A Randomized Algorithm Based on Threshold Accepting to Approximate the Star Discrepancy
提出了一种新的估计任意点集的星差的算法。类似于Winker和Fang [SIAM J. Numer. Anal. 34（1997），2028- 2042]它是基于最优化算法阈值接受。我们的改进包括，除其他外，一个非均匀的采样策略，这是更适合于更高的维度的输入，和四舍五入的步骤，转换轴平行的盒子，其中的差异是要测试，到\emph{critical test boxes}。这些关键测试盒可证明产生更高的差异值，并包含显示局部差异最大值的盒。我们提供了全面的实验来测试新算法。我们的随机算法在可以检查的所有情况下频繁地计算精确的差异（即，其中可以在可行时间内计算点集的精确差异）。最重要的是，在更高的维度，新方法的行为明显优于所有以前已知的方法。
2011-05-12 cs.DS
Streaming Attention Approximation via Discrepancy Theory
EPFL（苏黎世联邦理工学院）；KAIST（韩国科学技术院）；Google Research（谷歌研究）
本文提出BalanceKV算法，基于几何过程选择平衡的Key和Value token，实现流式注意力近似，理论和实验均优于现有方法。
2026-03-24 cs.AI cs.DS cs.LG
Approximate Hypergraph Coloring under Low-discrepancy and Related Promises
一个超图称为$χ$ -可着色的，如果它的顶点可以用$χ$颜色着色，使得没有超边是单色的。$2$ -可着色性是超图的一个基本性质（称为性质B），在组合数学中得到了广泛的研究。然而，在数学上，给定一个$2$ -可着色的$k$ -均匀超图，要找到一个小于一部分超边$2^{-k+1}$的$2$-着色错误是NP-困难的（这是通过随机$2$ -着色实现的），并且正确着色超图的最佳算法需要$\approx n^{1-1/k}$颜色，随着$k$的增加，接近$n$的平凡界。在这项工作中，我们研究了近似超图着色的复杂性，对于最大化（找到具有最少错色边的$2$着色）和最小化（使用最少数量的颜色找到适当的着色）版本，当输入超图被保证具有比$2$ -可着色性更强的以下属性时：（A）低差异：如果超图具有$\ell \ll \sqrt{k}$不一致性，给出了用$\approx n^{O(\ell^2/k)}$颜色对超图着色的算法.然而，对于最大化的版本，我们证明了NP-困难的找到一个$2$着色miscoloring小于$2^{-O(k)}$（分别。$k^{-O(k)}$（分别为$\ell=2$）。在UGC假设下，对于几乎不一致的$1$超图，我们将后者的硬度因子改进为$2^{-O(k)}$. (B)彩虹可着色性：如果超图有一个$(k-\ell)$ -着色，使得每个超边都是多色的，我们给出了一个$2$ -着色算法，…
2015-06-22 cs.CC cs.DS
On the Computational Complexity of Linear Discrepancy
计算机科学和应用数学中的许多问题需要将位于区间$[0,1]$中的分数值的向量$\mathbf{w}$舍入为二进制向量$\mathbf{x}$，使得对于给定的矩阵$\mathbf{A}$，$\mathbf{A}\mathbf{x}$尽可能接近$\mathbf{A}\mathbf{w}$。例如，这个问题出现在LP舍入算法用于近似$\mathsf{NP}$ -硬优化问题，并在数值积分的均匀分布的点集的设计。对于一个给定的矩阵$\mathbf{A}$，由最佳可能舍入引起的所有$\mathbf{w}$选择的最坏情况误差由$\mathbf{A}$的线性差异来衡量，这是差异理论中研究的一个量，由Lovasz、Spencer和Vesztergombi（EJC，1986）引入。我们首先研究了线性偏差的计算复杂性。我们的研究在两个方向进行：（1）证明硬度结果和（2）找到精确和近似算法来评估某些矩阵的线性差异。对于（1），我们证明了线性偏差是$\mathsf{NP}$ -困难的。因此，我们不期望找到一个有效的精确算法的一般情况下。限制我们的注意力与一个恒定的行数的矩阵，我们提出了一个多时间精确算法的矩阵组成的一个单一的行和矩阵与一个恒定的行数和有界幅度的条目。我们还提出了一般矩阵的指数时间近似算法，和一个算法，近似的线性偏差内的指数因子。
2020-07-31 cs.CC cs.CG cs.DS
Algorithms for Discrepancy, Matchings, and Approximations: Fast, Simple, and Practical
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；IRIF（法国信息与自动化研究所（IRIF））；CNRS（法国国家科学研究中心）；DI ENS, Université PSL（巴黎文理研究大学信息学系）；Université Sorbonne Paris Nord（巴黎索邦北大学）；Laboratoire LIPN（LIPN实验室）
我们研究了数据近似和优化的关键工具之一：低差异着色。形式上，给定一个有限集系统$(X,\mathcal S)$，二色$χ:X\to\{-1,1\}$的\emph{discrepancy}定义为$\max_{S \in \mathcal S}|{χ(S)}|$，其中$χ(S)=\sum\limits_{x \in S}χ(x)$。我们提出了一个随机算法，对于任何$d>0$和$(X,\mathcal S)$与双粉碎功能$π^*(k)=O(k^d)$，返回一个着色与预期的差异$O\left({\sqrt{|X|^{1-1/d}\log|\mathcal S|}}\right)$（这个界是紧的）在时间$\tilde O\left({|\mathcal S|\cdot|X|^{1/d}+|X|^{2+1/d}}\right)$，提高了以前的最佳时间$O\left(|\mathcal S|\cdot|X|^3\right)$的至少一个因素$|X|^{2-1/d}$时，$|\mathcal S|\geq|X|$。这种设置包括许多几何类，有界对偶VC维族等。作为一个直接的后果，我们得到了一个改进的算法来构建$\varepsilon$ -近似的次二次大小。我们的方法使用原始-对偶重新加权与随机更新的权重的改进分析，并通过具有低交叉数的匹配利用集合系统的结构特性-计算几何中的基本结构。特别是，我们得到…
2022-09-02 cs.CG cs.DS cs.LG
Centrality of Trees for Capacitated k-Center
我们对网络选址问题的无容量限制和容量限制版本的理解存在很大的差异。这也许是最好的说明了经典的k-中心问题：有一个简单的紧2-近似算法的无容量的版本，而第一个常数因子近似算法的一般版本的能力，只是最近才获得通过使用一个复杂的舍入算法，实现了近似保证在数百。我们的论文旨在弥合这一差异。对于容量限制的k-中心问题，我们给出了一个简单的算法，一个干净的分析，使我们能够证明近似保证9。它使用标准的LP松弛，并接近解决完整性差距（在必要的预处理后），缩小到7，8或9。该算法首先减少到特殊的树的情况下，然后解决这些情况下最佳。我们的概念树的实例是非常通用的，并适用于自然变种的能力限制的k-中心问题，我们也得到了改进的算法。最后，我们给出的证据表明，更强大的预处理可能会导致更好的算法，通过给出一个近似算法，击败的完整性差距的情况下，所有的非零容量是均匀的。
2013-04-10 cs.DS
The Geometry of Differential Privacy: the Sparse and Approximate Cases
在这项工作中，我们研究的上下文中的线性查询直方图的准确性和隐私之间的权衡。这是一个丰富的查询类，包括列联表和范围查询，并且一直是长时间工作的重点。对于一组数据库$x \in \R^N$上的$d$线性查询，我们寻求找到具有最小均方误差的差分私有机制。对于纯差分隐私，已知最佳机制的$O(\log^2 d)$近似。我们的第一个贡献是给出$(\eps,δ)$ -差分隐私的$O(\log^2 d)$近似保证。我们的机制是简单的，有效的，并增加了相关的高斯噪声的答案。我们证明了它的近似保证相对于Muthukrishnan和Nikolov的遗传差异下界，使用凸几何的工具。接下来，我们在查询的数量超过数据库中的个体数量的情况下考虑这个问题，即当$d > n \triangleq \|x\|_1$。众所周知，在这种情况下存在更好的机制。我们的第二个主要贡献是给出了一个$(\eps,δ)$ -差分私有机制，它是最佳的$\polylog(d,N)$的因素，任何给定的查询集$A$和任何给定的上限$n$上$\|x\|_1$。这种近似是通过将高斯噪声添加方法与线性回归步骤相结合来实现的。我们给出了一个类似的结果$\eps$ -差分隐私设置。我们还提高了回答计数查询的数据库上的大小$n$的Blum，Ligett和Roth的均方误差上界，并匹配的下限隐含的工作Dinur和Nissim的对数因子。遗传差异和隐私机制…
2012-12-03 cs.DS
Discrepancy Minimization in Input-Sparsity Time
我们提出一种输入稀疏时间的组合算法，近似最小化矩阵差异，达到与Larsen相同的近似比，并突破立方时间障碍，几乎弥合实值与二元矩阵的计算差距。
2025-05-25 cs.DS
Constructive Algorithms for Discrepancy Minimization
给定集合系统（V，S），V={1，.，n}且S={S1，...，Sm}，最小差异问题是找到V的2-着色，使得每个集合尽可能均匀地着色。在本文中，我们给出了第一个多项式时间算法的差异最小化，实现类似的边界已知存在使用所谓的熵方法。我们也给出了一个第一近似的结果的差异。我们算法的主要思想是通过让元素的颜色从0开始执行随机游走（以微小的增量），直到它们达到$-1$或$+1$，从而随着时间的推移产生着色。在每一个时间步的随机跳为各种元素相关的使用的解决方案，以一个半定的程序，其中该程序是由当前状态和熵的方法。
2010-08-09 cs.DM cs.DS math.CO
A practical algorithm to calculate Cap Discrepancy
Columbia University（哥伦比亚大学）；University Tehran（德黑兰大学）；Alzahra University（阿尔扎赫拉大学）
点的均匀分布长期以来一直是研究人员感兴趣的问题，并且在数学和计算机科学的不同领域都有应用。一个著名的衡量一个给定的分布的均匀性的措施是离散，它评估均匀分布和经验分布之间的差异，通过把质量点在给定的集合的点。虽然离散度对于测量均匀性非常有用，但是精确计算它在计算上具有挑战性。本文引入了有向离散的概念，并在此基础上提出了一种能精确逼近单位球面上有限集的帽离散的算法$\mathbb{S}^2.$，称为有向离散算法。并通过计算特定分布极坐标的帽离散度来实际评估其容量，其目的是在球体上均匀分布点。
2020-10-20 cs.CG cs.DS cs.LG
Efficient Discrepancy Testing for Learning with Distribution Shift
UT Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；MIT（麻省理工学院）
本文针对分布偏移下的差异距离测试难题，提出可证明高效的局部化差异测试算法，并据此推广 TDS 学习，取得近最优错误率、常数深度电路的指数级改进及测试时完全多项式运行。
2024-06-13 cs.DS cs.LG
Optimal Private Halfspace Counting via Discrepancy
范围计数问题由$\mathbb{R}^d$中的点的大小为$|P| = n$的集合$P$、与每个点$p \in P$相关联的整数权重$x_p$以及范围空间${\cal R} \subseteq 2^{P}$来指定。给定查询范围$R \in {\cal R}$，目标输出为$R(\vec{x}) = \sum_{p \in R}{x_p}$。不同值域空间的值域计数是计算几何中的一个中心问题。我们研究$(ε, δ)$ -差分私有算法的范围计数。我们的主要结果是关于超平面给出的值域空间，即半空间计数问题。我们提出了一个$(ε, δ)$ -差分私有算法的半空间计数在$d$维，达到$O(n^{1-1/d})$平均平方误差。这与Dinur和Nissim [PODS 2003]的经典结果为任意子集计数查询建立的$Ω(n)$下限形成对比。我们还显示了一个匹配的下限上的平均平方误差的任何$(ε, δ)$差分私有算法的半空间计数。这两个界限是使用差异理论。对于下界，我们使用修改后的差异测量和界近似的$(ε, δ)$ -差分私有算法的范围计数查询在这个差异。我们还涉及到经典的组合差异，这使我们能够利用已知的差异下限的修改后的差异措施。这种方法也产生了一个下限的$Ω((\log n)^{d-1})$为$(ε, δ)$ -差分私人正交范围计数$d$维度，第一个已知的超常数下限为这个问题。对于上界，我们使用的方法…
2012-03-24 cs.CG cs.DS
Geometric Barriers for Stable and Online Algorithms for Discrepancy Minimization
对于许多涉及随机性的计算问题，解空间的复杂几何特征已被用来严格排除强大的算法类别。这通常是通过多重重叠间隙属性（$m$ -OGP）来实现的，这是对表现出输入稳定性的算法的严格障碍。在本文中，我们专注于两个模型的算法的易处理性：（i）差异最小化，和（ii）对称二进制感知器（\texttt{SBP}），一个随机约束满足问题，以及玩具模型的单层神经网络。我们首先关注的是在线算法的局限性。通过建立和利用一个新的几何障碍，我们获得了尖锐的硬度保证对在线算法的\texttt{SBP}和差异最小化。我们的结果匹配最知名的算法保证，常数因子。我们的第二个重点是有效地找到一个常数差异的解决方案，给定一个随机矩阵$\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{M\times n}$。在平滑设置中，其中$\mathcal{M}$的条目是i.i.d.标准正常，我们确定$n=Θ(M\log M)$存在$m$-OGP。因此，我们排除了这类稳定的算法在这个值。这些结果为Altschuler和Niles-Weed~ \cite [猜想~1]{altschuler 2021 discrimination}的一个猜想提供了第一个严格的证据.我们的方法使用复杂的几何形状的解决方案空间，以证明紧硬度在线算法的结果。我们建立的屏障是$m$ -OGP的新变体。此外，它认为$m$ -元组的解决方案相对于相关的情况下，随着…
2023-02-13 cs.CC cs.DS math-ph
A Survey on Approximation in Parameterized Complexity: Hardness and Algorithms
参数化和近似是处理NP难问题的两种常用方法。最近，这两者也被结合起来，得出了许多有趣的结果。我们从算法和硬度的角度调查了该领域的发展，重点是新技术和潜在的未来研究方向。
2020-06-08 cs.CC cs.DS
Hardness and Approximation for Network Flow Interdiction
在网络流阻断问题中，攻击者攻击网络以最小化最大s-t-流。很少有人知道这个问题的近似性，尽管几十年来的兴趣，我们提出了第一近似硬度，表明网络流阻断和它的几个变种不能更容易近似比Denmark-子图。特别地，用于网络流阻断的任何$n^{o(1)}$ -近似算法将意味着用于Denmark-子图的$n^{o(1)}$ -近似算法。我们补充这个硬度的结果与第一近似算法的网络流阻断，它具有近似比2（n-1）。我们还表明，网络流阻断本质上是相同的简化最小s-t-割问题，并转移我们的结果给出了第一近似硬度和算法的问题，以及。
2015-11-08 cs.DS math.OC
Factorization Norms and Hereditary Discrepancy
实$m\times n$矩阵$A$的$γ_2$范数是使得$A$的列向量包含在以$0$为中心的椭圆体$E\subseteq\mathbb{R}^m$中的最小数$t$，该椭圆体又包含在超立方体$[-t, t]^m$中.我们证明了这个经典量近似\emph{hereditary discrepancy} $\mathrm{herdisc}\ A$如下：$γ_2(A) = {O(\log m)}\cdot \mathrm{herdisc}\ A$和$\mathrm{herdisc}\ A = O(\sqrt{\log m}\,)\cdotγ_2(A) $。由于$γ_2$是多项式时间可计算的，这给出了遗传差异的多项式时间近似算法。这两个不等式被证明是渐近紧。然后，我们证明了几个例子的权力$γ_2$规范作为一种工具，证明在差异理论的下限和上限。最值得注意的是，我们证明了一个新的下界$Ω(\log^{d-1} n)$的\emph{$d$-dimensional Tusnády problem}，要求的组合差异的$n$ -点集在$\mathbb{R}^d$轴平行盒。对于$d>2$，这改进了以前的最佳下界，这是大约$\log^{(d-1)/2}n$的顺序，它接近最好的已知的上界的$O(\log^{d+1/2}n)$，我们也得到了一个新的，非常简单的证明。
2015-04-09 cs.CG cs.DS math.CO
