On the Moyal quantized BKP type hierarchies
Dolan Chapa Sen, A. Roy Chowdhury
利用Moyal括号和伪微分算子的形式对BKP型方程进行量子化。它示出的敷料运营商的变体也可以构造这样的量化系统。
Quantization of BKP type equations are done through the Moyal bracket and the formalism of pseudo-differential operators. It is shown that a variant of the dressing operator can also be constructed for such quantized systems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Pfaffian structures and certain solutions to BKP hierarchies I. Sums over partitions
我们介绍了一个有用的和相当简单的一类BKP tau函数，我们称之为“容易tau函数”。我们考虑两个版本的BKP层次结构，一个我们称之为“小BKP层次结构”（sBKP），与Date等人介绍的$O(\infty)$相关，另一个我们称之为“大BKP层次结构”（lBKP），与Kac和van de Leur介绍的$O(2\infty +1)$相关（它与Jimbo和Miwa介绍的大$O(2\infty)$ DKP层次结构（lDKP）密切相关）。实际上，在Harnad等人中已经考虑了sBKP层级的“简单tau函数”，在这里，我们对lBKP情况以及混合的小-大BKP tau函数（Kac和van de Leur）更感兴趣。所考虑的Tau函数等于分区上的某些求和和锥域上的某些重积分。以这种方式，它们可以适用于随机分区模型和随机矩阵模型。这里是第一部分的文件中的总和舒尔和投影舒尔功能分区被认为是。
Polynomial tau-functions of BKP and DKP hierarchies
我们构造了BKP、DKP和MDKP的所有多项式τ-函数。
Additional symmetries of constrained CKP and BKP hierarchies
通过约束CKP（cCKP）和约束BKP（cBKP）族对Lax算子的作用给出了它们的附加对称性，并明确给出了它们对本征函数和伴随本征函数$\{Φ_i,Ψ_i \}$的作用.进一步证明了$\partial_k^*$作用于波算子空间，分别形成新的无中心$W^{cC}_{1+\infty}$和无中心$W_{1+\infty}$的$W^{cB}_{1+\infty}$ -子代数.为了定义cCKP和cBKP层次的上述对称流$\partial_k^*$，引入两个重要算子$Y_k$来修正CKP和BKP层次的附加对称流。
On Addition Formulae of KP, mKP and BKP Hierarchies
本文研究KP族、mKP族和BKP族的加法公式。证明了全族等价于其加法公式的最简方程。在KP和mKP族的情况下，这些结果以前已经证明了由Noumi，Takasaki和Takebe的方式的波函数。在这里，我们给替代和直接证明的情况下，KP和mKP层次。我们的方法可以同样适用于BKP层次结构。
Revisiting Bäcklund-Darboux transformations for KP and BKP integrable hierarchies
本文基于双线性形式框架，重新探讨KP和BKP可积层次的Backlund-Darboux变换，扩展至全差分方程及其层次，并展示如何通过京都学派发展的算子方法构造这些变换。
Dispersionless and multicomponent BKP hierarchies with quantum torus symmetries
本文将在$W_{\infty}$无限维Lie对称性的基础上构造无色散BKP族的附加微扰量子环面对称性。这些结果表明，从BKP族到它的无色散族，完全量子环面对称性被破缺。进一步定义了多组分BKP体系的一系列附加流，这些流构成了量子环面对称性正半部分的$N$ -折叠直积。
Addition formulae of discrete KP, q-KP and two-component BKP systems
本文构造了离散KP族、q-变形KP族、双分量BKP族和D型Drinfeld-Sokolov族的加法公式。借助于Hirota双线性方程和不同类型KP族的$τ$函数，证明了这些加法公式与这些KP族是等价的.这些研究表明，加法公式在可积系统的研究中具有很好的普适性。
Block algebra in two-component BKP and D type Drinfeld-Sokolov hierarchies
我们构造了由两个伪微分Lax算子定义的两分量BKP族的广义附加对称。这些附加的对称流构成了一个Block型代数，由于这个可积族的一个B型约化条件，它带有一些修正（或附加）项。进一步证明了D型Drinfeld-Sokolov族是二分量BKP族的一个约化，它具有完备的Block型附加对称代数。D型Drinfeld-Sokolov族与双阶Toda族具有相似的代数结构，是一个微分离散可积系统.
Polynomial Tau-functions of the KP, BKP, and the s-Component KP Hierarchies
我们表明，任何多项式τ-功能的s-组件KP和BKP的层次可以被解释为零模式的一个适当的组合生成函数。作为应用，我们得到了这类函数族的所有多项式τ-函数分别用Schur多项式和Q-Schur多项式表示的显式表达式。我们还获得了多项式τ-函数的减少的s-组件KP层次与分区在s部分的公式。
The bilinear fermionic form for KP and BKP hierarchies
本文针对KP和BKP层次的tau函数引入提升算子，推导了连接费米子两点函数与一点函数的方程，提供了确定两点函数的有效方法，并为r-自旋等模型推导了简洁的两点函数公式。
Quantum Torus symmetry of the KP, KdV and BKP hierarchies
本文构造了KP族的量子环面对称性，并进一步导出了KP族的τ函数的量子环面约束。这意味着我们通过作用于它的tau函数，给出了KP系统中量子Torus李代数的一个很好的表示。与$W_{\infty}$对称性相比，这种量子环面对称性具有良好的双指数代数结构。进一步通过约化，我们还构造了KdV和BKP族的量子Torus对称性，并进一步导出了它们的tau函数的量子Torus约束。这些量子环面约束可能在量子场论、超对称规范理论等方面有应用。
On the c-k constrained KP and BKP hierarchies: the Fermionic pictures, solutions and additional symmetries
本文通过费米子方法研究 c-k 约束 KP 与 BKP 层级，给出费米子图像、解及附加对称，并证明其附加流均构成 Virasoro 子代数。
Giambelli type formulae in the BKP hierarchy
本文研究KP族和BKP族中的Giambelli型公式。任何形式的幂级数$τ(x)$都可以用Schur函数展开。已知具有$τ(0)=1$的$τ(x)$是KP族的解当且仅当该展开式的系数满足Giambelli型公式。利用Sato的KP族理论证明了这一点。在这里，我们给出了一个替代的证明的基础上，先前建立的结果的等价性的加法公式和KP层次不使用佐藤的理论。这种证明方法也可以应用于BKP层次的情况。
The Recursion operators of the BKP hierarchy and the CKP Hierarchy
本文在BKP（CKP）族的约束下，通过一个新的算子$B$，得到了Lax算子$L$中的奇动力学变量$u_{2k+1}$可以由偶动力学变量$u_{2k}$显式表示的结论.利用算子$B$，通过流方程和递归算子给出了BKP族和CKP族在$(2n+1)$ -约化下的本质区别.给出了BKP和CKP族在$(2n+1)$ -约化下的递归算子的形式公式。为了说明这种方法，显式地为BKP和CKP层次的3-约简构造了两个递归运算符。$u_2$的$t_7$流是由$t_1$流通过上述递归算子生成的，它与3-约化下的流方程生成的相应流是一致的。
BKP and CKP revisited: The odd KP system
将KP族的线性系统限制为n为奇数的独立变量tn，其相容性（Zakharov-Shabat条件）导致“奇KP族”.后者由两个因变量的成对方程组成，取值于（通常是非交换的）结合代数。如果代数是可交换的，则已知奇KP族允许BKP族和CKP族的约化。我们接近奇KP层次和它的关系BKP和CKP在不同的方式，并解决问题是否存在非交换版本的BKP和CKP方程（和他们的一些减少）。特别是，我们推导出一个函数表示的线性系统的奇数KP层次，在交换的情况下产生的功能表示的BKP和CKP层次的tau函数。此外，我们考虑的KP层次结构，涉及第二（辅助）因变量和功能的奇KP层次结构直接作为一个子层次的功能表示。一种方法来产生大类的精确解的KP族的解的线性矩阵ODE系统，通过一个层次的矩阵Riccati方程，然后也适用于奇KP族，这反过来又可以利用，特别是，以获得解决方案的BKP和CKP的层次。
Integrable hierarchies associated to infinite families of Frobenius manifolds
我们提出了一个新的结构的可积族相关联的任何无穷级数的Frobenius流形满足一定的稳定条件。我们研究了与$A_N$、$D_N$和$B_N$奇点相关的Frobenius流形的这些层次。在$A_N$ Frobenius流形的情况下，我们的层次与KP层次相一致;对于$B_N$ Frobenius流形，它与BKP层次相一致;对于$D_N$层次，它是2-分量BKP层次的某种约化。作为这些结果的副产品，我们说明了某些系数的计数意义的$A_N$，$D_N$和$B_N$ Frobenius潜力。
Solving bi-directional soliton equations in the KP hierarchy by gauge transformation
我们提出了一个系统的方法来构造的（n=5）-减少的BKP和CKP系列的KP系列的一般tau函数的解决方案。我们得到了双向Sawada-Kotera（bSK）、双向Kaup-Kupershirt（bKK）和双向Satsuma-Hirota（bSH）方程的单孤子解、双孤子解和周期解。根据exp（i ≠）的五阶根的对称性，对左、右向孤子等不同的解进行了分类.进一步，我们证明了BKP和CKP族的n-约化的孤子解（n= 2 j +1，j=1，2，3，…，可以在1+1时空域中沿j个方向传播。每个这样的方向对应于exp（i ≠）的n次方根的一个对称分布。在此基础上，详细讨论了BKP和CKP两个子族的Grammian τ函数n-约化的双峰孤子的存在性.如果n是偶数，我们再次发现双峰孤子。最后，我们得到了高阶KP族的“平稳”孤子。
From Additional Symmetries to Linearization of Virasoro Symmetries
我们构造额外的对称性，并推导出Adler-Shiota-van Moerbeke公式的两个组件BKP的层次。我们还表明，Drinfeld-Sokolov层次的D型，这是减少从两个组件的BKP层次，具有对称性写为一系列的线性Virasoro运营商的tau函数的行动。它的结果是D型的Drinfeld-Sokolov级数与Dubrovin和Zhang的与D型Coxeter群的Frobenius流形相关的级数重合，并且这样的级数的每个解连同弦方程一起被Virasoro算子和级数的时间导数的某些组合湮没。
$R$-matrices and Hamiltonian Structures for Certain Lax Equations
本文给出了一类耦合李代数上的$R$ -矩阵的列表。利用这些$R$ -矩阵中的一个，我们构造了两个分量BKP和Toda格族的无穷多个双Hamilton结构.我们还表明，当这两个层次减少到他们的子层次，这些双哈密顿结构相应减少。
On $(t_2,t_3)-$Zakharov-Shabat equations of generalized Kadomtsev-Petviashvili hierarchies
我们审查的KP层次结构的集成在几个非标准的情况下。具体而言，我们认为KP在以下结合微分代数：代数配备了一个幂零的衍生物;代数的功能配备了一个衍生物，推广梯度算子;代数的四元数值函数;微分李代数;代数的多项式配备了Pincherle微分; Moyal代数。在所有这些情况下，我们可以制定和解决的柯西问题的KP系列。此外，在每一种情况下，我们得到不同的Zakharov-Shabat $(t_2,t_3)$方程-也就是说，不同的Kadomtsev-Petviashvili方程-我们证明存在的解决方案所产生的解决方案，相应的KP系列。
Extension of Noncommutative Soliton Hierarchies
以Moyal变形的二维孤子方程为可积条件的线性系统，可以推广到三维线性系统，把变形参数作为一个附加坐标。补充的可积性条件的结果在一个一阶微分方程的变形参数，其流量与变形孤子方程的流量交换。这样，通过引入相应的变形方程，变形孤子族可以扩展到更大的孤子族。我们证明了变形AKNS层次的扩展层次性质，并专门针对变形NLS，KdV和mKdV层次的情况。对于变形的KP族也得到了相应的结果。变形方程确定了一种Seiberg-Witten映射从经典解到相应的“非对易”变形方程的解。
Action of $W$-type operators on Schur functions and Schur Q-functions
本文研究KP和BKP层次对称代数中的W型微分算子，给出其作用于Schur函数和Schur Q函数的统一公式，并据此简化证明Alexandrov猜想与Mironov-Morozov公式。
Explorations of the Extended ncKP Hierarchy
最近获得的扩展（xncKP）的Moyal变形KP系列（ncKP系列）的Moyal变形参数的一组演化方程进行了进一步探讨。公式推导出有效地计算这些方程。减少xncKP层次结构的治疗，特别是扩展ncKdV和ncBoussinesq层次结构。此外，佐藤形式主义的KP层次结构的一个很好的部分是结转到广义框架。特别是，著名的双线性恒等定理的KP层次，表示在（正式）贝克-Akhiezer功能，扩展到xncKP层次。此外，还证明了ncKP方程的N-孤子解也是前几个变形方程的解。这表明是有关的存在某些家庭的代数身份。
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