Almost resolvable $k$-cycle systems with $k\equiv 2\pmod 4$
本文证明了：若$k\geq 6$和$k \equiv 2 \pmod 4$，则对除可能的$t=2$和$k\geq 14$以外的所有$t\ge 1$，存在一个几乎可分解的$k$ -循环系统，其阶为$2kt+1$.因此，我们给出了一个部分的解决方案，提出了一个开放的问题，林德纳，梅斯卡，和罗莎（J. Combin。说明：第17卷，第404 -410页，2009）。
2018-04-27 math.CO
Balanced Weighing Matrices
本文给出了构造加权矩阵和某些对称设计的统一方法。假设加权矩阵$W(n,p)$中的权重$p$是素数幂，则表明对于每个正整数$m$都存在一个$$W\left(\frac{p^{m+1}-1}{p-1}(n-1)+1,p^{m+1}\right)$$。$n=p+1$的情形归结为具有经典参数的平衡权矩阵$$W\left(\frac{p^{m+2}-1}{p-1},p^{m+1}\right).$$。详细讨论了它与某些结合方案的等价性。
2021-09-30 math.CO
Nonexistence of Whirling-Knight Tours at Half Coil Count for $n \equiv 4, 6 \pmod 8$
USTC（中国科学技术大学）
研究证明当n≡4或6mod8时，不存在半圈数的回旋骑士巡游，为Beluhov的猜想提供了解答，并为每个余数类提供了闭式Farkas证明。
2026-05-11 math.CO
Rectangular Heffter arrays: a reduction theorem
令$m,n,s,k$为四个整数，使得$3\leq s \leq n$、$3\leq k\leq m$和$ms=nk$。设置$d=\gcd(s,k)$。在本文中，我们展示了如何可以构建一个Heffter阵列$H(m,n;s,k)$从正方形Heffter阵列$H(nk/d;d)$的元素属于$d$连续对角线。作为应用该方法的一个例子，我们证明了在下列每一种情况下都存在整数$H(m,n;s,k)$：$(i)$ $d\equiv 0 \pmod 4$ ; $(ii)$ $5\leq d\equiv 1 \pmod 4$ and $n k\equiv 3\pmod 4$ ; $(iii)$ $d\equiv 2 \pmod 4$ and $nk\equiv 0 \pmod 4$ ; $(iv)$ $d\equiv 3 \pmod 4$ and $n k\equiv 0,3\pmod 4$ .同样的方法也可以应用于带符号的魔术阵列$SMA(m,n;s,k)$和魔术矩形$MR(m,n;s,k)$。事实上，我们证明了当$d\geq 2$时存在$SMA(m,n;s,k)$，当$d\geq 2$是偶数或$d\geq 3$和$nk$是奇数时存在$MR(m,n;s,k)$。给出了$k$为奇数和$s\equiv 0 \pmod 4$为奇数时整数Heffter数组和带符号幻数数组的构造方法.
2021-09-09 math.CO
A class of cyclic $(v;k_1,k_2,k_3;λ)$ difference families with $v \equiv 3 \pmod{4}$ a prime
我们构造了几个循环的$(v;k_1,k_2,k_3;λ)$差族，其中$v\equiv3 \pmod{4}$是素数，$λ=k_1+k_2+k_3-(3v-1)/4$是循环的.这些族可以与著名的Paley-Todd差集结合使用来构造$4v$阶的斜Hadamard矩阵。我们的主要结果是首次构造了$4\cdot239=956$阶和$4\cdot331=1324$阶的斜Hadamard矩阵的例子。
2016-07-24 math.CO
The Classification of Circulant Weighing Matrices of Weight 16 and Odd Order
本文对奇数阶16重循环加权矩阵进行了完全分类。结果证明，该顺序必须是21或31的奇数倍。在等价条件下，CW（31，16）中有两个不同的矩阵，一个矩阵在CW（21，16）中，另一个矩阵在CW（63，16）中（不能从CW（21，16）通过克罗内克积得到）。分类使用乘数存在定理。
1999-10-29 math.CO
Optimal $2$-D $(n\times m,3,2,1)$-optical orthogonal codes and related equi-difference conflict avoiding codes
本文主要研究利用$m\equiv 0\ ({\rm mod}\ 4)$构造最优$2$ -D $(n\times m,3,2,1)$ -光正交码.这样的代码的大小上界的建立。它在很大程度上依赖于最优等差$1$ -D $(m,3,2,1)$ -光正交码的码长，这与具有加权$3$的最优等差冲突避免码密切相关。对于$n=1,2$、$m\equiv 0 \pmod{4}$和$n\equiv 0 \pmod{3}$、$m\equiv 8 \pmod{16}$或$m\equiv 32 \pmod{64}$或$m\equiv 4,20 \pmod{48}$，确定最佳$2$-D $(n\times m,3,2,1)$ -光正交码的码字的确切数目.
2018-04-12 math.CO
Magic rectangles, signed magic arrays and integer $λ$-fold relative Heffter arrays
令$m,n,s,k$为整数，使得$4\leq s\leq n$、$4\leq k \leq m$和$ms=nk$。令$λ$是$2ms$的除数，令$t$是$\frac{2ms}λ$的除数。本文构造了幻矩形$MR(m,n;s,k)$、符号幻数组$SMA(m,n;s,k)$和整数$λ$ -倍相对Heffter数组${}^λH_t(m,n;s,k)$，其中$s,k$为偶数.特别是，我们证明了存在一个$SMA(m,n;s,k)$的所有$m,n,s,k$满足前面的假设。进一步证明了在下列情况下都存在一个$MR(m,n;s,k)$和一个整数${}^λH_t(m,n;s,k)$：$(i)$ $s,k \equiv 0 \pmod 4$ ; $(ii)$ $s\equiv 2\pmod 4$和$k\equiv 0 \pmod 4$ ; $(iii)$ $s\equiv 0\pmod 4$和$k\equiv 2 \pmod 4$ ; $(iv)$ $s,k\equiv 2 \pmod 4$和$m,n$都是偶数.
2020-10-22 math.CO
${\rm{TS}}(v,λ)$ with cyclic 2-intersecting Gray codes: $v\equiv 0$ or $4\pmod{12}$
${\rm{TS}}(v,λ)$是一对$(V,\mathcal{B})$，其中$V$包含$v$点，而$\mathcal{B}$包含$V$的$3$元素子集，因此$V$中的每一对都精确地出现在$λ$块中。${\rm{TS}}(v,λ)$的$2$ -块相交图（$2$-BIG）是这样的图，其中每个顶点由来自${\rm{TS}}(v,λ)$的块表示，并且如果$|B_i\cap B_j|=2$，则每对块$B_i,B_j\in \mathcal{B}$由边连接。利用Schreiber给出的${\rm{TS}}(v,λ)$的结构，我们证明了对于$v\equiv 0$或$4\pmod{12}$，存在一个$2$ -BIG为Hamilton的${\rm{TS}}(v,λ)$.
2019-01-08 math.CO
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
2014-08-07 math.CO math.NT
On the maximal size of $(a,b)$-town$\pmod k$ families
本文研究模k的(a,b)-town族的最大规模问题，给出k=3时特定参数下的紧界，还提出参数充分条件得到优于Ray-Chaudhuri--Wilson通用结果的界，且该界无穷多次出现。
2025-09-30 math.CO
An easy proof of Ramanujan's famous congruences $p(5m+4)\equiv 0 \equiv τ(5m+5) \pmod 5$
本文利用 Jacobi 三重积恒等式的极限情形和拉马努金计算 $τ(n)$ 的技巧，给出其两个模 5 同余式的简明证明。
2025-08-30 math.CO math.NT
Constructing, Classifying and Studying the Space of Small Integer Weighing Matrices
本文研究并分类了小尺寸n×n权为k的整数权矩阵空间，包括到Hadamard等价和自同构群的不等价矩阵列表，并应用于射影空间权矩阵，提供算法和Sagemath实现，解决了一些开放问题。
2026-03-18 math.CO
Balanced paring of $\{1,2,\ldots,(p-1)/2\}$ for $p\equiv 1 \pmod{4}$
让$p\equiv 1 \pmod{4}$是一个素数。写$t = \prod_{x=1}^{(p-1)/2}x$。由于$t ^2\equiv -1 \pmod{p}$，我们可以将$\{1,2,\ldots,(p-1)/2\}$划分为$(p-1)/4$有序对，使得每一对，比如$<a,\tilde{a}>$，满足$t a \equiv \pm \tilde{a} \pmod{p}.$对于任何两个这样的对，假设$a<\tilde{a}, b<\tilde{b}, a<b $，那么它们的相对顺序有三种可能：$a<\tilde{a} < b< \tilde{b}$，$a< b < \tilde{a} < \tilde{b}$，$a< b < \tilde{b}< \tilde{a}$。我们表明，这种配对是平衡的意义上说，这三种情况下发生的频率相等。利用这种对偶的性质，我们解决了孙志伟提出的一个与二次剩余有关的置换符号问题。
2020-08-24 math.CO math.NT
Non-existence of perfect binary sequences
具有较低自相关值的二进制序列在密码学和通信中有重要的应用。本文给出了具有二阶自相关值的二元周期序列的所有可能参数。对于$n \equiv 1\pmod 4$，我们证明了Schmidt猜想对于完美二元序列的几种情形.（Des.密码78（2016），237-267.）对于$n \equiv 2\pmod 4$，Jungnickel和Pott（离散应用数学95（1999）331-359.）留下了四个最佳二元序列作为公开问题，我们解决了其中的三个。对于$n \equiv 3\pmod 4$，我们证明了所有非平凡自相关值都等于3的二元序列的不存在性。对于$n \equiv 0\pmod 4$，我们证明了不存在所有非平凡自相关值都等于4的二元序列。
2018-04-11 math.CO
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 5
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。Hirschhorn和Sellers表明，$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$适用于$n\geq 0$。他们还证实了$n\geq 0$的$\overline{p}(40n+35)\equiv 0 \pmod{40}$。Chen和Xia利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p,k)$ -参数化证明了这个猜想.本文利用Treneer发现的$\overline{p}(5n)$模$5$的生成函数之间的关系和Mahlburg给出的$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$-adic展开式，证明了$n \geq 0$的$\overline{p}(5n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4\cdot 5n) \pmod{5}$和$n \geq 0$的$\overline{p}(n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4n)\pmod{8}$.因此，我们推断，PDMATHAMBMZ的$\overline{p}(4^k(40n+35))\equiv 0 \pmod{40}$。利用$ϕ(q)^3$上的Hecke算子和$ϕ(q)^3$是Hecke本征形的事实，我们得到了一个无穷族的正整数$\overline{p}(4^k \cdot5…
2014-06-15 math.CO math.NT
The Smith normal form of the walk matrix of the Dynkin graph $D_n$ for $n\equiv 0\pmod{4}$
本文针对 $n\equiv 0\pmod{4}$ 的 Dynkin 图 $D_n$，确定其游走矩阵 $W(D_n)$ 的 Smith 标准型，并据此肯定回答已有文献提出的问题。
2022-12-11 math.CO
Steiner triple systems with high chromatic index
证明了每一个$v \neq 7$阶Steiner三元系的色指数至多为$(v+3)/2$，当$v \equiv 3 \pmod{6}$时，至多为$(v+5)/2$，当$v \equiv 1 \pmod{6}$时.本文构造了一个色指数至少为$(v+3)/2$的$v$阶的Steiner三元系，对于每个整数$v \equiv 3 \pmod{6}$，使得$v \geq 15$，除了四个可能的例外.我们进一步证明了在$v$中所构造的系统中不相交的并行类的最大数目是次线性的。最后，我们建立了每个阶$v \equiv 15 \pmod{18}$，至少有$v^{v^2(1/6+o(1))}$非同构Steiner三元系的色指数至少$(v+3)/2$，这些系统中的一些是循环的。
2017-07-27 math.CO
Revisiting Cases 2 and 11 of the Map Color Theorem
San Francisco State University（旧金山州立大学）
本文旨在通过寻找具有更简单弧标记模式的当前图家族，简化环面地图着色定理中n≡2,11 mod12情况的构造。
2026-04-18 math.CO
On the existence of integer relative Heffter arrays
令$v=2ms+t$为正整数，其中$t$整除$2ms$，且令$J$为循环群$\mathbb{Z}_v$的阶$t$的子群。$\mathbb{Z}_v$上相对于$J$的整数Heffter阵列$H_t(m,n;s,k)$是$\mathbb{Z}_v$中具有元素的$m\times n$部分填充阵列，使得：（a）每行包含$s$填充的单元，并且每列包含$k$填充的单元;（b）对于每个$x\in \mathbb{Z}_v \setminus J$，$x$或$-x$出现在阵列中;（c）每行和每列中的元素，在$\pm\left\{ 1, \ldots, \left\lfloor \frac{v}{2}\right\rfloor \right\}$中被视为整数，在$\mathbb{Z}$中求和为$0$。本文研究了当$s$和$k$都是偶数时，整数$H_t(m,n;s,k)$的存在性，证明了以下结果。假设$4\leq s\leq n$和$4\leq k \leq m$使得$ms=nk$。设$t$是$2ms$的除数。(a)如果为$s,k \equiv 0 \pmod 4$，则存在整数$H_t(m,n;s,k)$。(b)如果$s\equiv 2\pmod 4$和$k\equiv 0 \pmod 4$，则存在整数$H_t(m,n;s,k)$当且仅当$m$是偶数。(c)如果$s\equiv 0\pmod 4$和$…
2020-03-19 math.CO
On sums involving products of three binomial coefficients
本文主要利用Zeilberger算法研究三个二项式系数乘积项和的同余关系。让$p>3$是一个素数。我们证明了对于所有具有$d\equiv (p+1)/2\pmod2$的$d\in\{0,\ldots,p-1\}$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+d}}{64^k}\equiv 0\pmod{p^2}$$.如果$p\equiv 1\pmod4$和$p=x^2+y^2$具有$x\equiv 1\pmod4$和$y\equiv 0\pmod2$，那么我们通过确定$x$ mod $p^2$通过$$(-1)^{(p-1)/4}\,x\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{k+1}{8^k}\binom{2k}k^2\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{2k+1}{(-16)^k}\binom{2k}k^2\pmod{p^2}.$$来显示$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}\equiv 2p-2x^2\pmod{p^2}\ \ \mbox{and}\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+1}^2}{(-8)^k}\equiv-2p\p…
2014-04-28 math.CO math.NT
An exact extremal result for tournaments and 4-uniform hypergraphs
在本文中，我们解决了Frankl和Füredi（1984）提出的下列问题。在一个$r$ -一致超图中，如果每个$n$顶点集都包含$0$或恰好包含$2$超边，那么最大超边数是多少？他们为$r=3$解决了这个问题。对于$r=4$，Gunderson和Semeraro（2017）给出了部分解，当$n=q+1$对于某个素数幂数$q\equiv3\pmod{4} $时。假设存在可被$4$整除的各阶斜对称会议矩阵，给出了$n\equiv0\pmod{4} $和$n\equiv3\pmod{4}$的解.
2018-02-21 math.CO
On sums of Apéry polynomials and related congruences
Apéry多项式由$$A_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2x^k\ \ (n=0,1,2,\ldots).$$给出（这些$A_n=A_n(1)$是Apéry数）。令$p$为奇素数。我们证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(x)\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^3}{16^k}x^k\pmod{p^2},$$和$$\sum_{k=0}^{p-1}A_k(x)\equiv\left(\frac xp\right)\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{k,k,k,k}}{(256x)^k}\pmod{p}$$对于任何$p$ -进整数$x\not\equiv 0\pmod p$ .这使我们能够明确地确定$\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kA_k$ mod $p$，以及在$p\equiv 2\pmod3$情况下的$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k$ mod $p^2$。另一个结果表明，$$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(-2)\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p=x^2+4y^2\ (x,y\in\mathbb Z),\\0\pmo…
2014-04-28 math.CO math.NT
Thin divisible designs graphs: an interplay between fixed-point free involutions of $(v,k,λ)$-graphs and symmetric weighing matrices
Hebei Normal University（河北师范大学）；Tilburg University（蒂尔堡大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）；China Three Gorges University（三峡大学）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）；Jiangxi Normal University（江西师范大学）
本文研究了薄可除设计图中加权矩阵、(v,k,λ)-图及符号图之间的相互作用，提出了两种新的递归构造方法用于正则对称Hadamard矩阵和强正则图，并发现了symplictic图中固定点自由置换的性质。
2025-12-18 math.CO
Improved upper bounds for partial spreads
$\operatorname{PG}(n-1,q)$中的部分$(k-1)$ -扩展是具有平凡交集的$(k-1)$维子空间的集合，即，每个点最多覆盖一次。到目前为止，对于病例$n\equiv 0\pmod k$、$n\equiv 1\pmod k$和$n\equiv 2\pmod k$，已知$\operatorname{PG}(n-1,q)$中部分$(k-1)$ -扩散的最大尺寸，以及$q=2$和$k=3$的额外要求。我们完全解决了二元情况$q=2$的情况$n\equiv 2\pmod k$。
2016-07-01 cs.DM math.CO
Globally Simple Heffter Arrays $H(n;k)$ with $k \equiv 1 \pmod{4}$
Koç University（科奇大学）
本文研究了当k≡1 mod4且n≡0,3 mod4时，构造全局简单整数Heffter数组H(n;k)的方法，并证明了其存在性，从而保证了完全图K_{2nk+1}的正交循环k-圈分解的存在。
2026-08-26 math.CO
An algorithm for constructing and classifying the space of small integer weighing matrices
本文提出一种在个人计算机上高效构造并分类小尺寸整数称重矩阵的算法，改进了整数平方和表示算法，并给出 $IW(7,25)$ 的完整分类，为寻找经典称重矩阵 $W(35,25)$ 提供基础。
2023-04-19 math.CO
Ramanujan-Type congruences for cubic partition functions
Chan和Kim提出的自然数$n$的三次分拆具有生成函数$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n= \frac{1}{(q; q)_{\infty}(q^2; q^2)_{\infty}}.$.本文推广了Chen-Lin的一些结果，指出$a(n)$应具有普通分拆函数的类似性质.具体地说，我们证明了对每个非负整数$n$，$a(5^4n+547)\equiv 0\pmod{5^2}, a(7^3n+190)\equiv 0\pmod{7^2}, a(7^3n+288 \equiv 0\pmod{7^2} and a(7^3n+337)\equiv 0\pmod{7^2}.$
2010-06-22 math.CO math.NT
Zero-sum flows for Steiner triple systems
给定$(v,k,λ)$设计，$\cal{S}=(X,\cal{B})$，$\cal{S}$的{ \it零和$n$ -流}是映射$f: \cal{B} \longrightarrow \{\pm 1, \ldots ,\pm (n-1)\}$，使得对于任何点$x\in X$，与$x$关联的所有块周围的$f$的和为零。证明了在$v$点$(v>7)$上的每一个Steiner三元系STS $(v)$都存在零和$3$ -流。我们表明，对于每一对$(v,λ)$，其中一个三元系统，TS $(v,λ)$存在，存在一个具有零和$3$ -流，除了当$(v,λ)\in\{(3,1), (4,2), (6,2), (7,1)\}$和除了可能当$v \equiv 10\pmod{12}$和$λ= 2$。给出了$n$上的$O(λ^2v^2)$界和一个递归结果，证明了每个具有零和$3$ -流的STS $(v)$都可以嵌入到具有零和$3$-流的STS $(2v+1)$中，如果$v\equiv 3 \pmod 4$，如果$v\equiv 3 \pmod 6$，则嵌入到具有零和$4$ -流的STS $(2v+1)$中，如果$v\equiv 1 \pmod 4$，则嵌入到具有零和$5$ -流的STS $(2v+1)$中.
2015-05-12 math.CO
Complex generalised weighing matrices in centraliser algebras of monomial representations
Dublin City University（都柏林城市大学）；Údarás na Gaeltachta（爱尔兰语区管理局）；University of Rijeka（里耶卡大学）
研究复广义加权矩阵\(CGW(n,w;k)\)，利用有限群单项式表示的中心化子代数，通过对舒尔覆盖线性特征的穷举搜索，对特定条件的此类矩阵分类，恢复相关无限族，构造量子纠错码并确定其最小距离。
2026-07-20 math.CO
Some q-analogues of (super)congruences of Beukers, Van Hamme and Rodriguez-Villegas
对任意奇素数p，我们得到了Van Hamme超同余的q-模拟：$$ \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{2k\choose k}^3\frac{1}{64^k} \equiv 0 \pmod{p^2} \quad\text{for}\quad p\equiv 3\pmod 4, $$和Rodriguez-Villegas的含三个二项式系数乘积的Beukers超同余.例如，我们证明了\begin{align*} \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}} {2k\brack k}_{q^2}^3 \frac{q^{2k}}{(-q^2;q^2)_k^2 (-q;q)_{2k}^2} &\equiv 0\pmod{[p]^2} \quad\text{for}\quad p\equiv 3\pmod 4, \\ \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{2k\brack k}_{q^3}\frac{(q;q^3)_k (q^{2};q^3)_{k} q^{3k} }{ (q^{6};q^{6})_k^2 } &\equiv 0 \pmod{[p]^2}\quad\text{for}\quad p\equiv 2\pmod{3}, \end{align*}，其中$[p]=1+q+\cdots+q^{p-1}$、$(a;q)_n=(1-a)(1-aq)…
2014-08-03 math.CO math.NT
Infinitely many cyclic solutions to the Hamilton-Waterloo problem with odd length cycles
证明了对于大于2的奇数对$(\ell,m)$与$m \equiv 1\; \pmod{\ell}$，存在$K_{\ell m}$的循环二因子分解，其$(m-1)/2$因子恰好为$\ell^m$型，而其它因子均为$m^{\ell}$型.当$\ell \equiv 1\; \pmod{4}$和$m \geq \ell^2 -\ell + 1$ .
2016-03-31 math.CO
On two conjectural supercongruences of Apagodu and Zeilberger
令数字$α_n,β_n$和$γ_n$分别表示\begin{align*} α_n=\sum_{k=0}^{n-1}{2k\choose k},\quad β_n=\sum_{k=0}^{n-1}{2k\choose k}\frac{1}{k+1}\quad\text{and}\quad γ_n=\sum_{k=0}^{n-1}{2k\choose k}\frac{3k+2}{k+1}, \end{align*}。证明了对任意素数$p\ge 5$和正整数$n$ \begin{align*} α_{np}&\equiv \left(\frac{p}{3}\right) α_n \pmod{p^2},\\ β_{np}&\equiv \begin{cases} \displaystyle β_n \pmod{p^2},\quad &\text{if $p\equiv 1\pmod{3}$},\\ -γ_n \pmod{p^2},\quad &\text{if $p\equiv 2\pmod{3}$}, \end{cases} \end{align*}，其中$\left(\frac{\cdot}{p}\right)$表示Legendre符号.这两个超同余最近由Apagodu和Zeilberger证明。
2016-10-02 math.CO math.NT
$\mathit{SB}(3,n)$ has no Hamiltonian cycle when $n$ is even: a sign-of-permutation proof, with extension to all odd $m\equiv 3\pmod 4$
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文通过排列符号障碍证明了当n为偶数时，$SB(3,n)$不存在哈密顿环，并扩展到所有m≡3 mod 4的情况，限制了Knuth提示中哈密顿环存在的残差类。
2026-05-10 math.CO
On large partial ovoids of symplectic and Hermitian polar spaces
本文给出了辛极空间${\cal W}(3, q)$，$q$奇方，$q \not\equiv 0 \pmod{3}$，${\cal W}(5, q)$和厄米特极空间${\cal H}(4, q^2)$，$q$偶或$q$奇方，$q \not\equiv 0 \pmod{3}$，${\cal H}(6, q^2)$，${\cal H}(8, q^2)$的最大部分卵形体大小的构造性下界.
2022-03-09 math.CO
A Class of Permutation Binomials over Finite Fields
设$q>2$是素数幂，$f={\tt x}^{q-2}+t{\tt x}^{q^2-q-1}$，其中$t\in\Bbb F_q^*$。最近证明了$f$是$\Bbb F_{q^2}$的置换多项式当且仅当下列之一成立：（i）$t=1$，$q\equiv 1\pmod 4$ ;（ii）$t=-3$，$q\equiv \pm1\pmod{12}$ ;（iii）$t=3$，$q\equiv -1\pmod 6$。我们在本文中证实了这一猜想。
2012-10-02 math.CO math.NT
Proof of some conjectural congruences involving Domb numbers
本文主要证明了Z. H. Sun \cite{SH2}：设$p>3$为素数。如果是$p\equiv1\pmod3$和$p=x^2+3y^2$，则有$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{4^k}\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{16^k}\equiv4x^2-2p-\frac{p^2}{4x^2}\pmod{p^3}, $$，如果是$p\equiv2\pmod3$，则有$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{4^k}\equiv-2\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{16^k}\equiv\frac{p^2}2\binom{\frac{p-1}2}{\frac{p-5}6}^{-2} \pmod{p^3}, $$，其中$D_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}k^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$代表第$n$个Domb数。
2021-12-10 math.CO math.NT
The existence of cyclic (v,4,1)-designs
尽管Peltesohn早在1939年就证明了循环（v，3，1）-设计存在的充要条件是$v\equiv 1,3\pmod{6}$，但确定k>3的循环（v，k，1）-设计的谱的问题远未解决，即使k=4。本文证明了循环（v，4，1）-设计存在的充要条件是$v\equiv 1,4\pmod{12}$和$v\not\in\{16,25,28\}$ .
2022-07-03 math.CO
Proof of a recent conjecture of Z.-W. Sun
多项式$d_n(x)$由\begin{align*} d_n(x) &= \sum_{k=0}^n{n\choose k}{x\choose k}2^k. \end{align*}定义我们证明了，对于任何素数$p$，下列同余保持模$p$：\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}\frac{2k\choose k}{4^k} d_k\left(-\frac{1}{4}\right)^2 &\equiv \begin{cases} 2(-1)^{\frac{p-1}{4}}x,&\text{if $p=x^2+y^2$ with $x\equiv 1\pmod{4}$,} 0,&\text{if $p\equiv 3\pmod{4}$,} \end{cases} [5pt] \sum_{k=0}^{p-1}\frac{2k\choose k}{4^k} d_k\left(-\frac{1}{6}\right)^2 &\equiv 0, \quad\text{if $p>3$,} [5pt] \sum_{k=0}^{p-1}\frac{2k\choose k}{4^k} d_k\left(\frac{1}{4}\right)^2 &\equiv \begin{cases} 0,&\text{if $p\equiv 1\pmod{4}$,} (-1)^{\frac{p…
2016-04-18 math.CO math.NT
Classification of Symmetric Hadamard Matrices Up to Order 32
Aalto University School of Electrical Engineering（阿尔托大学电气工程学院）
本文对阶数≤32的对称阿达马矩阵按阿达马等价分类，修正了阶数28分类的错误，用新算法完成分类与枚举，还扩展算法到称重矩阵并建立相关理论结果。
2026-09-10 math.CO
Congruences for Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{P_n\}$是由$P_0=1,\ P_1=8$和$n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$给出的Catalan-Larcombe-French数，并令$S_n=P_n/2^n$。本文给出了$S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$，$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$和$S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$的同余式，其中$p$是奇素数，$m,r$是正整数.我们还证明了对任何素数$p\equiv 5,7\pmod 8$，都有$S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并证明了$\{S_m\}$是对数凸的。
2015-07-14 math.CO math.NT
Supercongruences motivated by e
本文利用著名的事实$\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$建立了一些新的超同余。设$p>3$为素数。证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-1/(p+1)}k^{p+1}\equiv 0\ \pmod{p^5}\ \ \ \mbox{and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{1/(p-1)}k^{p-1}\equiv \frac{2}{3}p^4B_{p-3}\ \pmod{p^5},$$，其中$B_0,B_1,B_2,\ldots$是Bernoulli数.我们还表明，对于任何$a\in\mathbb Z$与$p\nmid a$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k\left(1+\frac ak\right)^k\equiv -1\pmod{p}\ \ \ \mbox{and}\ \ \ \sum_{k=1}^{p-1}\frac1{k^2}\left(1+\frac ak\right)^k\equiv 1+\frac 1{2a}\pmod{p}.$$
2015-02-26 math.CO math.NT
New constructions of Hadamard matrices
本文得到了若干新的Hadamard矩阵无限族。我们的结构是基于四个新的建设不同的家庭与四个或八个块。通过将Wallis-Whiteman阵列或Kharaghani阵列应用于所构造的差分族，我们得到了$u=2$和$v\in Φ_1\cup Φ_2 \cup Φ_3 \cup Φ_4$以及$u\in \{3,5\}$和$v\in Φ_1\cup Φ_2 \cup Φ_3$的新的$4(uv+1)$阶Hadamard矩阵.这里，$Φ_1=\{q^2:q\equiv 1\pmod{4}\mbox{ is a prime power}\}$、$Φ_2=\{n^4\in \mathbb{N}:n\equiv 1\pmod{2}\} \cup \{9n^4\in \mathbb{N}:n\equiv 1\pmod{2}\}$、$Φ_3=\{5\}$和$Φ_4=\{13,37\}$。此外，我们的建设也产生新的Hadamard矩阵的顺序$8(uv+1)$任何$u\in Φ_1\cup Φ_2$和$v\in Φ_1\cup Φ_2 \cup Φ_3$。
2019-07-12 math.CO
Partitions into a small number of part sizes
我们研究了$ν_k(n)$，$n$划分成$k$部件尺寸的数量，并发现了许多等差数列，其中$ν_2$和$ν_3$的值可被2和4整除。扩展早期的工作，我们显示$ν_2(An+B) \equiv 0 \pmod{4}$为（A，B）=（36，30），（72，42），（252，114），（196，70），以及可能的许多其他进展，我们的方法应该很容易推广。在一些独立的兴趣，我们证明了过分配函数$\bar{p}(n) \equiv 0 \pmod{16}$在前三个级数（第四个是已知的），从而显示$ν_3(An+B) \equiv 0 \pmod{2}$在这些级数以及，并讨论这些同余之间的关系在更一般性。最后，我们提出这方面的开放性问题。
2016-05-04 math.CO
Construction of Generalized Weighing-Hadamard Matrices over Finite Fields
Federal University of São João del-Rei（圣若昂-德尔雷伊联邦大学）；University of Alicante（阿利坎特大学）；Unesp（圣保罗州立大学）
研究有限域上广义加权哈达玛矩阵，探讨其存在性、性质与构造，证明可逆矩阵子集构成群，引入等价概念及证明商群是阿贝尔群，并讨论其在编码理论中的应用。
2026-07-16 cs.IT math.CO math.IT
Proof of a conjecture of Z.-W. Sun on the divisibility of a triple sum
定义数$R_n$和$W_n$为\begin{align*} R_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}\frac{1}{2k-1},\ \text{and}\ W_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}\frac{3}{2k-3}. \end{align*}，证明了对任意正整数$n$和奇素数$p$，存在\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)R_k^2 &\equiv 0 \pmod{n}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)R_k^2 &\equiv 4p(-1)^{\frac{p-1}{2}} -p^2 \pmod{p^3}, \\ 9\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)W_k^2 &\equiv 0 \pmod{n}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)W_k^2 &\equiv 12p(-1)^{\frac{p-1}{2}}-17p^2 \pmod{p^3}, \quad\text{if $p>3$.} \end{align*}。W.太阳我们的证明是基于多变量Zeilberger算法和以下观察：$$ {2n\choose n}{n\choose k}{m\choose k}{k\choose m-n}\…
2015-01-03 math.CO math.NT
Fibonacci numbers modulo cubes of primes
设$p$是一个奇素数。众所周知，$F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod{p}$，其中$\{F_n\}_{n\ge0}$是斐波那契序列，$(-)$是雅可比符号。在本文中，我们表明，如果$p\not=5$，那么我们可以确定$F_{p-(\frac p5)}$模$p^3$在以下方式：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{(-16)^k}\equiv\left(\frac{p}5\right)\left(1+\frac{F_{p-(\frac {p}5)}}2\right)\pmod{p^3}.$$我们还使用Lucas矩阵来确定$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}k/m^k$模$p^2$的任何整数$m\not\equiv0\pmod{p}$，特别是，我们得到$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{16^k}\equiv\left(\frac3{p}\right)\pmod{p^2}.$$此外，我们提出了三个进一步研究的结构。
2013-10-31 math.CO math.NT
A family of $m$-ovoids of parabolic quadrics
我们构造了一族$\frac{(q-1)}{2}$ -卵形体的$Q(4,q)$，即$\textup{PG}(4,q)$的抛物二次曲面，用于$q\equiv 3\pmod 4$。仅已知$q=3, 7,$或$11$存在$Q(4,q)$的$\frac{(q-1)}{2}$ -卵形体。我们的构造给出了第一个$\frac{(q-1)}{2}$-ovoid的$Q(4,q)$无限族，同时也给出了$q\equiv 1\pmod 4$的$\frac{q+1}{2}$ -ovoid在$Q(4,q)$中的构造.
2015-12-11 math.CO
New congruences for sums involving Apery numbers or central Delannoy numbers
Apéry数$A_n$和中心Delannoy数$D_n$由$$A_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}^2{2k\choose k}^2, \quad D_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}. $$定义。W. Sun，我们证明了下列同余：\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{2 r +1}A_k & \equiv \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^k（2k+1）^{2 r +1}D_k \equiv 0 \pmod n，其中$n\geqslant 1$，$r\geqslant 0$，和$\varepsilon=\pm1$ .对于$r=1$，我们进一步证明了\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv 0 \pmod{n^3}，\quad \sum_{k=0}^{p-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv p^3 \pmod{2p^6}，其中$p>3$是素数.下面的同余式\sum_{k=0}^{n-1} {n+k \choose k}^2{n-1 \choose k}^2 \equiv 0 \pmod{n}在我们的证明中起着重要的作用。
2012-05-25 math.CO math.NT
Determining $x$ or $y$ mod $p^2$ with $p=x^2+dy^2$
设$p$是一个奇素数，令$d\in\{2,3,7\}$。当$(\frac{-d}p)=1$我们可以写$p=x^2+dy^2$与$x,y\in\mathbb Z$ ;在本文中，我们的目的是确定$x$或$y$模$p^2$。例如，当$p=x^2+3y^2$，我们表明，如果$p\equiv x\equiv 1\pmod 4$然后$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(3[3\mid k]-1)(2k+1)\frac{\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\equiv\left(\frac2p\right)2x\pmod{p^2}$$其中$[3\mid k]$采取$1$或$0$根据$3\mid k$或不，如果$-p\equiv y\equiv 1\pmod4$然后$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\left(\frac k3\right)\frac{k\binom{2k}k^2}{(-16)^k} \equiv(-1)^{(p+1)/4}y\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(1-3[3\mid k])\frac{k\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\pmod{p^2}.$$我们还确定$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{k\binom{2k}k^3}{m^k}\sum_{k\le j<2k}\frac1j\quad \mbox{…
2015-06-08 math.CO math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
On the existence of unparalleled even cycle systems
$v$阶的$2t$ -循环系统是循环的集合$\mathcal{C}$，其边划分$K_v-I$的边集合（即，完整图减去$1$因子$I$）。如果$v\equiv 0 \pmod{2t}$，则$\mathcal{C}$的一组$v/2t$顶点不交圈是一个平行类。如果$\mathcal{C}$没有并行类，我们称这样的系统是无与伦比的。证明了存在一个$v \equiv 0 \pmod{2t}$阶的无与伦比的$2t$ -圈系统当且仅当$v>2t>2$ .
2016-03-31 math.CO
An Elementary Proof of a Conjecture of Saikia on Congruences for $t$--Colored Overpartitions
本文用初等生成函数操作、剖分和归纳法，证明了 Saikia 关于 $t$ 色超分拆函数 $\overline{p}_{-t}(n)$ 模 2 幂同余的猜想对所有奇数 $t$ 成立。
2023-07-03 math.CO math.NT
New congruences involving products of two binomial coefficients
设$p>3$为素数，$a$为正整数。我们证明了如果$p\equiv1\pmod 4$或$a>1$则$$\sum_{k=0}^{\lfloor\frac34p^a\rfloor}\frac{\binom{2k}k^2}{16^k}\equivł(\frac{-1}{p^a}\r)\pmod{p^3}$$和$(-)$是Jacobi符号，这证实了Z.- W.太阳我们还建立了以下新的同余式：\begin{align*}\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{27^k}\equiv&ł(\frac p3\r)\frac{2^p+1}3\pmod{p^2}, \\\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{(2k+1)432^k}\equiv&ł(\frac p3\r)\frac{3^p+1}4\pmod{p^2}, \\\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}{(2k+1)64^k}\equiv&ł(\frac{-1}p\r)2^{p-1}\pmod{p^2}. \end{align*}注意，在2003年Rodriguez-Villeguez提出了关于$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\bino…
2016-01-19 math.CO math.NT
