与Farey分数相关的转移算子的谱分析

关于实温Farey映射转移算子的前导eigenvalue

On the leading eigenvalue of transfer operators of the Farey map with real temperature

研究了一类与Farey映射相关的广义迁移算子的谱性质。我们证明了当作用在一个合适的全纯函数空间上时，算子是自伴的，并且正的优势特征值可以用算子的矩阵表达式来逼近。

On the generalised transfer operators of the Farey map with complex temperature

We consider the problem of showing that 1 is an eigenvalue for a family of generalised transfer operators of the Farey map. This problem is related to the spectral theory of the modular surface via the Selberg Zeta function and the theory of dynamical zeta functions of maps. After briefly recalling these connections, we show that the problem can be formulated for operators on an appropriate Hilbert space and translated into a linear algebra problem for infinite matrices.

广义Farey树、转移算子和相变

Generalized Farey trees, transfer Operators and phase transitions

考虑单位区间上一类Markov映射，它插值于Tent映射和Farey映射之间。后一个地图不是均匀扩展的。每个映射由两个分式线性变换组成，该家族推广了许多特殊的性质，对于Farey映射的情况，这些性质在数论中已经被成功利用。我们通过广义转移算子的谱分析来分析动力学。应用热力学形式主义的家庭揭示了第一和第二阶相变和不寻常的性质，如积极的相互作用函数。

无穷水平极限下Farey分数的区间

Intervals Between Farey Fractions in the Limit of Infinite Level

修正的Farey序列在每一层k由有理分式r_k^{（n）}组成，其中n=1，2，.，2^k+1。我们考虑I_k^{（e）}，新的Farey分数之间的（一组）交替间隔的总长度（即，第一次出现），I^{（e）}_k：= \sum_{i=1}^{2^{k-2}}（r_k^{（4 i）}- r_k^{（4 i-2）}）。我们证明了\liminf_{k\to \infty} I_k^{（e）}=0，并猜想实际上\lim_{k \to \infty} I_k^{（e）}=0。法里分数的这个简单几何性质被证明是令人惊讶的微妙，没有明显的简单解释。这个猜想等价于$ lim_{k \to \infty} S_{k} =0，其中S_{k}是新的k级分解子的平方倒数之和，S_{k}：= \sum_{n=1}^{2^{k-1}} 1/（d_k^{（2n）}）^2。我们的结果使用的范围Farey分数区间的“父母”的间隔在较低的水平。

通过Farey映射求解二元Ruelle和Selberg zeta函数的热力学方法

A thermodynamic approach to two-variable Ruelle and Selberg zeta functions via the Farey map

本文考虑了与连分数变换和全模曲面上的测地流有关的Ruelle和Selberg zeta函数的转移算子方法。我们将Ruelle和Mayer的结果推广到二元zeta函数$ζ(q,z)$和$Z(q,z)$。$q$变量起反温度的作用，并且“几何变量”$z$的引入在尝试中是必不可少的，以提供基于Farey映射的一般方法，以对应zeta函数本身的分析性质，一类广义转移算子的谱性质和三阶广义转移算子的理论，Lewis和Zagier研究的项函数方程。在这个方向上的第一步是一个家庭的有符号的传输运营商$\PP^{\pm}_{q}$相关的Farey地图的频谱特性的详细研究。

Farey分数自旋链的集团近似

Cluster Approximation for the Farey Fraction Spin Chain

我们考虑外场$h$中的Farey分数自旋链。利用动力学系统的思想，模型的自由能是通过一个有效的集群能量近似。这种近似对于不同的团簇尺寸是有效的，因此适合于磁化转变的讨论。我们计算了相边界和自由能的标度。在$h=0$，我们重现严格已知的渐近温度依赖性的自由能。对于$h \ne 0$，我们的结果与以前用平均场论和重整化群参数得到的结果基本一致。