Self-conformal sets with positive Hausdorff measure
我们研究了一类拟自相似集的Hausdorff测度和内容，例如，图定向集、次自相似集和自共形集。我们证明了这样一个集合的任何Hausdorff可测子集都具有可比的Hausdorff测度和Hausdorff内容。特别地，这证明了具有正Hausdorff测度的图定向集和次自共形集是Ahlfors正则的，而与分离条件无关。当限制到实直线的自共形子集的豪斯多夫维数严格小于1时，我们还证明了弱分离条件等价于Ahlfors正则性，并且它的失效意味着满Assouad维数.事实上，我们解决了降维猜想的一个自共形推广，证明了具有正Hausdorff测度的自共形集的豪斯多夫维数低于期望值当且仅当存在精确重叠.
2019-12-11 math.CA math.DS math.MG
Hausdorff Dimension of the Set of Extreme Points of a Random Countable Stable Zonotope
Saint Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
该研究确定了随机可数稳定zonotope极点集的Hausdorff维数，证明其几乎必然为$(d-1)\alpha$，并给出了临界Hausdorff测度几乎必然有限的结论，同时阐述了上下界的推导方法。
2026-09-04 math.MG math.PR
Hausdorff dimension of boundaries of self-affine tiles in R^n
提出了一种计算一类分形的豪斯多夫维数的新方法：自仿射瓦片边界。其中有趣的方面是，即使迭代函数系统的仿射收缩不共轭的相似性，我们得到的豪斯多夫维数的上限和下限。事实上，如果基础仿射压缩的特征值的模都相等（这包括Jordan块），我们就得到了维数的精确值。我们讨论的瓦片在小波理论中起着重要的作用。我们计算了一些例子的维数。
1997-01-15 math.DS math.MG
Hausdorff dimension of planar self-affine sets and measures
设$X=\bigcupφ_{i}X$是$\mathbb{R}^2$中的强分离自仿射集（或满足强开集条件的自仿射集）.在对$φ_{i}$的矩阵部分作轻度非紧性和不可约性假设的情况下，证明了$\dim X$等于仿射维数，自仿射测度和李雅普诺夫维数也是如此.证明是通过分析的措施的正交投影的维数，并依赖于加法组合数学方法。
2017-12-20 math.DS math.MG
Open set condition and pseudo Hausdorff measure of self-affine IFSs
设$A$是一个$n\times n$实扩张矩阵，$\mathcal{D}$是$\mathbb{R}^n$的一个有$0\in\mathcal{D}$的有限子集。映射族$\{f_d(x)=A^{-1}(x+d)\}_{d\in\mathcal{D}}$称为自仿射迭代函数系统（self-affine iterated function system，简称自仿射IFS）。自仿射集$K=K(A,\mathcal{D})$是由满足集值方程$K=\displaystyle\bigcup_{d\in\mathcal{D}}f_d(K)$的$(A, {\mathcal D})$确定的唯一紧集。数字$s=n\,\ln(\# \mathcal{D})/\ln(q)$与$q=|\det(A)|$，是所谓的$K$的伪相似维数。如He和Lau所示，人们可以将$A$和任意数的$s\ge 0$与自然的伪Hausdorff测度$\mathcal{H}_w^s.$联系起来。本文证明了，如果$s$被选为$K$的伪相似维数，则条件$\mathcal{H}_w^s(K)> 0$成立当且仅当IFS $\{f_d\}_{d\in\mathcal{D}}$满足开集条件。这扩展了自相似情况下的众所周知的结果，即对于合适的$s$，OSC等价于具有正Hausdorff测度$\mathcal{H}^s$的$K$。进一步，我们将伪Haus…
2019-02-28 math.DS math.MG
Hausdorff dimension OF dynamical Dophantine approximation associated with ergodic mixing systems
本文针对混合遍历系统，在精确维数与非精确维数条件下分别给出动力覆盖豪斯多夫维数公式，并将圆上二倍映射结果推广至二维环面乘以2、乘以3映射。
2025-10-10 math.DS math.MG
Quasi-self-similar fractals containing "Y" have dimension larger than one
设$X$是紧连通度量空间，$f: X \to X$是Haïssinsky-Pilgrim意义下的度量粗扩张共形映射.证明了如果$X$包含字母“Y”的同胚拷贝，则$X$的豪斯多夫维数大于1.作为应用，我们证明了半双曲有理映射$f$的朱利亚集$\mathcal{J}_f$拟对称等价于豪斯多夫维数1的空间当且仅当$\mathcal{J}_f$同胚于圆或闭区间.
2022-09-21 math.DS math.MG
How to define your dimension: A discourse on Hausdorff dimension and self-similarity
人们常把直线和平面区别开来，说前者是一维的，而后者是二维的。但是，一个物体有$d-$维数意味着什么呢？我们能否为任意物体（比如雪花）严格定义一个一致的维数概念？维数必须总是整数值吗？在强调了一些关键的问题，一个人遇到的同时定义一个合理的概念，为某类对象的尺寸，我们试图回答上述问题，探索的概念豪斯多夫维数-一个显着的方法分配维度的子集的任意度量空间。为了正确地表述豪斯多夫维数的定义和性质，我们事先回顾了临界测度论术语。最后，我们讨论了自相似性的概念，并展示了它如何经常违背我们的直觉，维度必须始终是整数值。
2020-12-19 math.HO math.MG
On strict Whitney arcs and $t$-quasi self-similar arcs
称$\mathbb{R}^N$的连通紧子集$E$是严格惠特尼集，如果存在具有$\nabla f|_E\equiv 0$的$\mathbb{R}^N$上的实值$C^1$函数$f$，使得$f$在$E$的非空相对开子集上都不为常数。证明了$\mathbb{R}^N$中的Hausdorff维数$s>1$的每一条自相似弧都是具有临界性$s$的严格Whitney集.我们还研究了一种特殊的自相似弧，我们称之为“规则”自相似弧。我们得到了正则自相似弧$Λ$是$t$ -拟弧以及$Λ$上的Hausdorff测度函数是严格Whitney函数的充要条件。证明了正则自相似弧若具有“最小角”$θ_{\min}>0$，则它是1-拟弧，因而它的Hausdorff测度函数是严格Whitney函数.我们提供了一个例子，一个参数家庭的定期自相似弧的各种功能。对于参数$τ$的某个值，自相似弧的Hausdorff测度函数是弧上的严格惠特尼函数，因此自相似弧是$s$ -准弧，其中$s$是弧的Hausdorff维数。对于每个$t_0\ge 1$，存在$τ$的值，使得对应的自相似弧对于每个$t>t_0$是$t$ -准弧，但它不是$t_0$ -准弧。对于每个$t_0>1$，存在$τ$的值，使得对应的自相似弧是$t_0$ -准弧，但是对于没有$t\in [1, t_0)$，它是$t$ -准弧。
2017-03-30 math.DS math.GN math.MG
Irreducible fractal structures for Moran's type theorems
本文刻画了完全度量空间上IFS-吸引子的一个新的分离性。这样的分离性比强开集条件（SOSC）弱，并且对于达到严格自相似集的相似性和豪斯多夫维数之间的相等是必要的。我们还调查的重叠的大小，从分离性能的观点。此外，我们给出了作者在有限覆盖下引入的IFS吸引子的相似维数与一个新的Hausdorff型维数相等的等价条件.
2017-07-09 math.DS math.MG
Arithmetic representations of real numbers in terms of self-similar sets
设$n\geq 2$和$\mathcal{A}_{i}\subset \{0,1,\cdots ,(n-1)\}$为$ i=1,\cdots ,l,$的$K_{i}=\bigcup\nolimits_{a\in \mathcal{A}_{i}}n^{-1}(K_{i}+a)$为包含在$[0,1].$中的自相似集给定$ m_{1},\cdots ,m_{l}\in \mathbb{Z}$和$\prod\nolimits_{i}m_{i}\neq 0,$，我们设\begin{equation*} S_{x}=\left\{ \mathbf{(}y_{1},\cdots ,y_{l}\mathbf{)}:m_{1}y_{1}+\cdots +m_{l}y_{l}=x\text{ with }y_{i}\in K_{i}\text{ }\forall i\right\} . \end{equation*}本文分析了如下集合\begin{equation*} U_{r}=\{x:\mathbf{Card}(S_{x})=r\}, \end{equation*}的Hausdorff维数和Hausdorff测度，其中$\mathbf{Card}(S_{x})$表示$S_{x}$的基数，$r\in \mathbb{N}^{+}$表示$S_{x}$的基数。在所谓的覆盖条件下，证明了$U_{1}$的H…
2018-08-29 math.DS math.MG math.NT
Hausdorff Dimension of Generalized Fibonacci Word Fractals
斐波那契字分形是最近被研究的一类分形，尽管它们所产生的字在组合学中得到了更广泛的研究。斐波那契字可以用来画一条曲线，该曲线具有由字的递归结构决定的自相似性。对于$i$ -Fibonacci曲线以及$0$和$π/2$之间的任意绘图角，计算了有限Fibonacci字曲线标度极限的豪斯多夫维数.
2016-01-19 math.MG
The Assouad dimensions of projections of planar sets
我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。
2016-10-14 math.CA math.DS math.MG
Minimising Hausdorff Dimension under Hölder Equivalence
我们研究与给定度量空间Hölder等价的空间的豪斯多夫维数的下界值;我们称之为双Hölder不变的“Hölder维数”。这个定义和我们的一些方法类似于在共形维数的研究中所使用的那些。本文证明了紧致二重度量空间的Hölder维数是由容量维数上界的.作为推论，我们得到了紧的局部自相似度量空间的Hölder维数与拓扑维数相等.在这个过程中，我们证明了任何紧的，加倍度量空间可以映射到希尔伯特空间，使映射是一个bi-Hölder同胚到它的图像和豪斯多夫维数的图像是任意接近原空间的容量维。我们提供的例子来说明我们的结果的清晰度。例如，一个例子表明对于非自相似空间，Hölder维数可以严格大于拓扑维数，另一个例子表明Hölder维数不需要达到。
2019-01-18 math.MG
The Moran--Hutchinson formula in semimetric spaces
Shizuoka University（静冈大学）
该研究建立了半度量空间上有限满相似映射系统吸引子的Moran–Hutchinson公式，证明了开集条件与吸引子相似维数处Hausdorff测度正有限的等价性，部分解答了Bessenyei等人2022年提出的问题。
2026-08-18 math.DS math.MG
On the dimensions of attractors of random self-similar graph directed iterated function systems
在本文中，我们提出了一个新的随机图有向分形模型，扩展了目前著名的随机图有向迭代函数系统，$V$ -变量吸引子，分形和Mandelbrot渗流模型。我们研究其尺寸特性的相似性和没有重叠。特别是，我们表明，对于两类$1$ -变量和$\infty$ -变量的随机图定向吸引子，我们介绍的Hausdorff和上盒计数维数几乎肯定一致，不管重叠。在一致强分离条件的附加假设下，给出了Hausdorff维数和Assouad维数的几乎必然表达式.
2017-05-19 math.DS math.MG math.PR
A dichotomy of self-conformal subsets of the real line with overlaps
我们证明了不满足弱分离条件的$\mathbb{R}$的自共形子集具有完整的Assouad维数。结合Käenmäki和Rossi最近的结果，我们得出结论，一个有趣的二分法适用于自共形而不仅仅是自相似集：如果$F\subset\mathbb{R}$是自共形的，豪斯多夫维数严格小于$1$，要么豪斯多夫维数和Assouad维数一致，要么Assouad维数是$1$。我们的结论是弱分离性在这种情况下等价于Assouad维数和豪斯多夫维数重合。(This手稿包含错误，见下面的评论。）
2019-05-01 math.DS math.MG
The semicontinuity of dimensions of measures
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
本文在球半径均匀性条件下，研究测度维数（如豪斯多夫维数）在测度Gromov--Hausdorff收敛和箱收敛下的半连续性，并推广至其他类似维数。
2026-10-01 math.MG
New Hausdorff type dimensions and optimal bounds for bilipschitz invariant dimensions
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Institute of Mathematics and Informatics, Eszterházy Károly Catholic University（埃斯泰尔戈伊卡罗利天主教大学数学与信息学研究所）；Institute of Mathematics, ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学数学研究所）
通过限制覆盖直径集引入新分形维数族，证明该族包含连续多个不同维数且与豪斯多夫维数共享多数性质，并给出双Lipschitz不变单调维数的最优界。
2026-05-25 math.CA math.MG
The dimensions of Hausdorff and Mendes France. A comparative study
本文对平面上两类简单曲线进行了比较研究。一方面，我们得到了单位区间上的分形曲线，它们具有自相似的结构，并伴随着一个豪斯多夫维数。另一方面，我们有相反的：一类局部可求长的无界曲线，它有另一个由M定义的“分数维”。法国门德斯。我们提出了一个几何建设性的过程，将使我们能够获得-作为一系列的多边形曲线的限制-一条曲线的第一家庭，由压缩变换;和另一个第二家庭，由膨胀变换。由于这一过程的连接曲线从两个家庭，我们能够比较他们的尺寸-我们在这项工作中的目的-并获得有趣的结果，如平等的情况下，后者严格的自相似性。
2000-04-10 math-ph math.CA math.MG
On the Assouad dimension of self-similar sets with overlaps
与豪斯多夫维数不同，如果自相似集的构造中存在重叠，则其Assouad维数可以超过相似维数.我们的主要结果是以下精确二分法的自相似集的线：要么\emph{weak separation property}是满意的，在这种情况下的Hausdorff和Assouad维数一致;或\emph{weak separation property}是不满意的，在这种情况下的Assouad维数是最大的（等于1）。在第一种情况下，我们证明了自相似集是Ahlfors正则的，在第二种情况下，我们使用的事实，如果\emph{weak separation property}不满足，一个可以近似的身份任意好的相似映射所产生的组，这使我们能够建立一个\emph{weak tangent}，其中包含一个区间。我们还获得了更高的维度的结果，并提供了说明性的例子表明，“平等/最大”二分法不延伸到这个设置。
2015-01-16 math.CA math.DS math.MG
On the set of subarcs in some non-postrcritically finite dendrites
我们在平面上构造了一族非PCF枝晶$K$，使得每个枝晶中的所有子弧都具有相同的豪斯多夫维数$s$，而连接给定点和K中自相似Cantor子集的子弧的$s$维Hausdorff测度集是Cantor不连续集.
2018-12-20 math.MG
Equilateral triangles in subsets of ${\Bbb R}^d$ of large Hausdorff dimension
证明了豪斯多夫维数足够大的${\Bbb R}^d$、$d \ge 4$的子集包含一个等边三角形的顶点.已知需要附加的假设来确保二维中等边三角形的存在（参见\cite{CLP14}）。我们证明了在四维和更高维中不需要额外的条件。三维案件仍处于开放状态。欧几里得空间中的三角形问题与有限域上向量空间中的三角形问题之间存在一些有趣的相似之处。我们将概述这些相似之处，希望最终达到一个全面的了解这一现象的设置局部紧阿贝尔群。
2016-03-07 math.CA math.CO math.MG
Curly Kakeya: The Hausdorff dimension of sets containing circles or line segments in many directions
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；ICMAT（数学联合研究所）
研究包含多个方向圆的集合的豪斯多夫维度下界，通过分析球面极点和经线的结构，证明该集合的维度至少为n-1。
2026-07-23 math.CA math.MG
Topological dimension of the Gromov-Hausdorff and Gromov-Prokhorov spaces
本文确定有限点度量空间与有限支撑度量测度空间在 Gromov–Hausdorff 和 Gromov–Prokhorov 距离下的拓扑维数，并证明无限情形为强无限维。
2025-02-17 math.GN math.MG
Multiple codings for self-similar sets with overlaps
本文考虑了一类具有完全重叠的自相似集的一般类$\mathcal E$。给定实数线上的自相似迭代函数系统$Φ=(E, \{f_i\}_{i=1}^m)\in\mathcal E$，对于每个点$x\in E$，我们可以找到一个序列$(i_k)=i_1i_2\ldots\in\{1,\ldots,m\}^\mathbb N$，称为$x$的编码，使得$$ x=\lim_{n\to\infty}f_{i_1}\circ f_{i_{2}}\circ\cdots\circ f_{i_n}(0). $$对于$k=1,2,\ldots, \aleph_0$或$2^{\aleph_0}$，我们研究由具有精确$k$不同编码的所有$x\in E$组成的子集$\mathcal U_k(Φ)$。在几个等价刻画中，我们证明了$\mathcal U_1(Φ)$是闭的当且仅当$\mathcal U_{\aleph_0}(Φ)$是空集。进一步，我们给出了$\mathcal U_k(Φ)$的Hausdorff维数的显式表达式，并证明了对于任何$k\ge 2$，$\mathcal U_k(Φ)$的Hausdorff测度总是无穷大.最后，我们明确地计算了自相似测度在$\mathcal U_k(Φ)$和${U_{\aleph_0}(Φ)}$中每一点的局部维数。
2019-06-17 math.DS math.MG math.NT
Constructing self-similar subsets within the fractal support of Lacunary Wavelet Series for their multifractal analysis
针对Hausdorff维数与上盒维数匹配的分形，提出在内部构建具有可控自相似性的拟Cantor子集的新方法，用于在经典质量传递原理失效时估计相交集合的维数下界，并应用于计算缺项小波级数的递增多重分形谱。
2025-01-30 math.CA math.MG math.PR
The quasi-Assouad dimension for stochastically self-similar sets
随机自相似集类包含了许多著名的随机集例子，如Mandelbrot渗流和一般分形渗流。在一致开集条件和迭代函数系的一些较弱的假设下，证明了自相似随机递归集的拟Assouad维数几乎必然等于其几乎必然的豪斯多夫维数.我们进一步评论随机齐次和$V$变量集和重叠条件的删除。
2017-09-08 math.DS math.MG math.PR
Curvature densities of self-similar sets
对于R ^d中的一大类自相似集F，引入了可微子流形的高阶中曲率的类似，特别是分形Gauss型曲率.它们被证明是相关的分形曲率测度的密度，由于F的自相似性，它们都是F上相应的Hausdorff测度的倍数。这种基于遍历理论的关联动力系统的局部方法使我们能够推广以前的整体曲率结果。
2010-09-30 math.MG
Fractal entropies and dimensions for microstate spaces
使用Voiculescu的概念的一个matricial微观状态，我们介绍分形维数和熵的有限集的自伴运营商在tracial冯诺依曼代数。我们表明，他们拥有类似于他们的经典前辈的属性。我们将这些新的量与自由熵和自由熵维数联系起来，并证明了自由豪斯多夫维数的一个修正形式是一个代数不变式。我们计算自由豪斯多夫维数的情况下，该集生成一个有限维代数或该集由一个单一的自伴。我们表明，自由的豪斯多夫维数成为添加剂的存在下，这样的集合。
2003-09-10 math.MG math.OA
From Lipschitz embedding to Lipschitz equivalence between dust-like self-similar sets
本文研究具有相同Hausdorff维数的尘状自相似集，证明在特定条件下Lipschitz嵌入蕴含Lipschitz等价，并给出反例，回答了Balka和Keleti的两个问题。
2025-09-08 math.CA math.MG
How large dimension guarantees a given angle?
我们研究了以下两个问题：（1）给定$n\ge 2$和$\al$，如果$A$不包含三个成角$\al$的点，紧集$A\su\Rn$的豪斯多夫维数能有多大？(2)给定$\al$和$\de$，如果$A$不包含在$\al$的$\de$ -邻域中形成角度的三个点，那么欧几里得空间的%紧子集$A$的豪斯多夫维数可以有多大？一个有趣的现象是，在上述问题中，不同的角度表现出不同的行为。除了明显特殊的极值角θ和$180^\circ$外，角$60^\circ,90^\circ$和$120^\circ$在问题（2）中也起特殊作用：这些特殊角的最大维数小于其它角的最大维数。在问题（1）中，角度$90^\circ$的行为似乎与其他角度不同。
2012-04-06 math.CA math.MG
