Constructing cogenerators in triangulated categories and Brown representability
对于一个三角范畴的产品，我们开发了一种方法，用于构建一个很好的一套cogenerator，使我们能够证明一个正式的标准，以满足布朗表示的共变函子。我们应用这个准则证明了从小范畴到模范畴的函子范畴中的投射模的同伦范畴和投射对象的同伦范畴都满足这种可表示性。特别地，投射复形的同伦范畴满足共变函子的布朗表示性。
2014-10-18 math.AT math.CT math.RA
Brown representability for exterior cohomology and cohomology with compact supports
众所周知，具有紧支撑的上同调不是同伦不变量，而只是真同伦不变量。然而，由于真范畴缺乏一般范畴性质，布朗可表示性定理类型似乎不可达。然而，通过证明这样一个定理，所谓的外上同调在完全和余完全的外部范畴，我们表明，$n$ -th上同调与紧支撑的一个给定的可数的，局部有限的，有限维的相对CW-复$(X,\mathbb{R}_+)$是自然识别的集合$[X,K_n]^{\mathbb{R}_+}$外部基于同伦类从“分类空间”$K_n$。我们还证明了对于$(R^\infty,n)$型的布朗-格罗斯曼同伦群，该空间具有外Eilenberg-MacLane空间的外同伦型，其中$R$是固定系数环.
2014-03-26 math.AT
Higher weak (co)limits, adjoint functor theorems, and higher Brown representability
证明了弱（余）完备$n$ -范畴的一般伴随函子定理。这类$n$ -范畴包含了（共）完备$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴，所以这些$n$ -范畴一般不允许所有的小（共）极限.我们还引入了（同伦）$n$ -范畴的Brown可表示性，并证明了紧生成的$n$ -范畴的局部化的Brown可表示性定理.这类$n$ -范畴包括可表示$\infty$-范畴的同伦$n$-范畴（如果$n \geq 2$）和可表示稳定$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴（对于任何$n \geq 1$）.
2022-08-02 math.AT math.CT
The dual of Brown representability for homotopy categories of complexes
我们称加法范畴的乘积生成元为满足每隔一个对象是它的拷贝的乘积的直因子性质的固定对象.本文从一个包含乘积和象的加法范畴，例如模范畴出发，研究包含该加法范畴的元素的复形的同伦范畴.证明了布朗表示定理对同伦范畴的对偶成立当且仅当初始可加范畴有乘积生成元。
2013-05-26 math.AT math.CT math.RA
Definable functors and Brown--Adams representability
Charles University in Prague（布拉格查理大学）
本文研究了环的导出范畴中布朗-阿德斯可代表性的条件，通过可定义函子的同构转换，证明了纯全局维数的关系，并给出了茶杯猜想的新证明及协调环的生成假设新结论。
2026-01-14 math.AT math.CT math.RT
Derived Smooth and Banach Higher Groupoids: Representability and Descent
本文研究特定几何中高阶群胚的同伦理论，通过区分可表示性与实现，建立了光滑与Banach情形的Brown结构，并推广至导出模型，涵盖有限与超完备情形。
2026-09-24 math.AG math.AT math.DG
Adjoint functor theorems for $\infty$-categories
伴随函子定理给出了函子允许伴随的充要条件。本文证明了$\infty$ -范畴间函子的一般伴随函子定理。我们的主要结果之一是Freyd经典的一般伴随函子定理的$\infty$ -范畴推广.作为这个结果的应用，我们恢复了可表示$\infty$ -范畴的Lurie的伴随函子定理.我们还讨论了$\infty$ -范畴的布朗表示性与同伦布朗表示性的比较，并基于Heller对经典布朗表示性定理的纯范畴表述，给出了$\infty$ -范畴的布朗表示性的一种处理方法.
2019-08-21 math.AT math.CT
Action representability of the category of internal groupoids
当$\mathbb C$是半阿贝尔范畴时，众所周知，$\mathbb C$中的内部广群范畴$\mathsf{Grpd}(\mathbb C)$也是半阿贝尔范畴.当半阿贝尔的性质被行为可表示的性质（在Borceux、Janelidze和Kelly的意义上）所取代时，确定是否会发生同样的现象的问题是相当微妙的。本文给出了这一结论成立的一个充分条件：证明了范畴$\mathsf{Grpd}(\mathbb C)$是具有正规化子的半阿贝尔作用可表示代数凝聚范畴当且仅当$\mathbb C$是具有正规化子的半阿贝尔作用可表示代数凝聚范畴.这个结果特别适用于群范畴中的内部群胚范畴，例如李代数和上交换霍普夫代数。
2020-12-25 math.AT math.CT math.RA
Transfinite Adams representability
在良好生成的三角化范畴T中，给定正则基数a，考虑如下问题：给定从a-紧对象范畴到保持<a对象的乘积并取正合三角形为正合序列的阿贝尔群的函子，它是T中可表示函子的限制吗？两个这样的受限可表示函子之间的每一个自然变换都是由表示函子之间的映射诱导的吗？如果这两个问题的答案都是肯定的，我们说T满足a-Adams可表示性。一个经典的结果可以追溯到布朗和亚当斯表明，稳定同伦范畴满足亚当斯表示的第一无限基数。对于红衣主教，亚当斯的代表性是很好地理解感谢克里斯滕森，凯勒和尼曼的工作。在本文中，我们发展了一个障碍理论，以确定当T满足a-Adams表示。我们得到了同调性的充要条件，并计算了几个例子。特别地，我们证明了存在对所有不可数基数a满足a-Adams表示性的环和对任何无限基数a不满足a-Adams表示性的环。此外，我们展示的环，这两个问题的答案是没有无限多的枢机主教。作为一个附带结果，我们给出了一个无限幻影映射的例子。
2016-02-02 math.AT math.CT
Cartesian Fibrations and Representability
本文利用笛卡尔纤维化理论的完全Segal方法定义和研究了可表示的笛卡尔纤维化，推广了在$\infty$ -范畴论中起关键作用的可表示右纤维化.特别地，我们利用上范畴构造了可表示笛卡尔纤维化，并证明了可表示笛卡尔纤维化的Yoneda引理，推广了右纤维化的Yoneda引理.然后，我们使用笛卡尔纤维化的理论来研究完整的Segal对象内部的$\infty$类。具体地，我们证明了{完备Segal对象的\it基本定理}，它刻画了完备Segal对象的等价性.最后给出了结果的两个应用。首先，我们提出了一种方法来构建Segal对象，其次，我们研究了普遍的coCartesian纤维化的可表示性。
2021-02-11 math.AT math.CT
On the abelianization of derived categories and a negative solution to Rosicky's problem
我们证明了一个大的家庭的环R，他们的ESTA-纯整体维数是大于一，每一个无限的正则基数λ。这回答了罗西基提出的一个问题。这样的环的导出范畴则不满足对任何lambda的态射的亚当斯可达表示性。等价地，它们是良好生成的三角范畴的例子，其Neeman意义下的Abelda-阿贝尔化对于任何lambda都不是满函子。特别是，我们证明了，给定一个紧生成的三角范畴，人们可能无法找到一个罗西基函子之间的Renda-阿贝尔化函子。
2011-02-16 math.AT math.CT math.KT
Brown categories and bicategories
在布朗范畴的凝聚对象，有一个模型的映射空间的吊床本地化方面的Z字形长度为2。在本文中，我们将展示如何将这些空间组装成一个Segal类别，模型的布朗类别的无限范畴本地化。
2016-02-08 math.AT math.CT
Fibrations of $\infty$-categories
我们构造了一个由$\infty$ -范畴和其中的双模组成的带标记的$\infty$ -范畴${\sf Corr}$.我们证明了${\sf Corr}$分类指数纤维化。可指数纤维化的这种可表示性扩展了Lurie建立的余笛卡尔纤维化和笛卡尔纤维化的可表示性，因为它们分别被分类为$\infty$ -范畴的$\infty$ -范畴及其相反范畴。我们引入了带标记的$\infty$ -${\sf Corr}$的子范畴${\sf LCorr}$和${\sf RCorr}$，它们的态射分别是\emph{left final}和\emph{right initial}。我们确定这些标记的$\infty$ -子类别分类的纤维化的概念，并表明这些$\infty$ -类别进行普遍的左/右纤维化。
2020-06-23 math.AT math.CT
Lie models of simplicial sets and representability of the Quillen functor
扩展模型的区间，我们明确地定义为每个$n\ge 0$一个自由的完全微分分次李代数$\mathfrak{L}_n$所产生的单形的$Δ^n$，与dissuspended度，其中的顶点是Maurer-Cartan元素和微分扩展的标准$n$-单形的单纯链复形。$\{\mathfrak{L}_\bullet\}_{n\ge 0}$族被赋予了一个余单微分分次李代数结构，我们利用它构造了$\langle L\rangle_\bullet=\text{ DGL} (\mathfrak{L}_\bullet,L)$和$ \mathfrak{L}(K)=\varinjlim_K\mathfrak{L}_{\bullet} $给出的单纯集范畴和完全微分分次李代数范畴之间的一对伴随函子.这个新的工具，让我们扩展Quillen有理同伦理论的方法，任何单纯集$K$的路径组件不一定是单连通的。我们证明了$\mathfrak{L} (K)$包含$K$的每个组件的模型。当$K$是$1$-连通有限单纯复形时，$K$的Quillen模型可以从$\mathfrak{L} (K)$中提取出来.当$K$是连通的，那么对于扰动微分$\partial_a$，$H_0(\mathfrak{L} (K),\partial_a)$是$π_1(K)$的Malcev李完备化。对于任何完备的$\text{DGL}$的实现$\langle L…
2017-05-02 math.AT
Thin Elements and Commutative Shells in Cubical omega-categories
薄元素之间的关系，交换壳和连接在立方Ω范畴探索的方法，不涉及使用粘贴理论或神经的Ω范畴（这两个都是以前需要为这个目的;见以前的工作由Al-Agl/布朗/施泰纳。它表明，复合材料的交换壳是交换的，薄结构是等价于适当的连接集;这项工作扩展到所有维度的结果证明在2和3维布朗/莫萨，布朗/坎普斯/波特。
2004-08-23 math.AT math.CT
The Brown-Golasinski model structure on strict $\infty$-groupoids revisited
我们证明了严格$\infty$ -范畴上的民间模型结构转移到严格$\infty$ -群胚范畴（更一般地转移到严格$(\infty, n)$ -范畴范畴），并且由此得到的严格$\infty$ -群胚上的模型结构与Brown和Golasinski通过交叉复形定义的模型结构一致.
2011-07-28 math.AT math.CT
Localisation and Completion with an addendum on the use of Brown-Peterson homology in stable homotopy
这是Z的笔记。Fiedorowicz，摘自J. Frank Adams于1973年春在芝加哥大学的演讲。他们给了一个优雅的公理介绍本地化和完成代数拓扑。利用布朗表示定理，从公理出发，给出了任意广义同调论的局部化和完备化函子的构造。这些笔记从未正式出版，由于证据中的一个明显缺陷。相关的可表示函子不能被证明是集值的，而不是类值的。A的后续工作。K.鲍斯菲尔德建立了这些函子的存在，使用更技术的单纯方法。这些函子现在是同伦理论的重要工具。这些笔记还包含一个附录，专门用于使用布朗-彼得森同调来确定球面的稳定同伦群的伽马族中的某个元素是非零的。当时这是一个有争议的问题，因为S。Oka和H.户田声称已经证明了相反的结果。除了具有历史意义之外，这些注释还提供了一个非常可读的本地化和完成的介绍，具有最低的先决条件。一个简短的尾声由Z。Fiedorowicz填补了证据中的空白，并勾勒了一些后续的历史。还增加了前言和一些额外的编辑说明。
2011-01-17 math.AT
Realisability problem in arrow categories
本文提出了箭头范畴的可实现性问题。即，对于固定范畴$\mathcal{C}$和任意群$H\le G_1\times G_2$，在$\operatorname{Arr}(\mathcal{C})$中是否存在对象$ϕ\colon A_1 \rightarrow A_2$，使得$\operatorname{Aut}_{\operatorname{Arr}(\mathcal{C})}(ϕ) = H$、$\operatorname{Aut}_{\mathcal{C}}(A_1) = G_1$和$\operatorname{Aut}_{\mathcal{C}}(A_2) = G_2$？当点拓扑空间的同伦范畴$\mathcal C =\mathcal{H}oTop_*$。为此目的，我们首先解决这个问题的积极时，$\mathcal C = \mathcal{G}raphs$。然后，我们构建一个几乎完全忠实的函子从$\mathcal{G}raphs$到$\operatorname{CDGA}$，交换微分分次代数的范畴，它提供了除其他事项外，一个积极的回答我们的问题时，$\mathcal C = \operatorname{CDGA}$，只要我们与有限群，当$\mathcal C =\mathcal{H}oTop_*$。还得到了具体范畴可表示性的一些结果。
2019-09-16 math.AT math.CO math.RT
K-theory of endomorphisms via noncommutative motives
在这篇文章中，我们研究的K理论的自同态使用非交换动机。首先，我们将自同态函子的K-理论从普通环扩展到（稳定的）无穷范畴。然后我们证明了这个扩展函子KEnd（-）不仅下降到非对易基模范畴，而且还成为与球谱S的张量代数S[t]相关联的非对易基模的共同表示.使用这个co-representability的结果，我们然后分类的所有自然变换的KEnd（-）在一个整数加上一个分数之间的多项式与常数项1，这解决了一个问题提出的Almkvist在七十年代。最后，利用S[t]的乘法余代数结构，我们解释了如何从非对易动机的对称幺半范畴中恢复（有理）Witt向量.我们证明了连通环谱R的自同态的K_0-理论等价于其下的普通环π_0（R）的自同态的K_0-理论。
2013-02-05 math.AT math.KT
Univalence in locally cartesian closed infinity-categories
在发展了可表示的局部carriage闭无穷范畴的局部carriage局部化的基本理论之后，我们建立了等价的可表示性，并证明了Voevodsky意义下的单叶族与Lurie意义下的有界局部类的偏序集同构。由此可见，每一个无穷拓扑都有一个由正则基数索引的“泛”单价族的层次结构，而n拓扑也有分类（n-2）-截断映射的单价族。我们发现，单价家庭被保存（和检测）的右伴随，以本地carbohydrate本地化，并利用这展示某些典型的单价家庭在无限拟拓扑（某些无限范畴的“分离的预层”，这里介绍）。我们还展示了一些更奇特的例子，单价家庭，说明一个单价家庭在一个n-topos不需要（n-2）-截断，以及一些单价家庭的Morel-Voevodsky无穷大范畴的motivic空间，一个实例的局部carnival封闭的无穷大范畴，这不是一个n-topos任何$0\leq n\leq\infty$。最后，我们证明了任何可表示的局部Carnival闭无穷范畴都可以用组合类型论模型范畴来建模，反之，组合类型论模型范畴所对应的无穷范畴也是可表示的局部Carnival闭的。在这种对应下，可表示的局部Carnival闭无穷范畴中的单叶族对应于组合类型论模型范畴中的单叶纤维化。
2017-05-26 math.AT math.CT math.LO
Auslander-Reiten sequences, Brown-Comenetz duality, and the $K(n)$-local generating hypothesis
本文构造了$K(n)$ -局部稳定同伦范畴的Auslander-Reiten序列.特别是，Auslander-Reiten翻译的作用是由当地的布朗-Comenetz对偶函子。作为一个应用程序，我们产生反例的$K(n)$ -本地生成假设的所有高度$n>0$和所有素数。此外，我们的方法适用于其他的三角范畴，例如派生类的准相干层光滑射影概形。
2016-03-30 math.AT math.RT
Actor of categories internal to groups
本文利用Brown-Spencer定理和Norrie的著作，在群内范畴（又称群群胚）中，解释了群上交叉模的Actor的概念。进一步，我们构造了群广胚在群广胚上的作用。此外，我们给出了两个群胚的半直积和群胚的全形的显式构造。
2018-05-28 math.AT math.CT
Cocycles in categories of fibrant objects
我们建立了一个范畴的conquerant对象（在布朗的意义下）承认一个Dwyer-Kan同伦演算的右分数。这是使用同伦上循环演算来完成的，它是一种辅助结构，可以定义在每一个范畴的同伦对象上。作为应用，我们推出了Verdier超覆盖定理的一些非交换形式。
2015-09-28 math.AT math.CT
Noncommutative stable homotopy and stable infinity categories
非交换稳定同伦范畴$\mathtt{NSH}$是一个三角化范畴，它是可分$C^*$ -代数上三角化同调论的通用容器。我们证明了三角范畴$\mathtt{NSH}$是拓扑的定义由Schwede使用（稳定）无穷范畴的形式主义。更精确地说，我们构造了一个稳定的可表示无穷非对易谱范畴，并证明了$\mathtt{NSH}^{op}$作为一个完全三角化的子范畴位于其同伦范畴内，由此可以推出上述结果。我们还介绍了一个可呈现的无穷范畴的非交换点空间，其中包括$C^*$ -代数和定义的非交换稳定（共）同伦群的非交换空间推广早期的定义可分$C^*$ -代数。非对易谱的三角化同伦范畴允许（上）积并满足Brown表示性。这些性质使我们能够灵活地分析非交换稳定（余）同伦群关于某些（余）极限的行为。一路上，我们获得了无穷大范畴模型的一些著名的双变同调论，如$\mathrm{KK}$ -理论，$\mathrm{E}$ -理论，并通过适当的（共）本地化连接$\mathrm{E}$ -理论。非对易谱的稳定无穷范畴也可以用来产生非对易空间的广义（共）同调论的新例子。
2017-06-04 math.AT math.OA
Universal cohomology theories
本文为任意范畴构造普适（上）同调理论，通过函子可表示性取值于动机性$R$-线性阿贝尔范畴，并恢复Grothendieck $\partial$-函子与卫星函子。
2021-07-19 math.AG math.AT math.CT
(Co)Simplicial Descent Categories
本文研究了如何将一个固定范畴D中的单纯对象范畴sD的同伦结构转移到D中的问题。为此，我们使用一种同伦余极限s：sD --> D，我们称之为简单函子。例如，在一个Quillen单纯模型范畴中的Bousfield-Kan同伦余极限就是简单函子的一个例子。作为一个显着的例子以外的设置Quillen模型，我们包括德利涅简单的混合霍奇复杂。我们证明了简单函子在相应的局部范畴上诱导一个等价。我们还描述了sD上凝聚对象的Brown范畴的一种自然结构。我们使用这些事实，以产生cofiber序列上的局部化范畴D的E，从而产生一个自然的Verdier三角结构的稳定的情况下。
2011-10-11 math.AG math.AT math.CT
Variations of the telescope conjecture and Bousfield lattices for localized categories of spectra
我们调查了几个版本的望远镜猜想的本地化类别的光谱，它们之间的影响。推广的“有限本地化”建设，我们表明，在这样的类别，本地化远离一组强对偶对象是粉碎。我们对调和范畴、HFp-局部范畴和I-局部范畴上的所有粉碎局部化进行分类，其中I是球谱的Brown-Comenetz对偶;所有这些局部化都远离强可对偶对象，尽管这些范畴没有非零紧对象。本文描述了调和范畴、E（n）-局部范畴、K（n）-局部范畴、HFp-局部范畴和I-局部范畴的Bousfield格，以及它们之间的格映射。一个结果是，在这些范畴中，没有一个非零的物体平方为零。另一个是HFp-局部范畴有非Bousfield类的局部化子范畴。
2014-07-14 math.AT math.CT
Homotopy theory of spectral sequences
设$R$是有单位元的交换环.本文研究了具有弱等价类的$R$ -模的谱序列范畴的同伦理论，弱等价类由在某一固定页上诱导拟同构的态射给出。我们表明，这承认一个结构接近的一类concurrant对象的意义上的布朗，特别是结构的部分布朗范畴的concurrant对象。我们用它来比较与相关的结构上的类别的multicomplexes和过滤复合物。
2023-02-21 math.AT
Cellular objects in isotropic motivic categories
该研究刻画了柔性域上的等向胞腔谱范畴，证明其等价于经典拓扑Steenrod代数对偶上左余模的导出范畴，还研究了相关模范畴、构建了两类谱序列，并计算了等向Tate动机范畴中的同态集。
2023-10-02 math.AG math.AT
Cubical Resolutions and Derived Functors
我们在任意范畴中引入了具有伪连接的伪立方对象，通过适当放松它们的身份，从具有连接的立方对象的Brown-Higgins结构中获得，并构造了一个Tierney-Vogel单纯导出函子理论的立方模拟。在构造中的关键点是，射影预三次分解，自然地用来定义我们的三次导出函子具有伪退化和伪联络。同样的事实本质上是用来证明的情况下，一个加法函阿贝尔范畴之间的交换范畴，我们的理论符合经典的相对理论的导出函子的Eilenberg-Moore。
2009-07-10 math.AT math.CT math.KT
Rational Homotopy Calculus of Functors
这是作者于2005年7月提交给布朗大学的博士论文的（略有编辑）版本。我们构造了一个同伦演算函子的意义上Goodwillie的有理同伦理论的范畴。更确切地说，给定微分分次向量空间（DG），约化微分分次向量空间，微分分次李代数（DGL）和微分分次余代数（DGC）之间的同伦函子，我们证明了存在一个相关的近似“有理泰勒塔”的切除函子。这个塔中的纤维是齐次函子，它分解为微分分次向量空间范畴的齐次自同态。此外，我们为这个塔中的所有物体开发了非常简单和简单的模型。构建这些模型首先需要在DG、DGL和DGC类别中构建非常简单的同伦推回模型。最后，我们用一个简短的例子，我们的计算简单的模型，合理的泰勒塔的有用性，以及一些进一步的结果处理合理（和非理性）泰勒塔的预览。
2006-03-14 math.AT
Higher Hopf formulae for homology via Galois Theory
利用Janelidze的范畴伽罗瓦论，将Brown和Ellis的群同调的高阶Hopf公式推广到任意半交换一元范畴.给定这样一个范畴A和A的一个选定的Birkhoff子范畴B，我们用高阶扩张的中心化来描述A到B上的反射子的Barr-Beck导出函子.设A是所有群的范畴Gp，B是所有阿贝尔群的范畴Ab，给出了Brown和Ellis公式的一个新的证明.在群与k-幂零群，群与k-可解群，预交叉模与交叉模的情形下，我们也给出了明确的公式.
2007-05-21 math.AT math.CT
On torsion pairs, (well generated) weight structures, adjacent $t$-structures, and related (co)homological functors
该文件包含一个收集的结果有关的重量结构，$t$结构，（更一般）扭转对。对于任何重量结构$w$，我们研究（共）同调纯函子，这些“忽略所有的重量，除了重量为零”，并已经找到了几个应用程序。我们还研究了来自$w$的上同调函子的虚$t$ -截断。这些是密切相关的$t$ -结构，所以我们证明在几种情况下（包括某些类别的相干层），$w$“给”一个$t$ -结构（即相邻或$Φ$ -正交于它）。我们还详细研究了“良好生成”的权重结构（并证明任何完满集的对象生成的权重结构）。紧生成的$t$ -结构（并使用Brown-Comenetz对偶构造）的权结构的存在意味着后者的心具有内射余生成元并满足AB 3 * 公理;实际上，“它们中的大多数”是Grothendieck阿贝尔的（由于“正则正交”权结构的存在）。使用挠对的概念对我们来说是方便的;这些基本上推广了权结构和$t$ -结构。证明了扭对的几个性质（与权结构的性质相当类似），推广了D. Pospisil和J. Stovicek给出了紧生成挠对的分类。
2019-10-12 math.AG math.AT math.CT
