Kontsevich's Universal Formula for Deformation Quantization and the Campbell-Baker-Hausdorff Formula, I
我们将Maxim Kontsevich提出的任意Poisson结构的形变量子化的普适公式与Campbell-Baker-Hausdorff公式联系起来。我们的基本论点是，指数适当变形的泊松结构提供了一个原型，这样的通用公式。
1998-12-01 math-ph math.MP math.QA
A note on the Baker--Campbell--Hausdorff series in terms of right-nested commutators
我们得到了Baker-Campbell-Hausdorff级数$Z = \log(\e^X \, \e^Y)$在右嵌套算子下的紧表达式。减少的条款的数量源于两个事实：（i）我们使用作为一个出发点的明确表达直接涉及独立的recruitors和（ii）我们得到一个完整的一套身份之间产生的右嵌套recruitors。该程序使我们能够获得一系列更少的条款比在经典的霍尔基础上表示时，至少高达10级的条款。
2020-06-29 math-ph math.MP
Baker-Campbell-Hausdorff relation for special unitary groups SU(N)
特殊酉群SU（N）的两个元素相乘唯一地确定第三个群元素。一个Baker-Campbell-Hausdorff关系导出表示的产品（作为一个指数）的参数的指数因子方面的群参数。这需要三个（N乘N）矩阵的特征值。因此，原则上，直到N=4，该关系都可以解析地表述。例如，编码量子力学可观测量的时间演化的相似变换可以用同样的方法计算出来。
1997-10-07 math-ph math.MP quant-ph
An efficient algorithm for computing the Baker-Campbell-Hausdorff series and some of its applications
本文给出了一种在由$X$和$Y$生成的自由李代数$\mathcal{L}(X,Y)$的任意广义Hall基上生成Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）级数$Z = \log(\e^X \e^Y)$的新算法.它是基于密切关系的$\mathcal{L}(X,Y)$与李代数结构的标记根树。用这种算法，BCH系列的计算到20度（$\mathcal{L}(X,Y)$中的111013个独立元素）在个人计算机上花费不到15分钟，需要1.5千兆字节的存储器。我们还解决了该系列的收敛性问题，提供了一个最佳的收敛域时，$X$和$Y$是真正的或复杂的矩阵。
2008-10-15 math-ph math.MP
A Baker-Campbell-Hausdorff formula for the logarithm of permutations
研究了四自旋链中经典伊辛自旋的置换动力学。我们得到的哈密顿算子是等价的酉置换矩阵，编码假定的成对交换相互作用。它示出了如何这可以概括为一个确切的终止贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式，其中涉及的哈密顿量的指数两个自旋交换排列的产品。我们简要地评论了本研究的身体动机和影响。
2020-01-31 math-ph math.MP quant-ph
Good spectral triples, associated Lie groups of Campbell-Baker-Hausdorff type and unimodularity
提出了好谱三元组的概念。我们首先证明了任意正则谱三元组都可以嵌入到好谱三元组中，从而在非交换几何中，我们可以限定为只处理好谱三元组。给定一个好的谱三元组K=（A，H，D），我们证明了A自然地具有一个拓扑，称为K-拓扑，使它成为一个有单位元的Frechet预C*-代数，并且它的可逆元的群Inv（A）在它的李代数A中具有开的Campbell-Baker-Hausdorff型Frechet李群的标准结构;而且，对任意n>0，K_n=（M_n（A），H \otimes C^n，D \otimes I_n）仍然是一个好的谱三元组.我们可以推断出三个重要的结果。
1999-03-23 math-ph math.MP math.OA
Explicit Baker-Campbell-Hausdorff formulae for some specific Lie algebras
在之前的文章[arXiv：1501.02506，JPhysA { \bf 48}（2015）225207]中，我们证明了每当$[X,Y] = u X + vY + cI$时，Baker-Campbell-Hausdorff公式简化为易于处理的封闭形式表达式\[ Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y ) = X+Y+ f(u,v) \; [X,Y], \]，其中$f(u,v)=f(v,u)$由$[P,Q]=-i\hbar I$显式给出。在本文中，我们将进一步推广和扩展这个结果，主要是通过放松输入假设。我们将研究李代数的结构常数$f_{ab}{}^c$（由$[T_a,T_b] = f_{ab}{}^c \; T_c$定义），并确定可以对结构常数施加的适当约束，以使Baker-Campbell-Hausdorff公式易于处理。我们还将利用相关李代数$\mathfrak{g}$的换位子代数$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$得到相关结果。在适当的条件下，并像往常一样使用$L_A B = [A,B]$，我们将证明\[ \ln( e^X e^Y ) = X + Y + {I \over e^{-L_X} - e^{+L_Y} } \left( {I-e^{-L_X}\over L_X} + {I-e^{+L_Y}\over L_Y} \right) [X,Y]. \]
2015-05-18 hep-th math-ph math.MP
A permutation-based power series representation of the Baker-Campbell-Hausdorff formula
本文提出了一种基于排列的幂级数表示方法，用于Baker-Campbell-Hausdorff公式，通过双曲函数的排列简化了系数计算，并推导出新的物理应用有用的行进恒等式。
2025-11-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Explicit Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin formula for Spacetime via Geometric Algebra
本文提出了一个关于自旋表象中洛伦兹变换$e^{σ_i}$合成的紧凑的Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin公式。洛伦兹转子）的生成元$σ_i$：$$ \ln(e^{σ_1}e^{σ_2}) = \tanh^{-1}\left(\frac{ \tanh σ_1 + \tanh σ_2 + \frac12[\tanh σ_1, \tanh σ_2] }{ 1 + \frac12\{\tanh σ_1, \tanh σ_2\} }\right) $$这个公式对于几何代数（也称为几何代数）是通用的。实Clifford代数）的维度$\leq 4$，自然推广罗德里格斯的旋转公式在$\mathbb{R}^3$。特别是在Hestenes时空代数的框架下，它适用于Lorentz转子，并提供了一种构造Lorentz生成元的有效方法。计算机实现是可能的复杂的$2\times2$矩阵表示实现的泡利自旋矩阵。该公式适用于相对论$3$的组成，速度产生简单的表达式所产生的推动和伴随的维格纳角。
2021-07-01 gr-qc math-ph math.MP
Special-case closed form of the Baker-Campbell-Hausdorff formula
Baker-Campbell-Hausdorff公式是量$Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y )$的一般结果，其中$X$和$Y$不一定交换。对于$X$和$Y$（自由李代数）之间的完全一般的交换关系，一般结果有些不实用.然而，在特定的物理应用中，交换子$[X,Y]$虽然不为零，但通常可能相对简单，这有时会导致显式的封闭形式结果。我们考虑的特殊情况下$[X,Y] = u X + vY + cI$，并表明，在这种情况下，一般结果减少到\[ Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y ) = X+Y+ f(u,v) \; [X,Y]. \]此外，我们明确评估的对称函数$f(u,v)=f(v,u)$，证明\[ f(u,v) = {(u-v)e^{u+v}-(ue^u-ve^v)\over u v (e^u - e^v)}, \]，并与以前已知的结果。例如，这个结果包括但比从海森堡交换子$[P,Q]=-i\hbar I$或创生-毁灭交换子$[a,a^\dagger]=I$得到的结果更一般。
2015-04-22 hep-th math-ph math.MP
Non(anti)Commutative Superspace, Baker-Campbell-Hausdorff Closed Forms, and Dirac-Kähler Twisted Supersymmetry
本文通过推导非(反)对易超空间中的 BCH 闭形式，揭示超空间参数化可能无穷维的问题，并提出指数变形 Dirac-Kähler 扭曲超对称代数加以解决，为格点扭曲超 Yang-Mills 理论提供规范协变框架。
2025-03-08 hep-lat hep-th math-ph
Error bounds for the truncated Baker--Campbell--Hausdorff and Zassenhaus formulas in unitary problems
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）
针对酉问题中涉及斜伴随算子的情况，提出推导贝克 - 坎贝尔 - 豪斯多夫公式和扎森豪斯公式严格误差界及显式误差常数的一般策略，用于解决实际计算中截断展开式产生的误差问题。
2026-07-09 math-ph math.MP quant-ph
Classification of Commutator Algebras Leading to the New Type of Closed Baker-Campbell-Hausdorff Formulas
我们证明了有{ \it 13类型}的交换子代数导致arXiv：1502.06589，JHEP { \bf 1505}（2015）113中导出的Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）公式$$\exp(X)\exp(Y)\exp(Z)=\exp({AX+BZ+CY+DI}) \ , $$的新封闭形式。作为一种特殊情况，这包括$\exp(X) \exp(Z)$，其中$[X,Z]$除$X$和$Z$外还含有其他元素。该算法利用BCH公式的结合性，并基于分解$\exp(X)\exp(Y)\exp(Z)=\exp(X)\exp({αY}) \exp({(1-α) Y}) \exp(Z)$，其中$α$以这样一种方式固定，即它简化为$\exp({\tilde X})\exp({\tilde Y})$，其中$\tilde X$和$\tilde Y$满足Van-Brunt和Visser条件$[\tilde X,\tilde Y]=\tilde u\tilde X+\tilde v\tilde Y+\tilde cI$。结果表明，在一般情况下，$e^α$满足一个代数方程，该方程的指数取决于定义换位子代数的参数。在交换子代数的九个{ \it类型}中，这样的方程导致$α$的有理解。我们找到所有的方程，其特征的解决方案，上述分解问题相结合的雅可比恒等式。
2015-06-23 hep-th math-ph math.MP
Simplifying the Reinsch algorithm for the Baker-Campbell-Hausdorff series
Baker-Campbell-Hausdorff级数计算量\begin{equation*} Z(X,Y)=\ln\left( e^X e^Y \right) = \sum_{n=1}^\infty z_n(X,Y), \end{equation*}，其中$X$和$Y$不一定交换，根据次数为$n$的齐次多项式$z_n(X,Y)$。(This基本上等同于计算所谓的Goldberg系数。Baker-Campbell-Hausdorff系列是一个通用工具，广泛适用于数学物理、量子物理和许多其他领域。截断级数的Reinsch算法允许人们通过使用$(N+1)\times(N+1)$矩阵来计算直到某个固定阶的$N$。我们将展示如何进一步简化Reinsch算法，使实现（原则上）完全简单。这有助于更深入地理解Goldberg系数及其性质。例如，我们建立严格的界限（和一些等式）的数量非零戈德堡系数。不幸的是，我们将看到多项式$z_n(X,Y)$中的项数经常随着次数$n$而快速增长（实际上是指数增长）。我们还提出了一些密切相关的结果对称产品\begin{equation*} S(X,Y)=\ln\left( e^{X/2} e^Y e^{X/2} \right) = \sum_{n=1}^\infty s_n(X,Y). \end{equation*}这些主题的变化是直截了当的。例如，人们可以很容易地…
2017-11-28 hep-th math-ph math.MP
On the Baker-Campbell-Hausdorff Theorem: non-convergence and prolongation issues
我们研究了与著名的Baker-Campbell-Hausdorff定理相关的一些问题：一个不收敛结果和延拓问题。给定一个Banach代数$\mathcal{A}$，其单位元为$I$，并给定$X,Y\in \mathcal{A}$，研究了不同问题之间的关系：BCH级数$\sum_n Z_n(X,Y)$的收敛性，$e^Xe^Y$的对数的存在性，以及提供$e^Xe^Y$的一个选定对数的Mercator型级数$\sum_n {(-1)^{n+1}}(e^Xe^Y-I)^n/n$的收敛性.我们固定的一般结果，并通过适当的矩阵反例，我们表明，各种病理可能发生，其中我们提供了一个非收敛的BCH系列的结果。这个问题与最近的一些结果有关，在物理学上感兴趣的是BCH级数的封闭公式：虽然BCH级数的和存在一些不收敛的问题，但这些封闭公式可以在BCH级数不收敛时提供BCH级数的扩展。另一方面，我们通过适当的反例证明了BCH级数的解析延拓可以是奇异的，即使BCH级数本身是收敛的。
2018-10-12 cond-mat.stat-mech hep-ph hep-th
The flow method for the Baker-Campbell-Hausdorff formula: exact results
本研究借鉴几何数值积分技术，提出计算BCH公式精确表达式的流方法，通过李代数与向量场代数子代数的同构嵌入，利用向量场流的复合还原BCH公式，在流可解析计算时优势显著，已在基准示例验证有效并探讨了扩展方向。
2023-08-28 math-ph math.MP math.SG
An algorithm for the Baker-Campbell-Hausdorff formula
一个简单的算法，它利用BCH公式的结合性，并可以通过迭代推广，扩展了显着的简化贝克-坎贝尔-豪斯多夫（BCH）公式，最近由范-布伦特和维瑟。我们表明，如果$[X,Y]=uX+vY+cI$，$[Y,Z]=wY+zZ+dI$，并始终与雅可比恒等式，$[X,Z]=mX+nY+pZ+eI$，然后$$ \exp(X)\exp(Y)\exp(Z)=\exp({aX+bY+cZ+dI}) $$其中$a$，$b$，$c$和$d$是四个方程的解决方案。特别地，Van-Brunt和Visser公式$$\exp(X)\exp(Z)=\exp({aX+bZ+c[X,Z]+dI}) $$扩展到当$[X,Z]$还包含不同于$X$和$Z$的元素时的情况。这种封闭形式的BCH公式可能在数学和物理中有有趣的应用。作为应用，我们给出了Virasoro代数指数化情形下BCH公式的封闭形式，其中${\rm SL}_2({\rm C})$作为子情形.我们还确定了Virasoro代数的三维子代数满足Van-Brunt和Visser条件。事实证明，${\rm SL}_2({\rm C})$的指数形式在其特征值和相应的莫比乌斯变换的不动点方面具有很好的表示。这可能在一致化理论和共形场论中有应用。
2015-04-27 hep-ph hep-th math-ph
Closed Form of the Baker-Campbell-Hausdorff Formula for the Generators of Semisimple Complex Lie Algebras
最近，人们提出了一种算法Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）公式，它推广了Van-Brunt和Visser最近的结果，得到了BCH公式的新的封闭形式.最近，它已被证明，有{ \it 13类型}这样的交换子代数。我们表明，通过提供明确的解决方案，这些包括半单复李代数的发电机。更准确地说，对于任何一对，$X$，$Y$的Cartan-Weyl基础，我们发现$W$，线性组合的$X$，$Y$，使$$ \exp(X) \exp(Y)=\exp(W) $$的推导，这样的封闭形式如下，部分地，通过使用上述最近的结果。通过考虑根系的结构，给出了完整的推导过程.进一步地，如果$X$，$Y$和$Z$是Cartan-Weyl基的三个生成元，我们发现，对于广泛的一类情形，$W$，$X$，$Y$和$Z$的线性组合，使得$$ \exp(X) \exp(Y) \exp(Z)=\exp(W) $$.结果表明，相应的换位子代数是{ \it type 1c-i}，{ \it type 4}和{ \it type 5}.一个关键的结果涉及的迭代应用的算法导致相关的扩展的情况下，承认封闭形式的BCH公式。在这里，我们提供了这种迭代的主要步骤，将在即将发表的论文中开发。
2016-10-24 hep-ph hep-th math-ph
Explicit Baker--Campbell--Hausdorff Radii in Special Banach--Malcev Algebras of Shifts
本文在特殊移位 Banach–Malcev 代数中建立了 BCH 级数的显式收敛半径，利用 Catalan 数控制得到精确常数 1/(4K)，并针对多种移位代数显式计算了连续性常数 B。
2025-11-11 math-ph math.DG math.FA
An advance in the arithmetic of the Lie groups as an alternative to the forms of the Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin theorem
该研究针对非对易算符指数求值难题，在满足循环对易关系的三算符基李代数中证明了指数算符的等价分解形式并给出扩展，为量子自旋动力学研究提供了替代Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin定理级数形式的新方法。
2024-01-28 math-ph math.MP quant-ph
A Universal Disentangling Formula for Coherent States of Perelomov's Type
给出了定义在广义振子代数上的Perelomov型相干态（$ |z \ra = \exp (z\Adag -\bar{z}A) |0 \ra $）的一个普适解纠缠公式（如Baker-Campbell-Hausdorff解纠缠公式）.
1999-07-08 hep-th math-ph math.MP
On the Birkhoff factorization problem for the Heisenberg magnet and nonlinear Schroedinger equations
给出了具有经典自旋的Heisenberg磁体方程在商空间$G/H_+$上的流几何描述，其中$G$是无限维李群，$H_+$是$G$的子群.结果表明，HM流是由$\mathbb{R}^2$对$G/H_+$的作用引起的，HM方程可以通过求解$G$的Birkhoff分解问题来积分.对于谱变量为Laurent多项式的HM流，我们导出了非线性Schroedinger（NLS）和Heisenberg磁体方程的解之间的代数变换。$G$的Birkhoff分解是根据Segal-Wilson Grassmannian $Gr(H)$的几何来处理的。该问题的解用$Gr(H)$的特殊子空间的一对Baker函数给出。贝克函数的子空间，产生多孤子解的NLS和HM方程的显式构造。
2006-04-09 math-ph math.AP math.MP
Decomposition of Time-Ordered Products and Path-Ordered Exponentials
我们提出了一个分解公式$U_n$，一个积分的时间顺序的产品的运营商，在更原始的数量$C_m$，这是积分的时间顺序的积分的乘积和相同的运营商。所得到的因式分解使得能够对$n$进行求和，以产生时间排序指数的显式表达式，该表达式被证明是$C_m$的指数函数。前面得到的Campbell-Baker-Hausdorff公式和非交换程函公式都是这个结果的特例。
1998-04-28 hep-th math-ph math.MP
On the Magic Matrix by Makhlin and the B-C-H Formula in SO(4)
利用Makhlin的幻矩阵，给出了SO（4）中Baker-Campbell-Hausdorff（B-C-H）公式的一个封闭表达式.据我们所知，这是（半）单李群上的{ \bf第一个非平凡例子}，总结了B-C-H展开式中的所有项。
2007-07-18 hep-th math-ph math.MP
Quantum Zeno Dynamics from General Quantum Operations
考虑有限维量子系统的任意量子动力学半群在频繁踢作用下的演化，其中每一次踢都是一般的量子操作。我们开发了一个泛化的贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式，允许重新制定这样的脉冲动力学作为一个连续的。这揭示了绝热演化。我们得到了一个一般类型的量子芝诺动力学，它统一了所有已知的表现在文献中，以及描述新的类型。
2020-07-01 math-ph math.MP quant-ph
Some reference formulas for the generating functions of canonical transformations
本文研究了经典力学和量子场论中正则变换的一些性质，给出了一些关于其母函数的实用公式。首先，我们给出了复合律在恒等映射周围微扰展开的一个图解公式。然后，我们提出了一个标准的方式来表示的生成函数的一个典型的转换，通过一定的“分量”映射，它服从Baker-Campbell-Hausdorff公式。我们推导出分量映射的图解解释，找出它与汉密尔顿-雅可比方程解的关系，并推导出它的时间顺序版本。最后，我们将结果推广到Batalin-Vilkovisky形式主义，其中共轭变量可以同时具有玻色子和费米子统计，并描述了量子场论的应用。
2016-04-05 hep-th math-ph math.MP
Normal Ordering for Deformed Boson Operators and Operator-valued Deformed Stirling Numbers
将玻色子数算符$\hat{n}$的幂的正规序公式推广到变形玻色子.结果表明，对于满足$a a^{\dagger} - q a^{\dagger} a = 1$的M型变形玻色子，该延拓涉及一组变形Stirling数，它取代了传统情况下的Stirling数.另一方面，在满足$a a^{\dagger} - q a^{\dagger} a = q^{-\hat{n}}$的“P型”变形玻色子的情况下，必须引入的变形Stirling数被发现依赖于算子$\hat{n}$。这两种变形玻色子之间的区别与早期在研究扩展的坎贝尔-贝克-豪斯多夫公式时所做的观察是一致的。
2000-01-02 math-ph math.MP quant-ph
General ordering theorem
本文证明了General Ordering Theorem（GOT），建立了任意算符排序间的一般转换关系，并展示了其通过特例恢复Magnus展开与BCH公式且提供紧凑表达式的潜力。
2023-05-24 hep-th math-ph math.MP
Are quantum spins but small perturbations of ontological Ising spins?
本文将经典伊辛自旋置换动力学推广到任意长的自旋链。这作为一个本体论模型与离散动力学所产生的成对交换相互作用定义的单一更新算子。该模型采用了有限的信号速度，在许多方面类似于离散自由场论。我们推导出相应的哈密顿算子，并证明它产生一个精确的终止Baker-Campbell-Hausdorff公式。本研究的动机是由量子力学的元胞自动机解释提供的。我们发现，我们的本体论模型，这是经典的和确定性的，似乎在一个适当的形式描述的量子力学类。然而，令人惊讶的是，模型的微小变形（原则上是任意的）使其成为真正的量子理论。这支持了量子力学源于处理物理现象的认识论方法的观点。
2020-08-04 hep-th math-ph math.MP
Differential Operator Representation of sl (2, R) as Modules over Univariate and Bivariate Hermite Polynomials
本文揭示了 Univariate 和 Bivariate Hermite 多项式及其微分方程与 Lie 代数 sl(2,R) 表示的联系，应用 BCH 公式导出了多项式新关系，并引入了基于微分算子和任意多项式基的 sl(2,R) 一般表示形式。
2023-09-12 math-ph math.GM math.MP
A Zassenhaus-type algorithm solves the Bogoliubov recursion
本文介绍了微扰重整化中计算平衡项的一种新的李理论方法。与通常的方法相反，Bogoliubov递归的设计版本不遵循循环数的线性归纳。它相对于Connes-Kreimer方法表现良好：也就是说，递归发生在具有正则化Feynman振幅值的Hopf代数特征群内部。（典型地，我们在最小减法方案中使用维数正则化，尽管我们的过程可推广到其他方案。这种新方法与Zassenhaus对计算指数乘积的Baker-Campbell-Hausdorff公式的方法有关。反项的分解由一族李幂等元参数化，称为扎森豪斯幂等元。它示出，除其他外，相应的费曼规则生成相同的代数的Connes-Kreimer β-函数的分级组件。这进一步扩展了我们以前的工作（与何塞M。Gracia-Bondia）关于Lie幂等元与重整化过程之间的联系，我们利用经典的Dynkin幂等元构造了Connes-Kreimer β-函数。
2007-11-27 hep-th math-ph math.CO
Representations of the $su(1,1)$ current algebra and probabilistic perspectives
本文构造 $su(1,1)$ 流代数的三种表示，将其与超过程、空间生灭过程及经典多项式联系起来，并证明相关 BCH 公式和酉算子作用公式。
2024-02-12 math-ph math.MP math.PR
$\texttt{Symdyn}$: an automated algebraic solution for high-order quantum systems
Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense（弗鲁米嫩塞联邦大学物理研究所）；D-Wave Systems Inc.（D-Wave系统公司）；Information Analysis Group, Special Jurisdiction for Peace（和平特别管辖区信息分析组）；Lyric
Symdyn是一个自动化代数解法库，用于高阶量子系统的演化算符计算，支持SU(N)群的专用应用。
2025-04-07 math-ph math.MP quant-ph
