Does the Jones polynomial detect the unknot?
Stephen J. Bigelow
我们解决的问题：是否存在一个平凡的结平凡的琼斯多项式？要找到这样一个纽结，几乎可以肯定的是，在布鲁表示的核心中找到一个非平凡的四股辫就足够了。我将描述一种计算机算法来搜索这样的辫子。
We address the question: Does there exist a non-trivial knot with a trivial Jones polynomial? To find such a knot, it is almost certainly sufficient to find a non-trivial braid on four strands in the kernel of the Burau representation. I will describe a computer algorithm to search for such a braid.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Verification Of The Jones Unknot Conjecture Up To 22 Crossings
我们证明了由计算机枚举琼斯多项式区分结解开22交叉。遵循山田的方法，我们通过将代数缠结插入到康威多面体中来生成结图，通过分而治之的方法计算它们的琼斯多项式，并使用计算机程序SnapPy测试那些具有平凡琼斯多项式的结。我们采用了许多新的策略，以减少每个节点图的计算时间和要考虑的节点图的数量。这使得在单处理器台式计算机上计算多达21个交叉点成为可能。我们在本文中解释这些策略。我们还提供了代数缠结的总数高达18个路口和康威多面体高达22个顶点。在我们的搜索中，我们遇到了新的不结图，没有减少交叉的传球动作。我们在本文中报告一个这样的图。
Verification Of The Jones Unknot Conjecture Up To 23 Crossings
琼斯非纽结猜想指出，琼斯多项式区分非平凡纽结。我们证明了它的结多达23个路口。
Verification Of The Jones Unknot Conjecture Up To 24 Crossings
扩展我们以前的工作，我们验证了琼斯解结猜想的所有节点到$24$交叉。我们描述了我们的方法，并分析其不同组件的计算复杂性的增长。
Polynomial values, the linking form and unknotting numbers
我们展示了如何签署的评价链接多项式可以用来计算unknotting数。本文利用Brandt-Lickorish-Milkau-Ho多项式Q的Jones-Rong值计算了Kawauchi表中8_{16}、9_{49}和另外6个新条目的解结数。另一种方法是应用和推广Lickorish的连接形式准则。这就引出了Q的琼斯值与联结形式之间的几个明确的关系。
Khovanov homology of the 2-cable detects the unknot
我们证明了Khovanov同源的2-电缆检测unknot。一个推论是Khovanov的分类的2色琼斯多项式检测unknot。
Positive knots, closed braids and the Jones polynomial
利用Polyak-Viro-Fiedler的Vassiliev不变量的Gauss图公式，结合Bennequin不等式，证明了正纽结的Vassiliev不变量与Jones多项式的亏格和次数之间的几个不等式.因此，我们证明了对于Alexander/Conway，Jones，HOMFLY，Brandt-Lickorish-Milkor-Ho和Kauffman的任何多项式，同一多项式只有100多个正纽结，平凡多项式没有正纽结.本文还讨论了Bennequin不等式的一个推广，证明了正纽结的解纽结数不小于它的亏格，恢复了A 'Campo，Kawamura和Tanaka最近的一些解纽结数结果，并给出了正纽结的Jones多项式的应用.
Some evaluations of Jones polynomials for certain families of weaving knots
本文导出了编织结$W(3,n)$和$W(p,2)$的行列式公式。本文分别计算了分支于$W(3,n)$和$W(p,2)$上的$3$ -球面$S^3$的双循环覆盖的系数在$\mathbb{Z}_3$中的第一同调群的维数.作为结果，我们得到了一个下界的解结数的$W(3,n)$的某些值的$n$。
Tangle Equations, the Jones conjecture, slopes of surfaces in tangle complements, and q-deformed rationals
本文研究2-缠结方程组的解的唯一性，证明带标架有理解至多一个，并指出Jones解结猜想蕴含一般唯一性；同时引入Kauffman括号比并猜想其与曲面斜率及q-有理数的关系，还关联了两个著名猜想。
A cabling formula for the colored Jones polynomial
我们证明了显式布线公式的有色琼斯多项式。作为应用，我们证明了体积猜想的所有零体积的纽结和链接，即所有的纽结和链接，从unknot获得的重复电缆和连接和。
Bypasses for rectangular diagrams. Proof of Jones' conjecture and related questions
本文用勒让德结给出了矩形图允许化简的一个判据。它表明，有两种类型的简化是相互独立的意义。给出了非纽结的单调化简定理的一个新证明。它示出了一个最小的矩形图最大化相应的Legendrian链接的Thurston-Bennequin数。证明了Jones关于表示固定链环类型的最小辫的交点的代数数不变性的猜想。
Closed 4-braids and the Jones unknot conjecture
针对Jones纽结猜想中4股辫子情形的未解问题，研究发现一族以拧数为参数、可能对应非平凡纽结的双变量HOMFLY-PT多项式（其Jones多项式平凡），探究其性质并提出检验方法与多股推广思路。
On amphichirality of symmetric unions
它仍然是未知的，是否有一个非平凡的纽结的琼斯多项式等于的unknot。Tanaka证明，如果一个双手结是一个对称的unknot与一个扭曲的区域，那么它的琼斯多项式是平凡的。因此，他提出，如果这些结中的任何一个是非平凡的，那么将存在具有平凡琼斯多项式的非平凡结。我们首先证明这样的结总是平凡的，因此不能用来回答上述问题。然后，我们推广的论点对称工会的任何结，并表明，如果一个对称工会的结$J$与一个扭曲的地区是双手，那么它是连接和$J$和它的镜像$-J$。
On the relation between the A-polynomial and the Jones polynomial
在以前与Frohman和Lofaro的联合工作中，引入了纽结的A-多项式的非交换推广，由量子平面中多项式的非交换生成理想（非交换A-理想）组成。本文证明了纽结的非交换A-理想与它的三个色琼斯多项式一起决定了所有其它色琼斯多项式。此外，对于特定的纽结，如unknot和三叶形，非交换A-理想完全决定了所有的有色琼斯多项式。
Learning Topological Invariance
提出自动化学习拓扑不变性的机器学习方法，将其应用于纽结理论，通过对比与生成技术映射同一纽结类表示，还开发师生框架解释学习的不变量，并探索解决琼斯无结猜想的方法。
Khovanov homology is an unknot-detector
我们证明了一个纽结是unknot当且仅当它的约化Khovanov上同调秩为1。证明有两个步骤。首先，我们表明，有一个谱序列开始减少Khovanov上同调和邻接的结使用奇异瞬子定义的同调。然后，我们表明，后者的同源性是同构的瞬子弗洛尔同调的缝合结补：一个不变的，是已知的检测unknot。
Twisted Alexander polynomials detect the unknot
非平凡纽结的群允许有限的置换表示，使得相应的扭亚历山大多项式不是单位。
Vertex distortion detects the unknot
前两个作者介绍了顶点失真，并表明顶点失真的unknot是平凡的。证明了纽结的顶点变形是平凡的当且仅当纽结是平凡的。我们将使用Denne-Sullivan的Gromov失真的界来限制非平凡格点结的顶点失真。然后我们将得出结论，平凡的顶点失真意味着unknot，证明猜想。另外，证明了顶点失真的第一个猜想，并给出了一个顶点失真计算器。
Learning to Unknot
我们将自然语言处理引入到纽结理论的研究中，因为结的编织词表示使其变得自然。我们研究了确定一个给定的结是否是unknot的UNKNOT问题。在描述了一种随机生成$N$交叉辫子及其结闭合的算法并讨论了结分布的诱导先验后，我们将二进制分类应用于UNKNOT判定问题。我们发现Reformer和共享QK Transformer网络架构的性能优于完全连接的网络，尽管它们都表现良好。也许令人惊讶的是，我们发现准确性随着编织词的长度而增加，并且网络学习到预测的置信度与琼斯多项式的次数之间存在直接相关性。最后，我们利用强化学习（RL）来找到马尔可夫移动和编织关系的序列，这些序列简化了结，并可以通过显式给出解开动作的序列来识别解开。置信域策略优化（TRPO）在大范围的交叉数下表现良好，并完全优于其他RL算法和随机游走器。研究这些行动，我们发现辫子关系是更有用的简化到unknot比一个马尔可夫移动。
Does Khovanov homology detect the unknot?
我们确定了一个广泛的类的结，其中包括解开号码1结，其中Khovanov同源检测解开。一个推论是，许多卫星结的Khovanov同源性，包括怀特黑德双，检测unknot。
On the Colored Jones Polynomial, Sutured Floer homology, and Knot Floer homology
设S^3中的K是一个纽结，\widetilde{K}表示K在其双分支覆盖中的原像，即K的双分支覆盖，K（K）。对任意整数n > 1，证明了从K的镜像的约化n色Jones多项式到（K（K），\widetilde{K}）（当n为奇数）和（S^3，K # K）（当n为偶数）的结弗洛尔同调的Khovanov分类的谱序列的存在性.我们的结果的一个推论是，Khovanov的分类减少n-有色琼斯多项式检测unknot每当n>1。
Unknotting Unknots
纽结是一个圆嵌入到三维空间中。我们说，一个纽结是unknotted，如果有一个环境合痕的嵌入到一个标准的圆。通过用平面图表示纽结，讨论了已知纽结图是未结图时的解结问题。这个问题是令人惊讶的困难，因为它已经表明，结图可能需要更复杂，然后才可以简化。然而，我们还不知道它们会变得多么复杂。我们介绍Dynnikov的工作，他发现了弧的关键用途-演示文稿，以解决找到一种方法来直接从结图中检测解结的问题。使用Dynnikov的工作，我们展示了如何获得一个二次上界的交叉点，必须引入一个序列的unknotting移动的数量。我们还应用Dynnikov的结果，找到一个上界的数量所需的移动在一个unknotting序列。
Taut foliations, braid positivity, and unknot detection
我们通过L-空间猜想的透镜来研究正辫结（在三个球面中的结被实现为正辫闭包）。这个猜想预言，如果$K$是一个非平凡的正辫结，那么对于所有的$r < 2g(K)-1$，通过沿$K$的$r$框架Dehn手术得到的3-流形允许一个拉紧的叶理。我们的主要结果为这个猜想提供了一些积极的证据：我们在这样的流形中构造了紧叶理，只要$r<g(K)+1$。作为一个应用程序，我们产生了一个新的编织正性障碍电缆结证明了$(n,\pm 1)$电缆结$K$是编织积极的当且仅当$K$是unknot。我们还提出了一些奇怪的例子，证明我们的建设的局限性，这些例子也可以被视为提供一些负面的证据对L-空间猜想。最后，我们应用我们的主要结果，以产生紧张的叶理在一些拼接的结外部。
Diagram genus, generators and applications
我们继续研究纽结图的亏格，使用Hirasawa算法导出生成元的新描述。这种描述导致良好的估计上的最大数量的交叉发电机，并允许我们完成其分类的节属4。作为亏格4分类的应用，我们建立了$k$上的绞线多项式的非平凡性--对于$k\le 4$为几乎正结，对于$k\le 3$为Jones多项式.对于$k\le 4$，我们对非手性结进行了分类，并证明了$k$ -几乎正非结图的平凡化结果.这也产生了对解开Reidemeister移动的数量的估计。我们描述了积极的结的签名（高达）4。通过对绞链多项式的研究，证明了Morton-Williams-Franks辫子指数不等式的正确性，以及交替结点到亏格为4的最小弦Bennequin曲面的存在性.我们还证明了这样的结的Hoste和Fox的关于亚历山大多项式的根和系数。
Signs of knot polynomial evaluations from a topological perspective
从拓扑角度证明结多项式在特定根处的求值由双分支覆盖的同胚类型决定，并给出链接配对的显式公式，同时提取未结数下界。
The $L^2$-Alexander invariant detects the unknot
本文给出了Li和Zhang定义的纽结的$L^2$ -Alexander不变量的一些性质，其中一些性质类似于经典的Alexander多项式.值得注意的是，我们证明了$L^2$ -亚历山大不变量检测平凡结。
Notes on unknotting algorithms using normal surface theory
该研究提出两种基于正规曲面理论的平凡纽结检测算法，还借助分裂链算法完成八字形纽结的有结性证明。
Alexander-Beck modules detect the unknot
我们引入的Alexander-Beck模块的结作为经典的亚历山大模块的一个典型的改进，我们证明了这个新的不变量是一个unknot检测器。
Detecting unknots via equational reasoning, I: Exploration
我们探讨应用自动推理技术解开检测，一个经典的计算拓扑学问题。我们采用双管齐下的实验方法，使用定理证明器试图建立一个积极的结果（即结是解结），同时使用模型查找器试图建立一个消极的结果（即结不是解结）。定理证明方法利用等式推理，而模型查找器搜索最小尺寸的反模型。我们目前和比较实验数据使用的对合quandle的结，以及与其他方法比较，突出感兴趣的实例。此外，我们提出了理论上的连接与现有的结不变量获得的最小的反模型，为所有主要的结多达10个路口：这可能是有用的发展先进的搜索策略。
Non-triviality of the A-polynomial for knots in S^3
S ^3中纽结的A-多项式定义了一个复平面曲线，它与纽结的基本群在SL（2，C）外部的表示集相关联。在这里，我们证明了S^3中的一个非平凡纽结有一个非平凡的A多项式。我们从克朗海默和姆洛卡关于S^3中纽结的德恩外科手术的SU_2-表示的规范理论工作中推导出这一点。作为推论，我们证明了如果将色琼斯多项式与A-多项式联系起来的猜想成立，则色琼斯多项式区分开结
The Jones Polynomial and its Limitations
本文将阐述的考夫曼括号多项式模型的琼斯多项式，缠结方法计算琼斯多项式，并使用这些方法来产生非平凡的链接，不能检测的琼斯多项式。
Virtual knots undetected by 1 and 2-strand bracket polynomials
岸野结不能被基本群或括号多项式检测到;这些不变量不能区分岸野结和非结。然而，我们可以证明，岸野的结是不等同于unknot通过应用3-strand括号多项式或表面括号多项式。在本文中，我们构造了两个非平凡的虚拟纽结图，$ K_D $和$ K_m $，这是不是由括号多项式或2-链括号多项式检测。从这些图中，我们构造了两个无限族的非经典虚拟结图，没有检测到的括号多项式。此外，我们注意到这些虚结图是平凡的单位。
Slopes and colored Jones polynomials of adequate knots
Garoufallen建立了纽结的边界斜率与其色琼斯多项式之间的关系。根据这一猜想，某些边界斜率可由有色琼斯多项式的次数序列来检测。我们验证这个猜想足够的结，一类，大大推广交替结。
The Jones and Alexander polynomials for singular links
我们扩展的状态模型的琼斯和亚历山大多项式的经典链接的状态模型的情况下，奇异链接的2变量多项式。此外，我们将这两个多项式与d+1变量的长奇异纽结正好d二重点。这些扩展可以检测长奇异节点的不可逆性。
Twisted Alexander invariants detect trivial links
它遵循西尔弗-威廉姆斯和作者的早期工作，扭曲亚历山大多项式检测unknot和霍普夫链接。我们现在表明，扭曲的亚历山大多项式也检测三叶草和图8结，扭曲的亚历山大多项式检测是否一个链接是分裂和扭曲的亚历山大模块检测平凡的链接。
On the degree of the colored Jones polynomial
任何链路的有色琼斯多项式的极端次数都是根据来自任何链路图的具体数据来界定的。已知这些界限对于半充分图是尖锐的。本文的目标之一是证明相反的情况;如果边界是尖锐的，那么这个图是半充分的。因此，我们使用有色琼斯链接多项式提取一个不变量，检测半适当的链接，并讨论了一些应用。
Quasi-alternating Montesinos links
本文的目的是检测新的类准交替链接。准交替链接是交替链接的自然推广。它们的结Floer和Khovanov同调特别容易计算。由于结弗洛尔同调检测结的属以及结是否纤维化，提供了解结数和切片属的界限，准交替链接的表征成为一个有趣的开放问题。我们表明，存在类的非交替Montesinos链接，这是准交替。
A kernel of a braid group representation yields a knot with trivial knot polynomials
我们证明了辫群的非平凡非中心正规子群包含一个辫，其闭包是具有任意大亏格的双曲纽结。这表明量子表示的不忠实性意味着相应的量子不变量无法检测到解结。证明利用了辫群的Dehornoy排序。
Remarks on Jones slopes and surfaces of knots
我们指出强斜率猜想意味着有色琼斯结多项式的次数检测8字结。此外，我们提出了交替结的琼斯周期和度跨度的有色琼斯多项式的一个特征。
Disentangling a Deep Learned Volume Formula
我们提出了一个简单的唯象公式，它近似的双曲体积的结只使用一个单一的评价其琼斯多项式在一个根的团结。在前$1.7$百万节上，平均误差仅为$2.86$ %，这代表了对以前此类公式的很大改进。为了找到近似公式，我们使用逐层相关传播来逆向工程一个黑盒神经网络，当在总数据集的$10$ %上训练时，该网络对于相同的近似任务实现了类似的平均误差。在我们的分析中出现的特殊单位根不能被写为具有整数$k$的$e^{2πi / (k+2)}$;因此，相关的琼斯多项式求值不是由具有水平$k$的传统$SU(2)$ Chern $\unicode{x2013}$ Simons理论中威尔逊圈算子的未结归一化期望值给出的。相反，它们对应于这种期望值到分数水平的解析延拓。我们简要地回顾了延续过程和评论的存在下，某些Lefschetz顶针，我们的近似公式是敏感的，在分析继续陈$\unicode{x2013}$西蒙斯集成周期。
Knot Polynomials: Myths and Reality
本文概述了节点和链接的多项式不变量的相对强度，例如Alexander，Jones，Homflypt和Kaufman二元多项式，Khovanov同调，多项式的可因子分解性和节点素性检测。
On polynomials and surfaces of variously positive links
已知正纽结的琼斯多项式的最小次数等于它的亏格，最小系数为1。我们将这一结果推广到几乎正的链接，并部分确定了以下3个系数的特殊类型的正链接。我们还给出了拟正纽结的琼斯多项式带状亏格的反例。然后，我们表明，亚历山大多项式完全检测的最小属和纤维性质的典型塞弗特表面几乎正（几乎交替）链接图。
On the detection of knots by their traces in high dimensions
本文通过将 RBG 链环构造推广到所有维度，证明高维球面中存在迹微分同胚但非同位的光滑扭结，同时证明平凡结可由其迹唯一检测。
The Strong Slope Conjecture and torus knots
我们观察到，强斜率猜想意味着有色琼斯多项式的程度检测所有环面结。作为应用，我们得到了与环面纽结具有相同色琼斯多项式次数的充分纽结必定是$(2,q)$ -环面纽结.
Torus knots, the A-polynomial, and SL(2,C)
本文利用瞬子Floer同调证明A多项式能检测环形结，并确定哪些环形结被检测到，同时证实了关于3球面中结的无限多个SL(2,C)-阿贝尔德恩手术的猜想。
The SL(2,C) Casson invariant for knots and the $\widehat{A}$-polynomial
本文将$SL_2(\Bbb C)$ Casson不变量的定义推广到整同调三维球面上的任意结点$K$，并将其与$K$的$\widehat{A}$ -多项式的$m$ -次数联系起来.证明了$S^3$中两个纽结的连通和$K_1 \# K_2$的$\widehat{A}$ -多项式的乘积公式，并对$S^3$中的一大类纽结，推导了$SL_2(\Bbb C)$ Casson纽结不变量在连通和下的可加性.我们还提出了一个例子，一个非平凡的结$K$在$S^3$平凡的$\widehat{A}$ -多项式和平凡的$SL_2(\Bbb C)$卡森结不变量，这些不变量检测unknot。
On the geography and botany of knot Floer homology
本文探讨了两个问题：（1）在三球面中，哪些双阶群作为纽结的纽结弗洛尔同调出现？(2)给定一个纽结，有多少个不同的纽结共享它的弗洛尔同调？关于第一个，我们发现存在满足所有以前已知的约束结弗洛尔同调不出现作为一个结的不变量的双阶群。这导致了一个新的约束，承认透镜空间手术的结，以及证明结弗洛尔同调的秩检测三叶结。对于第二，我们表明，任何非平凡的两个unknots带和产生一个无限的家庭不同的结同构结弗洛尔同调。我们还证明了单位单值的纤维纽结可被纽结的弗洛尔同调强检测，这意味着弗洛尔同调解决了非空边界曲面的映射类群的字问题.最后，我们总结了一些经验和问题，并在此基础上提出了一些新的经验和问题。
Do Link Polynomials Detect Causality In Globally Hyperbolic Spacetimes?
设$X$是具有Cauchy曲面$Σ$的$(2+1)$维整体双曲时空，其泛覆盖同胚于$\mathbb{R}^2$ .我们提供的经验证据表明，琼斯多项式检测$X$的因果关系。我们引入了一个新的不变量的某些缠结相关的康威多项式，并证明了康威多项式不检测相关的3-分量链接之间的两个Hopf链接的连接和，这表明，康威多项式不检测因果关系的情况下描述。
Quantum SU(2) faithfully detects mapping class groups modulo center
Jones-Witten理论给出了由半单李群G和水平k索引的任何闭曲面Y的（扩展的）映射类群的表示。在G=SU（2）的情形下，这些表示（记为V_A（Y））用Kauffman skein模来描述特别简单，其中参数A是本原4 r阶单位根（r=k+2）.在这些表示中的每一个（以及一般的G情形），德恩扭曲充当有穷级的变换，因此没有一个忠实地表示映射类群M（Y）。然而，总的来说，量子SU（2）表示忠实于M（Y）的非中心元素。(Note M（Y）具有非平凡中心，仅当Y是具有0、1或2个穿孔球面，具有0、1或2个穿孔的环面，或亏格= 2的闭曲面。）具体地说，对于M（Y）中的一个非中心h，存在一个r_0（h）使得如果r>= r_0（h）且A是本原4 r次单位根，则h投射非平凡地作用在V_A（Y）上. Jones [J]对辫群B_n的原始表示rho_n，有时称为一般的q-模拟SU（2）-表示，并不可靠。然而，我们证明了B_n中的任何辫子h不= id都允许成缆c = c_1，...，c_n使得rho_N（c（h））不= id，N=c_1 +. + c_n。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。