A new use of nonlocal symmetries for computing Liouvillian first integrals of rational second order ordinary differential equations
Universidade do Estado do Rio de Janeiro（里约热内卢州立大学）
本文提出一种基于非局部对称性的高效方法，用于计算有理二阶常微分方程的李维利安首积分。
2025-12-10 math-ph math.MP nlin.CD
Liouvillian Solutions of Schrödinger Equation with Polynomial Potentials using Gröbner Basis
利用微分Galois理论和Gröbner基给出了一种新的方法来获得具有拟可解多项式位势的一维定常薛定谔方程的Liouville解.我们通过计算4，6，8，10，12，14次多项式势来说明这些结果。此外，我们展示了在\textbf{Mathematica}的十倍电位的实现。
2019-05-12 math-ph math.MP
An Efficient Method for Computing Liouvillian First Integrals of Planar Polynomial Vector Fields
本文提出了一种计算平面上多项式向量场达布多项式的有效方法。这种方法是restricetd多项式向量场提出了一个Liouvillian第一积分（或等价地，有理一阶微分方程（有理1ODE）提出了一个Liouvillian一般解决方案）。获得这种方法的关键是将求解（非线性）代数系统的过程从将达布多项式存在的条件转化为可行的steos（需要较少内存消耗的过程）的方程中分离出来。我们还提出了一个简短的性能分析的算法开发。
2020-04-20 cs.SC math-ph math.MP
On the Liouvillian solutions to the perturbation equations of the Schwarzschild black hole
我们使用Kovacic算法来获得所有Liouvillian解，即，基本上所有的解决方案，在quadratures方面，主方程的演变，一阶扰动的史瓦西几何。我们证明了这个方程的所有求积解都包含一个相关常微分方程（ODE）的多项式解。这个常微分方程，除了一些微不足道的情况下，属于合流Heun类。在引力摄动的情况下，对于Liouvillian解$χ\int \frac {{\rm d}r_{\!\ast}}{χ^{2}}$，我们发现在“封闭形式”的多项式解P相关联的合流Heun常微分方程。我们证明了Liouvillian解决方案$χ\int \frac {{\rm d}r_{\!\ast}}{χ^{2}}$是一个产品的初等函数，其中之一是多项式P。我们推广以前的结果由Hautot和使用扩展的结果，我们得出，以证明P承认有限扩展截断合流超几何函数的第一类。我们还证明，通过使用我们得到的扩展结果，P也承认一个有限的扩展相关的拉盖尔多项式。我们证明，除了两个未解决的情况下，Liouvillian解决方案$χ$和$χ\int \frac {{\rm d}r_{\!\ast}}{χ^{2}}$，最初发现的Eschrasekhar，是唯一的Liouvillian解决方案的主方程。我们改进了文献中关于这个问题的结果，并将我们的结果与他们的结果进行了比较。对于任意有理函数系数的二阶常微分方程，本文给出了…
2017-10-21 math-ph math.MP
Differential equations of order 1 in fields of zero characteristic
本文从广义Puixix级数的一个特殊领域出发，研究了该领域中的一类非线性微分方程。看来，微分方程的主要部分决定了可解性和共振的位置，即溶液中自由常数的出现。其次，对形式为$Q(y)\dot y=P(y)$，$P,Q$多项式的微分域中的任何奇异微分方程。最大的Picard-Vessiot扩张存在。它表明，所产生的一组解决方案是由代数方程标记的常数。给出了PV延拓是Liouvillian延拓的充分条件。
2002-09-26 math-ph math.CA math.MP
Solving first order differential equations presenting elementary functions
本研究通过建立含初等函数的一阶微分方程与带刘维尔首次积分的有理二阶常微分方程的关联，拓展S函数方法相关成果，提出可高效处理混沌系统、确定可积区域的一阶微分方程积分方法。
2023-08-23 math-ph math.CA math.MP
Integrability of the one dimensional Schroedinger equation
本文给出了一维Schroedinger方程的可积性定义，它包含了所有已知的可积系统，即谱可以显式计算的系统。为此，我们引入一类刚性函数，建立Liouvillian函数，但包含所有解决方案的刚性微分算子的意义上的卡茨，和一个概念的自然边界条件。然后，我们对有理可积势进行了完整的分类。许多新的可积的情况下发现，其中一些物理上有趣的。
2016-09-14 math-ph math.MP
On singular Frobenius for linear differential equations of second and third order, part 1: ordinary differential equations
本文从寻找形式解和研究其收敛性的观点出发，研究了二阶和三阶解析系数线性微分方程。本文讨论了二阶Frobenius方法的一些未涉及的问题，如形式解的收敛性和Liouvillian解的存在性。正则奇点的一个特征给出的空间的解决方案。得到了此类线性齐次常微分方程的解析分类。这是通过将这样的常微分方程与一个里卡蒂微分方程相关联，从而与一个全局和乐群相关联来实现的。这个群是一个可计算的Moebius映射群。这些技术适用于经典方程，如贝塞尔方程和勒让德方程。在本文的第二部分，我们研究了三阶方程。我们证明了一个类似于经典Frobenius定理的定理，该定理描述了这类常微分方程的所有可能情形和解。一旦配备了这一点，我们通过调查的存在性的解决方案，在非齐次的情况下，也存在的收敛定理，在同一行所做的二阶以上。我们的结果是具体的和（计算）建设性的，旨在阐明在这个重要的，有用的和有吸引力的科学领域的新的光。
2019-06-10 math-ph math.CA math.CV
A New S-Function Method searching for First Order Differential Integrals: Faster, Broader, Better
本研究针对二阶有理常微分方程的刘维尔型首次积分搜索问题，提出改进的S函数方法，通过利用S函数直接求共有积分因子且无需求解一阶方程，实现线性计算，显著提升了效率。
2023-06-11 math-ph math.MP nlin.SI
Differential system related to Krawtchouk polynomials: iterated regularisation and Painlevé equation
Institute of Mathematics, University of Warsaw（华沙大学数学研究所）
研究通过迭代正则化将广义Krawtchouk多项式相关微分系统与Painlevé V方程联系起来，并探讨正则化如何产生多项式系统及birational变换的分解。
2026-03-28 math-ph math.CA math.MP
de Sitter spacetime: effects of metric perturbations on geodesic motion
利用Regge-Wheeler形式研究了de Sitter时空的引力扰动。的扰动方程组减少到一个单一的二阶微分方程的Heun型的电和磁多极。这样得到的解决方案是用来研究偏离最初的径向测地线由于扰动。分析了扰动度规的谱性质。最后，规范和四元不变的一阶无质量扰动的任何自旋的Teukolsky的方法进行了探讨。讨论了Teukolsky主方程径向部分的封闭形式即Liouvillian解的存在性。
2011-03-16 gr-qc math-ph math.MP
Solutions for the General, Confluent and Biconfluent Heun equations and their connection with Abel equations
在最近的一篇论文中，一个新的多参数类阿贝尔微分方程，所谓的AIR，其所有成员都可以映射到Riccati方程，被证明是与超几何2F 1，1F 1和0 F1函数的微分方程的标准型。本文给出了AIR标准形与Heun广义（GHE）、合流（CHE）和双合流（BHE）方程之间的联系。这种连接固定的Heun参数之一的值，表示另一个在那些剩余的条款，并提供封闭形式的解决方案，在pFq功能的GHE，CHE和BHE，分别取决于四个，三个和两个不可约的参数。这种联系也变得明显的Heun参数之间的关系，使解决方案承认Liouvillian形式，并建议通过规范形式的一个非线性方程的一个机制，与N和N-1奇点的线性方程少。
2004-07-25 math-ph math.MP
Solving Partial Differential Equations in Different Domains by Operator Learning method Based on Boundary Integral Equations
School of Computer Science and Engineering, Sun Yat-sen University（中山大学计算机科学与工程学院）；Guangdong Province Key Laboratory of Computational Science（广东省计算科学重点实验室）
提出基于边界积分方程的BI-DeepONet和BI-TDONet两种算子学习模型，无需重新训练即可预测任意域上的偏微分方程解，并通过SVD和三角系数显著提升了性能。
2024-06-04 cs.LG math-ph math.MP
