环面AF-代数与映射类群的忠实表示

Characterization of affine surfaces with a torus action by their automorphism groups

In this paper we prove that if two normal affine surfaces $S$ and $S'$ have isomorphic automorphism groups, then every connected algebraic group acting regularly and faithfully on $S$ acts also regularly and faithfully on $S'$. Moreover, if $S$ is non-toric, we show that the dynamical type of a 1-torus action is preserved in presence of an additive group action. We also show that complex affine toric surfaces are determined by the abstract group structure of their regular automorphism groups in the category of complex normal affine surfaces using properties of the Cremona group. As a generaliz…

二维复曲面Bézier曲面片的内射性

Injectivity of 2D Toric Bézier Patches

有理Bézier函数作为映射函数广泛应用于曲面重参数化、有限元分析、图像变形等领域。映射函数的内射性（一对一性质）对于这些应用通常是必需的。复曲面Bézier曲面片是定义在一组整数格点的凸包上的经典曲面片（三角形、张量积）的推广。我们给出了一个几何条件上的控制点，我们表明是等价于每一个二维复曲面Bézier补丁与这些控制点的所有可能的选择的权重的内射性。该条件改进了Craciun等人的条件，这只意味着在一个补丁的内部注入性。

Equivariant stable sheaves and toric GIT

For (X,L) a polarized toric variety and G a torus of automorphisms of (X,L), denote by Y the GIT quotient X/G. We define a family of fully faithful functors from the category of torus equivariant reflexive sheaves on Y to the category of torus equivariant reflexive sheaves on X. We show, under a genericity assumption on G, that slope stability is preserved by these functors if and only if the pair ((X, L), G) satisfies a combinatorial criterion. As an application, when (X,L) is a polarized toric orbifold of dimension n, we relate stable equivariant reflexive sheaves on (X, L) to stable equivar…

Monodromy and vanishing cycles in toric surfaces

Given an ample line bundle on a toric surface, a question of Donaldson asks which simple closed curves can be vanishing cycles for nodal degenerations of smooth curves in the complete linear system. This paper provides a complete answer. This is accomplished by reformulating the problem in terms of the mapping class group-valued monodromy of the linear system, and giving a precise determination of this monodromy group.

基于非交换基模的环面和扭曲投射齐次簇的加法不变量

Additive invariants of toric and twisted projective homogeneous varieties via noncommutative motives

I. Panin在90年代证明了扭曲投射齐次簇的代数K理论可以用中心单代数代数来表示。后来，Merkurjev和Panin将复曲面簇的代数K理论描述为可分代数的代数K理论的直接和项。本文利用最近的非对易动机理论，将Panin和Merkurjev-Panin计算从代数K理论推广到所有的加法不变量.作为第一个应用，我们充分计算的循环同调（及其所有的变种）扭曲的投射齐次品种。作为第二个应用，我们证明了一个扭曲的投射齐次簇的非交换动机是平凡的当且仅当相关的中心单代数的Brauer类是平凡的。在此过程中，我们构造了一个完全忠实的张量函子，从Merkurjev-Panin的motivic范畴到Kontsevich的非交换Chow motives范畴，这是独立的兴趣。

映射类群是线性的

Mapping class groups are linear

证明亏格g > 1的曲面的映射类群在矩阵群GL（6 g-6，Z）中有一个忠实表示.证明是基于黎曼曲面和所谓的复曲面AF-代数之间的范畴对应。

The vanishing cycles of curves in toric surfaces II

We resume the study initiated in \cite{CL}. For a generic curve $C$ in an ample linear system $\vert \mathcal{L} \vert$ on a toric surface $X$, a vanishing cycle of $C$ is an isotopy class of simple closed curve that can be contracted to a point along a degeneration of $C$ to a nodal curve in $\vert \mathcal{L} \vert$. The obstructions that prevent a simple closed curve in $C$ from being a vanishing cycle are encoded by the adjoint line bundle $K_X \otimes \mathcal{L}$. In this paper, we consider the linear systems carrying the two simplest types of obstruction. Geometrically, these obstructio…

晶格极化复曲面K3

Lattice polarized toric K3 surfaces

当在K3曲面的背景下研究镜像对称时，K3的超凯勒结构使得交换凯勒和复模的概念变得模糊。另一方面，度规没有重整化，这是由于基础超共形场论的超对称性更高。这样就可以定义一个从经典K3模空间到共形场论模空间的自然映射。除了推广镜像结构的卡-丘三重，有一个公式的镜像对称的正交格和整体模空间参数。在许多情况下，这两种方法完全一致-但有一个长期的例外：Batyrev对复曲面簇中K3超曲面的镜像构造不适合格图，只要K3曲面的Picard群不是由周围复曲面簇的等变因子的拉回产生的。在这种情况下，甚至相应的皮卡德格的秩也没有像预期的那样相加。本文通过对格子图的细化，阐明了这种联系.我们显示（通过明确的计算与计算机）镜像对称的所有家庭的复曲面K3超曲面对应的对偶自反多面体，包括以前有问题的情况下。

Bers和Hénon，Painlevé和Schroedinger

Bers and Hénon, Painlevé and Schroedinger

研究了二维特征簇上的映射类群的动力学性质。我们将证明伪Anosov映射类的动力学在许多方面类似于Hénon映射的动力学，然后应用这一思想来回答有关离散和忠实表示的几何、Painlevé第六方程和离散Schroedinger算子的公开问题。

映射类群的相对Pro- $\ell$完备性

Relative Pro-$\ell$ Completions of Mapping Class Groups

固定一个素数ell。在本文中，我们开发的理论的相对pro-ell完成的离散和投射有限群-一个自然的推广的经典概念的pro-ell完成-并表明，pro-ell完成的Torelli组不注入到相对pro-ell完成相应的映射类群时，亏格至少是3。作为应用，我们证明了当g > 2时，Torelli群T_{g,1}的pro-ell完备化在点亏格g曲面的pro-ell基本群上的作用是不忠实的.亏格g的最大退化稳定曲线的一阶变形的选择决定了绝对伽罗瓦群G_Q对相应映射类群的相对Pro-ell完备化的作用。我们证明了，对于所有的g所有这样的表示是unramified在所有的素数\neq ell时，一阶变形是适当的选择。这个证据是望月和玉川告诉我们的。

判别式补集基本群的拓扑单值核

Topological monodromy kernels for fundamental groups of discriminant complements

本研究拓展Kuno与Carlson-Toledo的方法，证明光滑复代数曲面线性系统的拓扑单值表示像为有限指数时核无限，且平面曲线情形下核含非阿贝尔自由群，结论适用于光滑环面曲面等。