无穷水平极限下Farey分数的区间
Intervals Between Farey Fractions in the Limit of Infinite Level
摘要：
修正的Farey序列在每一层k由有理分式r_k^{（n）}组成，其中n=1，2，.，2^k+1。我们考虑I_k^{（e）}，新的Farey分数之间的（一组）交替间隔的总长度（即，第一次出现），I^{（e）}_k：= \sum_{i=1}^{2^{k-2}}（r_k^{（4 i）}- r_k^{（4 i-2）}）。我们证明了\liminf_{k\to \infty} I_k^{（e）}=0，并猜想实际上\lim_{k \to \infty} I_k^{（e）}=0。法里分数的这个简单几何性质被证明是令人惊讶的微妙，没有明显的简单解释。这个猜想等价于$ lim_{k \to \infty} S_{k} =0，其中S_{k}是新的k级分解子的平方倒数之和，S_{k}：= \sum_{n=1}^{2^{k-1}} 1/（d_k^{（2n）}）^2。我们的结果使用的范围Farey分数区间的“父母”的间隔在较低的水平。
英文摘要：
The modified Farey sequence consists, at each level k, of rational fractions r_k^{(n)}, with n=1, 2, ...,2^k+1. We consider I_k^{(e)}, the total length of (one set of) alternate intervals between Farey fractions that are new (i.e., appear for the first time) at level k, I^{(e)}_k := \sum_{i=1}^{2^{k-2}} (r_k^{(4i)}- r_k^{(4i-2)}) . We prove that \liminf_{k\to \infty} I_k^{(e)}=0, and conjecture that in fact \lim_{k \to \infty}I_k^{(e)}=0. This simple geometrical property of the Farey fractions turns out to be surprisingly subtle, with no apparent simple interpretation. The conjecture is equivalent to $ lim_{k \to \infty}S_{k}=0, where S_{k} is the sum over the inverse squares of the new denominators at level k, S_{k}:=\sum_{n=1}^{2^{k-1}} 1/ (d_k^{(2n)} )^2. Our result makes use of bounds for Farey fraction intervals in terms of their "parent" intervals at lower levels.
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