A new approach to the Baker-Campbell-Hausdorff expansion
A. V. Bratchikov
对于非交换变量x，y，得到log（exp（x）exp（y））的x+y幂展开式，级数的每一项由x-y的无穷次幂和给出，并用图解表示.
For noncommutative variables x,y an expansion of log(exp(x)exp(y)) in powers of x+y is obtained.Each term of the series is given by an infinite sum in powers of x-y.The series is represented by diagrams.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Comment on ``A simple expression for the terms in the Baker-Campbell-Hausdorff series''
指出Reinsch计算Baker-Campbell-Hausdorff级数的矩阵运算公式[math-ph/9905012]与直接级数展开等价。他的方法并没有减少计算量。
An exact power series representation of the Baker-Campbell-Hausdorff formula
构造了Baker-Campbell-Hausdorff公式在两个变量之一上的幂级数的精确表示。这个系列的封闭形式的系数被发现在双曲函数，其中包含所有的第二个变量的依赖。有人认为，这个确切的系列，然后可以被截断，并预计给一个很好的近似充分的扩展，如果只有微扰变量是小的。这改进了现有的公式，现有的公式要求两者都很小。因此，这可以允许在采用贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式的物理问题中访问更大的相空间，同时使新的问题能够得到解决。
A note on the Baker--Campbell--Hausdorff series in terms of right-nested commutators
我们得到了Baker-Campbell-Hausdorff级数$Z = \log(\e^X \, \e^Y)$在右嵌套算子下的紧表达式。减少的条款的数量源于两个事实：（i）我们使用作为一个出发点的明确表达直接涉及独立的recruitors和（ii）我们得到一个完整的一套身份之间产生的右嵌套recruitors。该程序使我们能够获得一系列更少的条款比在经典的霍尔基础上表示时，至少高达10级的条款。
Unbounded generalization of the Baker-Campbell-Hausdorff formulae
本文基于Banach代数B(X)上的算子表示，将Baker-Campbell-Hausdorff公式推广到无界算子情形，通过一般无界算子的对数表示实现公式扩展。
A simple expression for the terms in the Baker-Campbell-Hausdorff series
一个简单的表达式推导出的Baker-Campbell-Hausdorff系列中的条款。结果的一个公式涉及到有理数矩阵的有限数量的运算。概括进行了讨论。
Kontsevich's Universal Formula for Deformation Quantization and the Campbell-Baker-Hausdorff Formula, I
我们将Maxim Kontsevich提出的任意Poisson结构的形变量子化的普适公式与Campbell-Baker-Hausdorff公式联系起来。我们的基本论点是，指数适当变形的泊松结构提供了一个原型，这样的通用公式。
An efficient algorithm for computing the Baker-Campbell-Hausdorff series and some of its applications
本文给出了一种在由$X$和$Y$生成的自由李代数$\mathcal{L}(X,Y)$的任意广义Hall基上生成Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）级数$Z = \log(\e^X \e^Y)$的新算法.它是基于密切关系的$\mathcal{L}(X,Y)$与李代数结构的标记根树。用这种算法，BCH系列的计算到20度（$\mathcal{L}(X,Y)$中的111013个独立元素）在个人计算机上花费不到15分钟，需要1.5千兆字节的存储器。我们还解决了该系列的收敛性问题，提供了一个最佳的收敛域时，$X$和$Y$是真正的或复杂的矩阵。
Baker-Campbell-Hausdorff relation for special unitary groups SU(N)
特殊酉群SU（N）的两个元素相乘唯一地确定第三个群元素。一个Baker-Campbell-Hausdorff关系导出表示的产品（作为一个指数）的参数的指数因子方面的群参数。这需要三个（N乘N）矩阵的特征值。因此，原则上，直到N=4，该关系都可以解析地表述。例如，编码量子力学可观测量的时间演化的相似变换可以用同样的方法计算出来。
A Baker-Campbell-Hausdorff formula for the logarithm of permutations
研究了四自旋链中经典伊辛自旋的置换动力学。我们得到的哈密顿算子是等价的酉置换矩阵，编码假定的成对交换相互作用。它示出了如何这可以概括为一个确切的终止贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式，其中涉及的哈密顿量的指数两个自旋交换排列的产品。我们简要地评论了本研究的身体动机和影响。
Exact Baker-Campbell-Hausdorff formula for the contact Heisenberg algebra
本文引入了切触Heisenberg代数，它是切触流形上的Jacobi代数对线性函数和常数函数的限制。给出了相应的Baker-Campbell-Hausdorff公式的精确表达式。我们认为，这一结果是相关的接触系统的量子化。
Birkhoff type decompositions and the Baker-Campbell-Hausdorff recursion
我们描述了一个统一的几个显然无关的因式分解所产生的量子场论，顶点算子代数，组合数学和数值方法在微分方程。统一是由Birkhoff型分解给出的，该分解是在我们研究Connes和Kreimer的扰动量子场论重整化的Hopf代数方法时由Baker-Campbell-Hausdorff公式得到的。证明了Connes和Kreimer的Birkhoff分解可以由一个具有Rota-Baxter算子的Baker-Campbell-Hausdorff递推公式得到。我们将解释相同的分解如何推广形式指数的因式分解和顶点算子代数和共形场论中出现的李代数的一致化，组合Hopf代数特征的奇偶分解以及常微分方程中矩阵指数近似的李代数极分解。
Good spectral triples, associated Lie groups of Campbell-Baker-Hausdorff type and unimodularity
提出了好谱三元组的概念。我们首先证明了任意正则谱三元组都可以嵌入到好谱三元组中，从而在非交换几何中，我们可以限定为只处理好谱三元组。给定一个好的谱三元组K=（A，H，D），我们证明了A自然地具有一个拓扑，称为K-拓扑，使它成为一个有单位元的Frechet预C*-代数，并且它的可逆元的群Inv（A）在它的李代数A中具有开的Campbell-Baker-Hausdorff型Frechet李群的标准结构;而且，对任意n>0，K_n=（M_n（A），H \otimes C^n，D \otimes I_n）仍然是一个好的谱三元组.我们可以推断出三个重要的结果。
A permutation-based power series representation of the Baker-Campbell-Hausdorff formula
本文提出了一种基于排列的幂级数表示方法，用于Baker-Campbell-Hausdorff公式，通过双曲函数的排列简化了系数计算，并推导出新的物理应用有用的行进恒等式。
Explicit Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin formula for Spacetime via Geometric Algebra
本文提出了一个关于自旋表象中洛伦兹变换$e^{σ_i}$合成的紧凑的Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin公式。洛伦兹转子）的生成元$σ_i$：$$ \ln(e^{σ_1}e^{σ_2}) = \tanh^{-1}\left(\frac{ \tanh σ_1 + \tanh σ_2 + \frac12[\tanh σ_1, \tanh σ_2] }{ 1 + \frac12\{\tanh σ_1, \tanh σ_2\} }\right) $$这个公式对于几何代数（也称为几何代数）是通用的。实Clifford代数）的维度$\leq 4$，自然推广罗德里格斯的旋转公式在$\mathbb{R}^3$。特别是在Hestenes时空代数的框架下，它适用于Lorentz转子，并提供了一种构造Lorentz生成元的有效方法。计算机实现是可能的复杂的$2\times2$矩阵表示实现的泡利自旋矩阵。该公式适用于相对论$3$的组成，速度产生简单的表达式所产生的推动和伴随的维格纳角。
Error bounds for the truncated Baker--Campbell--Hausdorff and Zassenhaus formulas in unitary problems
针对酉问题中涉及斜伴随算子的情况，提出推导贝克 - 坎贝尔 - 豪斯多夫公式和扎森豪斯公式严格误差界及显式误差常数的一般策略，用于解决实际计算中截断展开式产生的误差问题。
The flow method for the Baker-Campbell-Hausdorff formula: exact results
本研究借鉴几何数值积分技术，提出计算BCH公式精确表达式的流方法，通过李代数与向量场代数子代数的同构嵌入，利用向量场流的复合还原BCH公式，在流可解析计算时优势显著，已在基准示例验证有效并探讨了扩展方向。
Explicit Baker-Campbell-Hausdorff formulae for some specific Lie algebras
在之前的文章[arXiv：1501.02506，JPhysA { \bf 48}（2015）225207]中，我们证明了每当$[X,Y] = u X + vY + cI$时，Baker-Campbell-Hausdorff公式简化为易于处理的封闭形式表达式\[ Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y ) = X+Y+ f(u,v) \; [X,Y], \]，其中$f(u,v)=f(v,u)$由$[P,Q]=-i\hbar I$显式给出。在本文中，我们将进一步推广和扩展这个结果，主要是通过放松输入假设。我们将研究李代数的结构常数$f_{ab}{}^c$（由$[T_a,T_b] = f_{ab}{}^c \; T_c$定义），并确定可以对结构常数施加的适当约束，以使Baker-Campbell-Hausdorff公式易于处理。我们还将利用相关李代数$\mathfrak{g}$的换位子代数$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$得到相关结果。在适当的条件下，并像往常一样使用$L_A B = [A,B]$，我们将证明\[ \ln( e^X e^Y ) = X + Y + {I \over e^{-L_X} - e^{+L_Y} } \left( {I-e^{-L_X}\over L_X} + {I-e^{+L_Y}\over L_Y} \right) [X,Y]. \]
Special-case closed form of the Baker-Campbell-Hausdorff formula
Baker-Campbell-Hausdorff公式是量$Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y )$的一般结果，其中$X$和$Y$不一定交换。对于$X$和$Y$（自由李代数）之间的完全一般的交换关系，一般结果有些不实用.然而，在特定的物理应用中，交换子$[X,Y]$虽然不为零，但通常可能相对简单，这有时会导致显式的封闭形式结果。我们考虑的特殊情况下$[X,Y] = u X + vY + cI$，并表明，在这种情况下，一般结果减少到\[ Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y ) = X+Y+ f(u,v) \; [X,Y]. \]此外，我们明确评估的对称函数$f(u,v)=f(v,u)$，证明\[ f(u,v) = {(u-v)e^{u+v}-(ue^u-ve^v)\over u v (e^u - e^v)}, \]，并与以前已知的结果。例如，这个结果包括但比从海森堡交换子$[P,Q]=-i\hbar I$或创生-毁灭交换子$[a,a^\dagger]=I$得到的结果更一般。
Non(anti)Commutative Superspace, Baker-Campbell-Hausdorff Closed Forms, and Dirac-Kähler Twisted Supersymmetry
本文通过推导非(反)对易超空间中的 BCH 闭形式，揭示超空间参数化可能无穷维的问题，并提出指数变形 Dirac-Kähler 扭曲超对称代数加以解决，为格点扭曲超 Yang-Mills 理论提供规范协变框架。
On the Baker-Campbell-Hausdorff Theorem: non-convergence and prolongation issues
我们研究了与著名的Baker-Campbell-Hausdorff定理相关的一些问题：一个不收敛结果和延拓问题。给定一个Banach代数$\mathcal{A}$，其单位元为$I$，并给定$X,Y\in \mathcal{A}$，研究了不同问题之间的关系：BCH级数$\sum_n Z_n(X,Y)$的收敛性，$e^Xe^Y$的对数的存在性，以及提供$e^Xe^Y$的一个选定对数的Mercator型级数$\sum_n {(-1)^{n+1}}(e^Xe^Y-I)^n/n$的收敛性.我们固定的一般结果，并通过适当的矩阵反例，我们表明，各种病理可能发生，其中我们提供了一个非收敛的BCH系列的结果。这个问题与最近的一些结果有关，在物理学上感兴趣的是BCH级数的封闭公式：虽然BCH级数的和存在一些不收敛的问题，但这些封闭公式可以在BCH级数不收敛时提供BCH级数的扩展。另一方面，我们通过适当的反例证明了BCH级数的解析延拓可以是奇异的，即使BCH级数本身是收敛的。
Classification of Commutator Algebras Leading to the New Type of Closed Baker-Campbell-Hausdorff Formulas
我们证明了有{ \it 13类型}的交换子代数导致arXiv：1502.06589，JHEP { \bf 1505}（2015）113中导出的Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）公式$$\exp(X)\exp(Y)\exp(Z)=\exp({AX+BZ+CY+DI}) \ , $$的新封闭形式。作为一种特殊情况，这包括$\exp(X) \exp(Z)$，其中$[X,Z]$除$X$和$Z$外还含有其他元素。该算法利用BCH公式的结合性，并基于分解$\exp(X)\exp(Y)\exp(Z)=\exp(X)\exp({αY}) \exp({(1-α) Y}) \exp(Z)$，其中$α$以这样一种方式固定，即它简化为$\exp({\tilde X})\exp({\tilde Y})$，其中$\tilde X$和$\tilde Y$满足Van-Brunt和Visser条件$[\tilde X,\tilde Y]=\tilde u\tilde X+\tilde v\tilde Y+\tilde cI$。结果表明，在一般情况下，$e^α$满足一个代数方程，该方程的指数取决于定义换位子代数的参数。在交换子代数的九个{ \it类型}中，这样的方程导致$α$的有理解。我们找到所有的方程，其特征的解决方案，上述分解问题相结合的雅可比恒等式。
An advance in the arithmetic of the Lie groups as an alternative to the forms of the Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin theorem
该研究针对非对易算符指数求值难题，在满足循环对易关系的三算符基李代数中证明了指数算符的等价分解形式并给出扩展，为量子自旋动力学研究提供了替代Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin定理级数形式的新方法。
Simplifying the Reinsch algorithm for the Baker-Campbell-Hausdorff series
Baker-Campbell-Hausdorff级数计算量\begin{equation*} Z(X,Y)=\ln\left( e^X e^Y \right) = \sum_{n=1}^\infty z_n(X,Y), \end{equation*}，其中$X$和$Y$不一定交换，根据次数为$n$的齐次多项式$z_n(X,Y)$。(This基本上等同于计算所谓的Goldberg系数。Baker-Campbell-Hausdorff系列是一个通用工具，广泛适用于数学物理、量子物理和许多其他领域。截断级数的Reinsch算法允许人们通过使用$(N+1)\times(N+1)$矩阵来计算直到某个固定阶的$N$。我们将展示如何进一步简化Reinsch算法，使实现（原则上）完全简单。这有助于更深入地理解Goldberg系数及其性质。例如，我们建立严格的界限（和一些等式）的数量非零戈德堡系数。不幸的是，我们将看到多项式$z_n(X,Y)$中的项数经常随着次数$n$而快速增长（实际上是指数增长）。我们还提出了一些密切相关的结果对称产品\begin{equation*} S(X,Y)=\ln\left( e^{X/2} e^Y e^{X/2} \right) = \sum_{n=1}^\infty s_n(X,Y). \end{equation*}这些主题的变化是直截了当的。例如，人们可以很容易地…
Explicit Baker--Campbell--Hausdorff Radii in Special Banach--Malcev Algebras of Shifts
本文在特殊移位 Banach–Malcev 代数中建立了 BCH 级数的显式收敛半径，利用 Catalan 数控制得到精确常数 1/(4K)，并针对多种移位代数显式计算了连续性常数 B。
An algorithm for the Baker-Campbell-Hausdorff formula
一个简单的算法，它利用BCH公式的结合性，并可以通过迭代推广，扩展了显着的简化贝克-坎贝尔-豪斯多夫（BCH）公式，最近由范-布伦特和维瑟。我们表明，如果$[X,Y]=uX+vY+cI$，$[Y,Z]=wY+zZ+dI$，并始终与雅可比恒等式，$[X,Z]=mX+nY+pZ+eI$，然后$$ \exp(X)\exp(Y)\exp(Z)=\exp({aX+bY+cZ+dI}) $$其中$a$，$b$，$c$和$d$是四个方程的解决方案。特别地，Van-Brunt和Visser公式$$\exp(X)\exp(Z)=\exp({aX+bZ+c[X,Z]+dI}) $$扩展到当$[X,Z]$还包含不同于$X$和$Z$的元素时的情况。这种封闭形式的BCH公式可能在数学和物理中有有趣的应用。作为应用，我们给出了Virasoro代数指数化情形下BCH公式的封闭形式，其中${\rm SL}_2({\rm C})$作为子情形.我们还确定了Virasoro代数的三维子代数满足Van-Brunt和Visser条件。事实证明，${\rm SL}_2({\rm C})$的指数形式在其特征值和相应的莫比乌斯变换的不动点方面具有很好的表示。这可能在一致化理论和共形场论中有应用。
Closed Form of the Baker-Campbell-Hausdorff Formula for the Generators of Semisimple Complex Lie Algebras
最近，人们提出了一种算法Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）公式，它推广了Van-Brunt和Visser最近的结果，得到了BCH公式的新的封闭形式.最近，它已被证明，有{ \it 13类型}这样的交换子代数。我们表明，通过提供明确的解决方案，这些包括半单复李代数的发电机。更准确地说，对于任何一对，$X$，$Y$的Cartan-Weyl基础，我们发现$W$，线性组合的$X$，$Y$，使$$ \exp(X) \exp(Y)=\exp(W) $$的推导，这样的封闭形式如下，部分地，通过使用上述最近的结果。通过考虑根系的结构，给出了完整的推导过程.进一步地，如果$X$，$Y$和$Z$是Cartan-Weyl基的三个生成元，我们发现，对于广泛的一类情形，$W$，$X$，$Y$和$Z$的线性组合，使得$$ \exp(X) \exp(Y) \exp(Z)=\exp(W) $$.结果表明，相应的换位子代数是{ \it type 1c-i}，{ \it type 4}和{ \it type 5}.一个关键的结果涉及的迭代应用的算法导致相关的扩展的情况下，承认封闭形式的BCH公式。在这里，我们提供了这种迭代的主要步骤，将在即将发表的论文中开发。
A Universal Disentangling Formula for Coherent States of Perelomov's Type
给出了定义在广义振子代数上的Perelomov型相干态（$ |z \ra = \exp (z\Adag -\bar{z}A) |0 \ra $）的一个普适解纠缠公式（如Baker-Campbell-Hausdorff解纠缠公式）.
On the Magic Matrix by Makhlin and the B-C-H Formula in SO(4)
利用Makhlin的幻矩阵，给出了SO（4）中Baker-Campbell-Hausdorff（B-C-H）公式的一个封闭表达式.据我们所知，这是（半）单李群上的{ \bf第一个非平凡例子}，总结了B-C-H展开式中的所有项。
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