Fundamental solution of the Laplacian in the hyperboloid model of hyperbolic geometry
由于$d$维双曲空间的各向同性，人们期望其对应的Laplace-Beltrami算子存在球对称基本解.具有$R>0$的双曲几何$\Hi_R^d$的$R$ -半径双曲面模型表示具有负常截面曲率的黎曼流形。我们得到了拉普拉斯方程在该流形上关于测地半径的球对称基本解。我们给出了这个基本解的几个匹配表达式，包括双曲正弦倒数幂上的定积分，双曲函数，高斯超几何函数上的有限求和表达式，以及根据$d/2-1$给出的阶和次数大于1的第二类Legendre函数。我们还证明了拉普拉斯方程的基本解在这个流形上的消失衰减在无穷远的唯一性。
2012-01-20 math-ph math.MP
Hardy-Lieb-Thirring inequalities for fractional Schroedinger operators
我们证明了当Laplace算子中减去临界Hardy权$C|x|^{-2}$时，类Schroedinger算子的负特征值矩的Lieb-Thirring不等式仍然成立，但常数可能不同.我们这样做，首先建立一个Sobolev不等式这样的运营商。类似的结果是真实的分数幂的拉普拉斯算子和哈迪重量，特别是相对论性薛定谔算子。我们还允许列入磁矢量的潜力。作为应用，我们扩展，第一次，证明稳定性的相对论性物质与磁场的所有方式的核电荷的临界值$Zα=2/π$。
2006-10-27 math-ph math.MP math.SP
A second eigenvalue bound for the Dirichlet Schroedinger operator
设$λ_i(Ω,V)$是有界区域$Ω\subset \R^n$上具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子的$i$阶本征值，其位势为正的$V$ .遵循Payne-Pólya-Weinberger猜想的精神，在球重排势$V_\star$的一些凸性假设下，我们证明了$λ_2(Ω,V) \le λ_2(S_1,V_\star)$ .这里$S_1$表示以原点为中心的球，它满足条件$λ_1(Ω,V) = λ_1(S_1,V_\star)$。进一步证明了在球对称势$V$的相同凸性假设下，当球$B_R$的半径$R$增大时，$λ_2(B_R, V) / λ_1(B_R, V)$减小.我们的结论与几个结果的拉普拉斯算子的前两个特征值相对于高斯或倒高斯密度的措施。
2005-11-09 math-ph math.MP
Invariants of hyperbolic Partial Differential Operators
我们提出了一个相当一般的形式和任意阶的线性双曲型偏微分算子的拉普拉斯不变量的一大类建设。
2016-01-26 math-ph math.MP
Darboux formulae for linear hyperbolic equations in discrete case
本文针对具有有限拉普拉斯级数的离散和半离散双曲算子，证明了达布公式的离散类似物，为Q-网理论提供了新的数学工具。
2025-06-23 math-ph math.MP nlin.SI
Fourier and Gegenbauer expansions for a fundamental solution of the Laplacian in the hyperboloid model of hyperbolic geometry
由于是各向同性的$d$维双曲空间，所以相应的Laplace-Beltrami算子存在球对称基本解.在$d$维双曲几何的$R$ -半径双曲面模型上，用$R>0$和$d\ge 2$计算了拉普拉斯方程基本解的方位傅里叶展开式.对于$d\ge 2$，我们计算了拉普拉斯方程在负常截面曲率黎曼流形上的基本解在测地极坐标中的盖根堡多项式展开式。在三维空间中，通过与相应的盖根堡展开式的比较，得到了拉普拉斯方程基本解的方位傅里叶系数的加法定理。
2012-01-20 math-ph math.AP math.DG
Spectral Theory of Partial Differential Equations - Lecture Notes
本迷你课程共20堂课，主要针对自伴偏微分算子的频谱理论，并特别强调离散谱的问题。第一部分：离散谱（ODE预览，拉普拉斯-可计算谱，薛定谔-可计算谱，通过半双线性型形式的离散谱定理，拉普拉斯本征函数，自然边界条件，磁拉普拉斯，薛定谔在封闭井，变分表征，本征值的单调性，外尔渐近，波利亚猜想，反应扩散稳定性，流体薄膜稳定性）第二部分：连续谱（全空间上的拉普拉斯算子，具有$-2sech^2$势的薛定谔，自伴算子，谱：离散和连续，重新审视离散谱）
2012-03-11 math-ph math.AP math.MP
Spectral curves and the Schroedinger equations for the Eynard-Orantin recursion
预言了B-模型拓扑弦论的配分函数的主特化满足Schroedinger方程，当代数K-理论障碍消失时，Schroedinger算子的特征簇给出了B-模型理论的谱曲线。在本文中，我们提出了两个具体的数学A模型的例子，其镜像对偶合作伙伴表现出这些预测功能的B模型侧。我们讨论的A-模型的例子是任意亏格的广义Catalan数和单个Hurwitz数。在每一种情况下，我们表明，拉普拉斯变换的计数函数满足Eynard-Orantin拓扑递归，B-模型配分函数满足KP方程，和主专门化的配分函数满足薛定谔方程的总符号正是拉格朗日浸入的Eynard-Orantin理论的谱曲线。
2012-11-28 hep-th math-ph math.MP
Resolvent expansions of 3D magnetic Schroedinger operators and Pauli operators
本文研究三维磁 Schrödinger 与 Pauli 算子在本质谱阈值处的预解式渐近展开，通过在辅助空间中因子分解一阶相对扰动，显式求得首项和次首项。
2024-01-25 math-ph math.MP math.SP
Hyperbolic Formulas in Elliptic Cauchy Problems
本文研究了圆柱形区域上Laplace方程的Cauchy问题，其边界的一部分是圆柱的横截面。在将问题化为复域中波动方程的柯西问题后，利用双曲理论，我们得到了解的显式公式，从而发展了Hans Lewy（1927）的经典方法。
2010-03-18 math-ph math.MP
Heat kernels of metric trees and applications
我们考虑度量树上Laplace算子生成的热半群。在我们的结果中，我们展示了相关的热核的行为如何依赖于树的几何形状。作为应用，我们建立了度量树上Schroedinger算子的新的特征值估计。
2011-08-31 math-ph math.MP math.SP
q-deformed harmonic and Clifford analysis and the q-Hermite and Laguerre polynomials
受一维q-导数的启发，我们定义了Dirac算子的q-变形。这意味着偏导数的q变形。通过取这个狄拉克算子的平方，我们发现拉普拉斯算子的q变形。这允许在更高的维度上构造q变形的薛定谔方程。这些薛定谔方程的等价性与那些定义在量子变量的q-欧几里德空间。我们还定义了m维q-Clifford-Hermite多项式，并证明了它们与q-Laguerre多项式的关系。这些多项式关于m维q-积分是正交的，这与q-欧几里得空间上的积分有关。q拉盖尔多项式是su_q（1）的特征向量|（1）代表性。
2010-02-26 math-ph math.MP
Homoclinic Tubes in Discrete Nonlinear Schroedinger Equation Under Hamiltonian Perturbations
本文研究了离散立方非线性薛定谔晶格在哈密顿扰动下的性质。首先，我们发展了一个完整的等谱理论的双曲结构的晶格无微扰。特别地，利用Backlund-Darboux变换来生成异宿轨道和Melnikov向量。然后给出了扰动格点的持久不变流形和Fenichel纤维的坐标表达式。最后，基于上述机制，通过Melnikov型计算和隐函数论证，证明了余维2横截同宿管的存在性.我们还讨论了符号动力学的不变管，其中每一个由一个双无穷序列的曲线段时，晶格是四维的。研究了横截同宿管的渐近流形内部的结构，研究了四维格点的特殊轨道，特别是同宿轨道和异宿轨道。
2003-02-17 math-ph math.AP math.DS
Spectral Bounds on Hyperbolic 3-Manifolds: Associativity and the Trace Formula
该研究利用基于共形自举结合性条件与Selberg迹公式的两类谱恒等式，结合线性规划推导三维闭双曲流形与轨形上拉普拉斯算子低能谱的严格上界，得到通用谱隙界并验证界的紧性。
2023-08-22 hep-th math-ph math.GT
The Selberg trace formula for Dirac operators
我们研究紧双曲曲面上Dirac算子的谱。特别注意对称性的考虑，导致非平凡的多重特征值。还利用了Maass-Laplace算子的谱。我们的主要结果是双曲曲面上Dirac算子的Selberg迹公式。
2006-07-07 math-ph math.MP
On the intertwining map between Coulomb and hyperbolic scattering
Northwestern University（西北大学）
本文提出一个将库仑散射与双曲散射间本征函数空间联系起来的单位元算子，推广了福克变换到连续谱，并解释了两种设置中散射矩阵相同的原因。
2024-08-29 math-ph math.AP math.CA
Counting Resonances on Hyperbolic Surfaces with Unitary Twists
给出了双曲曲面$Γ\setminus\mathbb{H}$的Laplace算子和基本群$Γ$的酉表示，将有限面积双曲曲面的定义推广到无限面积双曲曲面.我们表明，该算子的预解式承认一个亚纯延续所有的$\mathbb{C}$通过构建一个参数的拉普拉斯算子，以下的方法Guillopé和Zworski。我们使用的建设提供了一个最佳的上限连续预解式的极点的计数函数。
2021-09-27 math-ph math.AP math.MP
Well-posedness and exponential stability for Boussinesq systems on real hyperbolic Manifolds and application
该研究在实双曲流形框架下，利用向量矩阵半群估计、不动点论证与Gronwall不等式，证明了Boussinesq系统温和解的存在唯一性与指数稳定性，并将其应用于周期温和解的存在性分析。
2025-09-04 math-ph math.AP math.DS
Quantum decay rates in chaotic scattering
在这篇文章中，我们证明了一个大类的运营商，包括Schroedinger运营商，与双曲经典流，小尺寸的陷阱集意味着有一个间隙之间的共振和实轴。换句话说，如果经典排斥子是足够有弹性的，那么量子衰变率从下面是有界的。用拓扑压的形式给出了高维的描述。在相同的假设下，我们还证明了一个解决估计与非陷阱估计相比，对数损失。
2007-08-13 math-ph math.MP math.SP
Supersymmetric Hyperbolic $σ$-models and Decay of Correlations in Two Dimensions
本文研究了一类非线性$σ$ -模型，其中目标空间是超流形$H^{2|2N}$。这些模型推广了Zirnbauer的$H^{2|2}$非线性$σ$模型，该模型具有许多特殊的功能，我们发现在一般情况下类似。例如，通过超对称局域化，$H^{2|2}$模型的配分函数是与耦合常数无关的常数。在这里，我们表明，对于$H^{2|2N}$模型，配分函数是一个多元多项式的次数$N-1$，增加每个变量。我们使用这些事实提供估计的傅立叶变换和拉普拉斯变换的“$t$ -字段”时，这些模型是专门的$\mathbb{Z}^2$。从边界，我们得出结论的$t$ -场具有多项式衰减的相关性和波动，这至少是一个无质量的自由场。
2020-07-26 math-ph math.MP math.PR
Stationary Spacetimes and Self-Adjointness in Klein-Gordon Theory
我们考虑的问题的本质自伴的空间部分的Klein-Gordon算子在平稳时空。该算子被证明是一个拉普拉斯-贝尔特拉米型算子加上一个潜在的。在整体双曲时空中，本质自伴性被证明，假设度量分量的光滑性和势的半有界性。这将最近的静态时空的结果推广到了定常情形。此外，我们推广到某些非整体双曲时空的结果。
2019-10-11 gr-qc math-ph math.FA
Scattering theory for Riemannian Laplacians
本文引入了Laplace-Beltrami算子在非紧连通完备黎曼流形上的散射理论的概念。利用无穷远处角子流形的第二基本形式的某个正下界给出了一个主要条件。另一个条件是导数的某些界限，直到这个量的迹的阶之一。这些条件被证明是最佳的存在性和完整性的波算子。我们的理论不涉及规定的渐近行为的度量在无穷远（如渐近欧几里德或双曲度量研究以前在文献中）。该理论的一个结果是Laplace-Beltrami算子的谱理论，包括连续谱的识别和奇异连续谱的缺乏。
2011-09-09 math-ph math.DG math.MP
Scattering Theory with Unitary Twists
研究了在基本群的酉表示存在的情况下，与双曲曲面相关联的Laplace算子的谱性质。根据Guillopé和Zworski的方法，我们建立了扭曲散射行列式的因式分解公式，并描述了散射矩阵在$1/2$邻域内的行为.
2022-02-22 math-ph math.AP math.MP
Inverse problems in spectral geometry
在这篇综述中，我们回顾了以下几类问题的正逆谱和逆共振结果：有界域上的拉普拉斯算子，紧流形上的Laplace-Beltrami算子，薛定谔算子，外部域上的拉普拉斯算子，以及无穷远附近双曲流形上的拉普拉斯算子。
2012-06-04 math-ph math.AP math.MP
Inverse localization and global approximation for some Schrödinger operators on hyperbolic spaces
考虑$d$维常曲率双曲空间$-κ^2$上的某些薛定谔算子的高能本征函数是否足够灵活，以在由本征值$λ\gg 1$确定的自然长度尺度$O(λ^{-1/2})$上，逼近$\mathbf{R}^d$上的Helmholtz方程$Δh+h=0$的任意解.这个问题的动机是这样一个事实，即通过局部外尔定律的渐近性，近似拉普拉斯本征函数在任何紧致黎曼流形上都具有这种近似性质。本文主要研究双曲空间$\mathbf{H}^d(κ)$上的库仑和谐振子算子。由于这些算子的束缚态空间的维数随着$κ$趋于0而趋于无穷大，人们可以希望通过一些先验不固定的$κ> 0$的本征函数来近似亥姆霍兹方程的解。我们的主要结果表明，在适当的假设下，情况确实如此。我们还证明了Helmholtz方程在紧致集外等距于双曲空间的流形上的一个带衰减的整体逼近定理，并考虑了它在$\mathbf{H}^d(κ)$热方程研究中的应用.虽然整体逼近和逆逼近的结果在理论上是相关的，因为这两个定理都探索了双曲空间上椭圆方程解的柔性性质，但我们将看到，这些定理背后的基本思想是非常不同的。
2022-02-04 math-ph math.AP math.MP
