Convergence or generic divergence of Birkhoff normal form
Ricardo Perez-Marco
证明了在非共振奇点处具有给定二次部分的Hamilton流的Birkhoff标准形总是收敛或泛发散的。对于正规化映射和任何形式的首次积分，也证明了同样的结果。
We prove that Birkhoff normal form of hamiltonian flows at a non-resonant singular point with given quadratic part are always convergent or generically divergent. The same result is proved for the normalization mapping and any formal first integral.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A universal divergence rate for symmetric Birkhoff Sums in infinite ergodic theory
我们证明了在无限遍历论中对称Birkhoff和的遍历定理的失败存在一个普遍的缺口。此外，本文还将这一结果应用于几何有限曲面上时环流的Birkhoff积分的涨落问题。
Multifractal analysis of the divergence points of Birkhoff averages in $beta$-dynamical systems
本文研究了$β$ -展开系统中所谓发散点的多重分形分析。更精确地说，令$([0,1),T_β)$是一般$β>1$的$β$ -动力系统，而$ψ:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$是连续函数。用$\textsf{A}(ψ,x)$表示$\Big\{\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}ψ(T^jx): n\ge 1\Big\}$的所有累加点。集合$$\Big\{x:\textsf{A}(ψ,x)\supset[a,b]\Big\},\ \ \Big\{x:\textsf{A}(ψ,x)=[a,b]\Big\}, \ \Big\{x:\textsf{A}(ψ,x)\subset[a,b]\Big\}$$的Hausdorff维数，即，对于任何连续函数$ψ$，完全确定了不存在$ψ$的Birkhoff平均值但以某种规定方式表现的点。
Convergence of the Birkhoff normal form sometimes implies convergence of a normalizing transformation
考虑一个解析哈密顿系统在其频率为零的解析不变环面$\mathcal T_0$附近.我们假设在$\mathcal T_0$上的哈密顿量的Birkhoff标准形是收敛的，并且有一个特殊的形式：它是它的非退化二次部分的一个解析函数。我们证明，在这种情况下，有一个分析的正则变换-而不仅仅是一个正式的幂级数-使其伯克霍夫正规形式的哈密顿量。
Existence of divergent Birkhoff normal forms of Hamiltonian functions
我们证明了对于$n \geq 2$，存在$\mathbf{R}^{2n}$上的实解析哈密顿系统，其特征值在奇点处为非共振，且Birkhoff规范形本身是发散的.通过分析小因子是如何进入正规形的，给出了结果的证明。
On the divergence of Birkhoff Normal Forms
本文证明了在任意维度下，实解析辛微分同胚的 Birkhoff Normal Form 通常是发散的，解决了 Perez-Marco 定理的替代性问题和 H. Eliasson 的提问，并将结果扩展至具有 Diophantine 不变环面的环面微分同胚情形。
Convergence versus integrability in Birkhoff normal form
我们证明了任何解析可积的哈密顿系统在平衡点附近都有一个收敛的Birkhoff正规化。证明是基于一个新的，几何方法的问题。
Cotangent bundle reduction and Poincaré-Birkhoff normal forms
本文研究了具有自由李群作用的余切丛的约化空间的正则坐标的一个系统而自然的构造。正则坐标使我们能够使用标准算法计算相对平衡的庞加莱-伯克霍夫标准形。详细研究了具有对称性的简单力学系统的情况。作为例子，我们计算了具有Morse型势的三体系统的拉格朗日等边三角形位形和双球摆的伸展位形的Poincar{é}-Birkhoff规范形。
Nonresonant smooth integrable Hamiltonian systems which don't admit a local smooth Birkhoff normal form
这张小纸条已被作者收回。笔记的主要结果，与一个collegue合作写的更正证明，将是一个联合工作的一部分。
Birkhoff Normal Form for the Derivative Nonlinear Schrödinger Equation
研究了具有周期边界条件的非线性薛定谔方程的微分方程解.我们得到了六阶完全Birkhoff标准形。作为应用，证明了小振幅解的长时间稳定性。
Birkhoff Normal Form and Twist Coefficients of Periodic Orbits of Billiards
本文针对多种动力台球，显式构造椭圆周期点附近的Birkhoff变换，并用台球桌几何参数给出前两个扭转系数的显式公式，进而刻画非线性稳定性与局部解析可积性。
Birkhoff Normal Form and Hamiltonian PDEs
这些笔记是基于2004年7月在中国兰州大学举办的CIMPA暑期班期间的讲座，但受益于最近的发展。我们的目的是解释一些扰动技术，使研究的长期行为的哈密尔顿扰动的可积系统的解决方案。我们对稳定性结果特别感兴趣。我们的方法是集中在Birkhoff标准形定理，我们首先证明在有限维。然后，在给出了Hamilton偏微分方程的基本形式之后，我们给出了无穷维情形下的Birkhoff规范形定理，并讨论了Hamilton偏微分方程的动力学结果。
Integrability, hyperbolic flows and the Birkhoff normal form
我们证明了一个哈密顿量$p\in C^\infty(T^*{\bf R}^n)$在能量的非退化临界点$ρ_0$附近是局部可积的，条件是在$ρ_0$的基本矩阵没有纯虚特征值.这是通过使用Birkhoff标准形式来完成的，它在$C^\infty$意义上是收敛的。我们还给出了正则变换的双曲不动点附近的Lewis-Sternberg规范形。然后，我们研究几乎全纯的情况。
Birkhoff normal form via decorated trees
本文提出用装饰树表示迭代泊松括号，编码辛变换流上的嵌套泰勒展开，从而显式构造哈密顿偏微分方程任意阶 Birkhoff 标准形，并以三次薛定谔方程为例说明。
A quantitative Birkhoff Normal Form for the hinged-hinged beam equation with geometric nonlinearity
本文针对具有拉伸非线性的铰支-铰支梁这一无穷维哈密顿系统，通过非线性坐标变换解析构造定量Birkhoff正规形，从而在大时间尺度上精确刻画小振幅解，并在现实物理参数下优化了估计结果。
A Birkhoff Normal Form Theorem for Partial Differential Equations on torus
本文证明了环面上哈密顿偏微分方程的抽象 Birkhoff 正规形定理，并将其应用于非线性波动方程和非线性 Schrödinger 方程，在更低的 Sobolev 正则性指标下获得了多项式及次指数长时间稳定性。
Aspects of the planetary Birkhoff normal form
[G.平扎里博士论文。罗马三大学2009]、[L. Chierchia和G.平扎里发明数学. 2011]的Birkhoff正规形式的行星多体问题打开了新的见解和希望，为理解这个问题的动力学。值得注意的是，它允许给著名的阿诺德定理的{ \sl直接}证明[V. I.阿诺德Uspehi Math. Nauk. [1963]关于行星运动的稳定性。在本文中，使用一个“特设”的辛变量集，我们开发了一个渐近公式，这个规范形式，可能会变成有用的应用。作为一个例子，我们提供了两个非常简单的应用程序的三体问题：我们证明了一个猜想[V。阿诺德cit]上的“Kolmogorov集“这个问题，并使用Nehoro{}ev理论[Nehoro{}ev. Uspehi Math. Nauk. 1977年]，我们证明，在平面的情况下，稳定的所有行星的行动超过指数长的时间，提供的平均-运动共振被排除在外。我们还简要讨论了全面推广本文结果的前景和问题。
Birkhoff normal forms for Hamiltonian PDEs in their energy space
研究了半线性色散Hamilton偏微分方程小解的长时间行为。只要系统具有一个新的非共振条件和足够强的能量估计，我们证明了它的低超作用几乎保持很长时间。粗略地说，这意味着，为了交换能量，模式必须以相同的频率振荡。与先前已有的结果相反，我们不要求解特别光滑。他们只需要生活在能量空间里。我们将我们的结果应用到d = 1维的非线性Klein-Gordon方程和d维的非线性Schr{<$}dinger方程$\le$ 2。
Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part I: Finite dimensional discretization
针对可分裂为线性无界算子和正则非线性部分的离散哈密顿PDE，利用有限维Birkhoff规范形证明分裂方法在长时间内几乎保持作用量，适用于小Sobolev范数初值和渐近大空间近似。
A Birkhoff--Lewis Type Theorem for Some Hamiltonian Pdes
本文将Birkhoff-Lewis定理推广到一类半线性偏微分方程。由此证明了无穷多个在原点处具有大周期积累的周期轨道的存在性。这样的周期轨道分叉的共振有限维不变环面的四阶标准形的系统。除了标准的非共振和非简并假设，我们的主要结果是假设正则化的非线性。我们将主要定理应用于半线性梁方程和具有光滑非线性项的非线性薛定谔方程。
The Hamiltonian Normal Form
本文提出了一种新的哈密顿正常形式，用于证明赫曼不变量环猜想，该形式在共振区域有极点，取代了传统的布里科夫正常形式，并期望在理论和数值计算中提供比标准布里科夫正常形式更好的近似。
Birkhoff normal forms, Dirac brackets and symplectic reduction
本文研究了通过Dirac括号方法在动量水平上构造Birkhoff正则形，并将其与辛约简联系起来，展示了在约简产生(分层)辛商时的关联。
Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part II: Abstract splitting
针对可分裂为线性无界算子和正则非线性部分的哈密顿PDE，在无空间离散化的抽象分裂方法下，通过证明离散流的Birkhoff标准型，得到小初始数据下数值解正则性的长时间保持。
On some invariants of Birkhoff billiards under conjugacy
在严格凸光滑边界类中，每一个边界周围没有由不变曲线构成的条带，我们证明了“正规化”Mather $β$ -函数的Taylor系数在$C^\infty$ -共轭下是不变量.相反，我们证明了任何两个椭圆台球映射是$C^0$ -共轭附近的各自的边界，和$C^\infty$ -共轭的开放的圆柱体，附近的边界和远离一个平原通过中心的基础椭圆。我们还证明了，如果台球映射对应于两个椭圆拓扑共轭，那么这两个椭圆是相似的。
Convergence and divergence of averages along subsequences in certain Orlicz spaces
Birkhoff的经典定理指出，对于$x\in X$和$f\in L^{1}(X)$，$T^N f(x) = (1/N)\sum_{k=0}^{N-1} f(σ^k x)$几乎处处收敛，其中$σ$是概率测度空间$X$的保保测变换。证明了对于在某些$L^p$空间收敛而在另一些空间发散的正整数的子序列$\{n_k\}$，存在$T^N f(x)=(1/N)\sum_{k=0}^{N-1}f(σ^{n_k}x)$形式的算子.这个演讲的主题将在Orlicz空间类$\{L{Log}^βL:β>0\}$中研究这种现象。
Resonant normal form for even periodic FPU chains
在本文中，我们研究周期FPU链与偶数个粒子。我们表明，在平衡点附近，任何这样的链承认\emph{resonant}伯克霍夫正常形式的顺序四，这是\emph{completely integrable} -一个重要的事实，这有助于解释费米，帕斯塔和乌拉姆的数值实验。我们分析了偶FPU链的可积逼近的矩映射。与奇数FPU链的情况不同，这些可积系统（一般）表现出双曲动力学。作为一个应用，我们证明了任何FPU链Dirichlet边界条件承认一个Birkhoff标准形的四阶，并表明KAM定理适用。
Billiard tables with analytic Birkhoff normal form are generically Gevrey divergent
本文研究保面积映射的解析正规形式问题，通过放宽对称性条件扩展台球类，采用形式幂级数方法证明一般参数下台球桌级数是 Gevrey 发散而非解析收敛的。
Central limit theorem and stable laws for intermittent maps
在抽象的马尔可夫映射的设置，我们证明了有关的重整化Birkhoff和正常的法律或稳定的法律收敛的结果。它们适用于中性不动点在0的一维映射，其形式为$x+x^{1+α}$，对于$α\in (0,1)$。特别是，对于$α>1/2$，我们证明了Hölder可观察$f$的Birkhoff和收敛于正态定律或稳定定律，具体取决于$f(0)=0$或$f(0)\not=0$。证明使用的频谱技术介绍的Sarig，和维纳引理在非交换巴拿赫代数。
Normal forms for Lie symmetric cotangent bundle systems with free and proper actions
我们考虑了哈密顿系统的自由和真余切提升对称性。对于G = SO（3）的特殊情形，我们构造了围绕任意点的辛切片坐标。因此，我们得到了一个参数化的相空间的动力学研究附近的相对平衡，特别是伯克霍夫-庞加莱范式方法。对于一般对称群，我们观察到，对于截断规范形的计算，不需要显式的坐标变换，而只需要其在相对平衡点的高阶导数。我们概述了一个迭代计划，使用这些衍生工具的截断Birkhoff-Poincare规范形式的计算。
Normalization in Lie algebras via mould calculus and applications
我们建立了一个抽象的李理论环境中的Ecalle的模具演算，并使用它来解决规范化问题，它涵盖了动力系统理论中的几个形式规范形问题。模形式主义使我们能够减少李理论问题的模具方程，其中的解决方案是非常明确的，可以完全描述的规范变换群。动力学的应用包括构造围绕平衡点的向量场的Poincar{é}-Dulac形式正规形，构造具有快速角变量（Hamilton或非Hamilton）的向量场的形式无限阶多相平均过程，或者构造经典和量子情形下的Birkhoff正规形.作为副产品，我们得到，在谐振子的情况下，量子Birkhoff形式的经典收敛，没有任何丢番图假设的频率上的未扰动的哈密顿。
On invariant tori in some reversible systems
本文考虑如下可逆系统\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}=ω_0+f(x,y),\\ \dot{y}=g(x,y), \end{cases} \end{equation*}其中$x\in\mathbf{T}^{d}$，$y\backsim0\in \mathbf{R}^{d}$，$ω_0$是丢番图，$f(x,y)=O(y)$，$g(x,y)=O(y^2)$和$f$，$g$关于对合G可逆：$(x,y)\mapsto(-x,y)$，即$f(-x,y)=f(x,y)$，$g(-x,y)=-g(x,y)$ .研究了具有丢番图频率$ω_0$的可逆系统的解析不变环面$Γ_0$与其它不变环面的累加。我们将证明，如果$Γ_0$周围的Birkhoff标准形是0-退化的，那么$Γ_0$是由其他解析不变环面累积的，这些环面的并集的Lebesgue测度是正的，并且这些环面在$Γ_0$处的并集的密度是1.我们还将证明，如果$Γ_0$周围的Birkhoff标准形是$j$ -退化的（$1\leq j\leq d-1$），并且满足条件（1.6），则通过$Γ_0$有一个维数为$d+j$的解析子簇，它以频率向量$ω_0$分成解析不变环面.如果$Γ_0$周围的Birkhoff规范形是$d-1$ -退化的，我们将证明一个更强的结果，即$Γ_0$的一个全邻域被分成解析不变环面，其频…
Effective generic super-exponential stability of elliptic fixed points for symplectic vector fields
考虑辛向量场线性稳定的椭圆不动点，并证明了附近解的超指数稳定性的一般结果。Morbidelli和Giorgilli证明了一个超指数长时间稳定性定理，如果考虑一个解析拉格朗日环面，它对一个解析哈密顿系统是不变的，其丢番图平移向量允许一个符号定挠。然后，该系统的解决方案移动非常小的时间是超指数长的倒数的距离不变环面。证明分两步：首先构造一个高阶的Birkhoff标准形，然后应用Nekhoroshev理论。Bounemoura已经表明，第二步的建设仍然有效，如果伯克霍夫规范形式链接到一个椭圆不动点属于一个脱殊集之间的正式系列。为了得到完整结果，我们还必须在Bounemoura引入的集合中建立允许Birkhoff标准形的哈密顿系统的最强非共振椭圆不动点。我们在这里表明，这个属性是满足一般意义上的措施（患病率），通过无限维探测空间（即随机选择的参数的无限数量）的方法类似的文件中开发的Gorodetski，Kaloshin和亨特。
Unique normal forms for area preserving maps near a fixed point with neutral multipliers
本文研究了一类保面积映射族的规范形，这类映射族具有一个中立乘子为-1或+1的不动点。我们的研究涵盖了方向保持和方向反转的情况。在这些情况下，Birkhoff正规形并没有提供系统的实质简化。本文证明了Takens规范形向量场可以大大简化。我们还表明，如果某些非退化条件得到满足，没有进一步的简化是一般可能的，因为构造的规范形式是唯一的。特别是，我们提供了一个完整的系统正式的坐标变化的正式不变量。
Spherical normal forms for germs of parabolic line biholomorphisms
研究复线上近固定点的全纯germ的逆问题，通过构造特定抛物线映射Δ，证明其在功能类中的唯一性，涉及Gevrey形式向量场和多值映射的解析延拓。
Convergence of a quantum normal form and an exact quantization formula
我们考虑薛定谔算子定义的量子化的线性流的丢番图频率在l维环面，扰动的全纯势，这取决于行动，只有通过其特定的线性组合定义的哈密顿量的线性流。我们证明了相应的量子标准形关于普朗克常数一致收敛。这一结果同时产生了一个精确的量子化公式的量子谱，以及一个收敛标准的Birkhoff规范形式，有效的一类扰动全纯远离原点。
Local normal forms of dynamical systems with a singular underlying geometric structure
在本文中，我们证明了一个同时存在的局部正规化的夫妇$(X,\mathcal{G})$，其中$X$是一个向量场，消失在一个点和$\mathcal{G}$是一个奇异的潜在的几何结构是不变的$X$，在许多不同的情况下：奇异体积形式，奇异辛和泊松结构，和奇异切触结构。类似于哈密顿向量场的Birkhoff正规化，我们的正规化也只是形式上的。然而，当$\mathcal{G}$和$X$是（实的或复的）解析的，并且$X$是解析可积的或达布可积的，那么我们的同时归一化也是解析的。我们的证明是基于复曲面的方法规范化的动力系统，复曲面的守恒律，和等变路径方法。我们还考虑了当$\mathcal{G}$是奇异的但$X$在原点不为零的情况。
Normal Forms for Semilinear Quantum Harmonic Oscillators
本文考虑半线性谐振子$$iψ_t=(-Δ+\va{x}^{2} +M)ψ+\partial_2 g(ψ,\bar ψ), \quad x\in \R^d, t\in \R$$，其中$M$是Hermite乘子，$g$是全局至少三阶的光滑函数.我们证明，这样的哈密顿方程承认，在附近的起源，Birkhoff规范形式在任何顺序，并在一般条件下$M$有关的非共振的线性部分，这个规范形式是可积的$d=1$时，并产生简单的（特别是有界）动态时，$d\geq 2$。作为结果，我们证明了上述方程的解的几乎整体存在小柯西数据。此外，我们控制这些解决方案的高Sobolev范数。
Birfhoff Normal Form for PDEs with Tame Modulus
证明了Hamilton偏微分方程的一个抽象Birkhoff范式定理。该定理适用于非线性满足我们称之为Tame模的性质的半线性方程。这一性质与Moser的经典tame不等式有关。在非共振的情况下，我们推断，任何小振幅的解决方案仍然非常接近环面很长一段时间。我们还发展了一个一般的计划，将抽象的理论应用到一维偏微分方程，我们用它来研究一些具体的方程（NLW，NLS）与不同的边界条件。最后给出了在$d$维环面上的非线性薛定谔方程的一个应用.在所有情况下，我们推导出的增长上的高Sobolev规范的界限。特别地，我们得到了解存在时间的下界。
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