassiliev Invariants for Virtual Knots
对于R3中的普通纽结，不存在一次Vassiliev不变量。然而，对于虚结点，一阶瓦西里耶夫不变量的空间是无穷维的。我们引入了一个序列的三度一Vassiliev不变量的虚拟节点的强度增加。我们证明，最强的不变量是一个普遍的Vassiliev不变量的程度为一个虚拟的结在这个意义上，任何其他程度的一个Vassiliev不变量可以从它恢复一定的自然建设。为了证明这些结果，我们扩展的基础矩阵不变量引入的Turaev虚拟字符串类的奇异虚拟结的一个双点。
2008-04-03 math.GT
The intersection polynomials of a long virtual knot II: Two supporting genera and characterizations
University of Yamanashi（山梨大学）；Kobe University（神户大学）
本文提出通过两种不同的曲面实现方式定义1-和2-支撑genus，用于分析长虚拟结的交叠多项式特性，并提供了所有十二个交叠多项式的可实现性标准。
2025-12-05 math.GT
On Usual, Virtual and Welded knotted objects up to homotopy
我们考虑几类打结的对象，即通常的，虚拟的和焊接的纯编织物和字符串链接，和两个等价关系对这些对象，引起的自交叉的变化或自虚拟化。我们提供了一些结果，指出这些不同的概念之间的差异。证明主要是基于高斯图公式的技巧。
2016-12-15 math.GT
Vassiliev invariants for virtual knotoids
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）
本文提出了一种虚拟结的0平滑不变量F，证明其为一阶Vassiliev不变量，并展示F提供的信息少于Petit的粘合不变量。
2026-02-12 math.GT
Homotopy Brunnian links and the $κ$-invariant
我们提供了一个替代的证明，Koschorke的$κ$ -不变量是单射的一组链接同伦类的$n$ -组件同伦Brunnian链接$BLM(n)$。现有的证明（由Koschorke \cite{Koschorke97}）是基于庞特里亚金-托姆的框架配边理论，而我们的精神更接近于基于Habegger和Lin的弦链接的技术。我们框架的语言福克斯环面同伦群和有理同伦李代数的配置空间$\text{Conf}(n)$的$n$点在$\mathbb{R}^3$的结果。它允许我们表达相关的米尔诺尔的$μ$ -不变量作为同伦周期的$\text{Conf}(n)$。
2014-11-14 math-ph math.AT math.GT
