Approximating multiobjective combinatorial optimization problems with the OWA criterion
本文研究了一类具有$K$线性代价函数的多目标组合优化问题。流行的有序加权平均（OWA）标准被用来聚合的成本函数和计算的解决方案。众所周知，即使目标数$K$等于2，最小化最基本组合问题的OWA也是弱NP难的，而当$K$是输入的一部分时，OWA是强NP难的.本文研究了OWA准则中权值不增的问题和一个大的$K$。提出了一种通过在求解问题之前对目标成本进行适当的集结来减少目标数量的方法。结果表明，减少问题的最优解有一个保证最坏情况下的近似比。Hurwicz准则，这是一个特殊的情况下，OWA，也提出了一些新的近似结果。
2018-04-10 cs.DS math.OC
Inner approximation algorithm for solving linear multiobjective optimization problems
Benson外逼近算法及其变形是求解线性多目标最优化问题最常用的方法。这些算法有两个相互交织的组成部分：一维线性最优化一方面，和组合的一部分，密切相关的顶点计数。它们的分离提供了对Benson算法的更深入的了解，并指向一种双重方法。两个骨架算法定义的组合部分集中。使用不同的单目标最优化问题-称为Oracle调用-产生不同的算法，例如顺序凸包算法，具有理论上最佳可能迭代次数的Benson算法的另一个版本，Ehrgott，Löhne和Shao的对偶算法，以及新算法。新算法有几个优点。首先，相应的一维最优化问题使用原始约束，而不添加任何额外的变量或约束。其次，它的迭代次数满足理论上最好的可能。作为一个对偶算法，它是顺序的：在每次迭代中，它产生一个极值解，因此当找到满意解时可以中止。Pareto前沿可以在任何时刻从几个方向“探测”或“扫描”，而不会对效率产生不利影响。最后，它非常适合于处理高度退化的问题，其中有许多线性依赖的约束。在有十个或更多目标的问题上，与Bensolve相比，实现效率显着提高-由于迭代次数减少和改进的组合处理。
2019-03-20 cs.CG cs.DS math.OC
Multiobjective Hypergraph Min-Cut in Quasi-Polynomial Time
Grainger College of Engineering, University of Illinois, Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校格雷inger工程学院）
针对固定常数$k$的多目标超图最小割问题，设计随机PTAS与两种随机拟多项式时间算法，还得到超图连通性阻断问题的QPTAS。
2026-09-07 cs.DS
Approximation algorithms via discrepancy with hard constraints
本文提出基于偏差的硬约束下成本保持舍入方法，引入山距参数，在多个组合优化问题上取得新结果。
2026-10-14 cs.DS
Approximation-Friendly Discrepancy Rounding
使用差异技术舍入线性规划是最近的一种方法，在某些情况下非常成功。然而，与随机化和迭代舍入等方法相比，该方法也有一些局限性。我们提供了一个扩展的基于差异的舍入算法由于Lovett-Meka，（i）结合了随机化和迭代舍入的优点，（ii）使其适用于设置更一般的组合结构，如拟阵。作为这种方法的应用，我们获得了各种经典问题，如线性系统舍入，度有界拟阵基和低拥塞路由的新结果。
2016-12-02 cs.DS
Approximating Hereditary Discrepancy via Small Width Ellipsoids
一个超图的离散度是其顶点的两种着色上，任何超边的最大绝对不平衡度的可达到的最小值。超图的遗传离散度是超图复杂性的一个度量，它定义为超图对顶点子集的约束的最大离散度。Lovasz，Spencer和Vesztergombi（1986）将这个量自然地扩展到矩阵与线性规划的舍入算法联系起来，并给出了一个基于行列式的遗传差异下界。Matousek（2011）表明，这个界限紧到一个多对数因子，留下了实际计算这个界限的问题。Nikolov，Talwar和Zhang（2013）最近的工作显示了多项式时间$\tilde{O}(\log^3 n)$ -近似遗传差异，作为他们差分隐私工作的副产品。本文给出了该问题的一个直接简单的$O(\log^{3/2} n)$ -近似算法。我们表明，到这个近似因子，遗传差异的矩阵$A$的特点是简单的几何凸规划，旨在最大限度地减少最大$\ell_{\infty}$规范的任何一点在椭圆包含列的$A$的最优值。这一特征有望成为差异理论的一个有用工具。
2014-07-23 cs.DS
Simultaneous Approximation of Constraint Satisfaction Problems
给定同一组变量$V$上的2个SAT子句的$k$集合，我们能否找到一个赋值，满足每个集合中大部分子句？我们考虑这样的同时约束满足问题，并设计了第一个非平凡的近似算法在这种情况下。我们的主要结果是，对于每个CSP $F$，对于$k < \tilde{O}(\log^{1/4} n)$，存在一个多项式时间常数因子Pareto近似算法的$k$同时最大$F$ -CSP实例。我们的方法是相当普遍的，我们也用它们来给一个改进的近似因子同时最大-w-SAT（$k <\tilde{O}(\log^{1/3} n)$）。相比之下，对于$k = ω(\log n)$，在多项式时间内（假设指数时间假设）不能实现$k$同时Max- $F$ -CSP实例的非零近似因子。这些问题是约束满足问题和多目标优化理论的一个自然交汇点。我们还提出了一些有趣的方向，为未来的研究。
2014-07-29 cs.DS
M. Levin's construction of absolutely normal numbers with very low discrepancy
在目前已知的绝对正规数的构造中，Mordechay Levin在1979年给出的构造达到了最低的偏差界。在这项工作中，我们分析这种结构的可计算性和计算复杂性。我们表明，在基本假设下，它产生一个可计算的实数。该构造没有明确给出分数展开式的位数，但它给出了一个递增逼近序列，其极限是所宣布的绝对正规数。第$n$次近似的误差小于$2^{2^{-n}}$。为了获得$n$次近似，在最坏的情况下，构造需要在$n$中为双指数的多个数学运算。我们考虑的变体的建设，降低了计算复杂性的差异增量为代价。
2015-10-02 cs.DS math.NT
Streaming Attention Approximation via Discrepancy Theory
EPFL（苏黎世联邦理工学院）；KAIST（韩国科学技术院）；Google Research（谷歌研究）
本文提出BalanceKV算法，基于几何过程选择平衡的Key和Value token，实现流式注意力近似，理论和实验均优于现有方法。
2026-03-24 cs.AI cs.DS cs.LG
Algorithms for Discrepancy, Matchings, and Approximations: Fast, Simple, and Practical
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；IRIF（法国信息与自动化研究所（IRIF））；CNRS（法国国家科学研究中心）；DI ENS, Université PSL（巴黎文理研究大学信息学系）；Université Sorbonne Paris Nord（巴黎索邦北大学）；Laboratoire LIPN（LIPN实验室）
我们研究了数据近似和优化的关键工具之一：低差异着色。形式上，给定一个有限集系统$(X,\mathcal S)$，二色$χ:X\to\{-1,1\}$的\emph{discrepancy}定义为$\max_{S \in \mathcal S}|{χ(S)}|$，其中$χ(S)=\sum\limits_{x \in S}χ(x)$。我们提出了一个随机算法，对于任何$d>0$和$(X,\mathcal S)$与双粉碎功能$π^*(k)=O(k^d)$，返回一个着色与预期的差异$O\left({\sqrt{|X|^{1-1/d}\log|\mathcal S|}}\right)$（这个界是紧的）在时间$\tilde O\left({|\mathcal S|\cdot|X|^{1/d}+|X|^{2+1/d}}\right)$，提高了以前的最佳时间$O\left(|\mathcal S|\cdot|X|^3\right)$的至少一个因素$|X|^{2-1/d}$时，$|\mathcal S|\geq|X|$。这种设置包括许多几何类，有界对偶VC维族等。作为一个直接的后果，我们得到了一个改进的算法来构建$\varepsilon$ -近似的次二次大小。我们的方法使用原始-对偶重新加权与随机更新的权重的改进分析，并通过具有低交叉数的匹配利用集合系统的结构特性-计算几何中的基本结构。特别是，我们得到…
2022-09-02 cs.CG cs.DS cs.LG
A Randomized Algorithm Based on Threshold Accepting to Approximate the Star Discrepancy
提出了一种新的估计任意点集的星差的算法。类似于Winker和Fang [SIAM J. Numer. Anal. 34（1997），2028- 2042]它是基于最优化算法阈值接受。我们的改进包括，除其他外，一个非均匀的采样策略，这是更适合于更高的维度的输入，和四舍五入的步骤，转换轴平行的盒子，其中的差异是要测试，到\emph{critical test boxes}。这些关键测试盒可证明产生更高的差异值，并包含显示局部差异最大值的盒。我们提供了全面的实验来测试新算法。我们的随机算法在可以检查的所有情况下频繁地计算精确的差异（即，其中可以在可行时间内计算点集的精确差异）。最重要的是，在更高的维度，新方法的行为明显优于所有以前已知的方法。
2011-05-12 cs.DS
On the Computational Complexity of Linear Discrepancy
计算机科学和应用数学中的许多问题需要将位于区间$[0,1]$中的分数值的向量$\mathbf{w}$舍入为二进制向量$\mathbf{x}$，使得对于给定的矩阵$\mathbf{A}$，$\mathbf{A}\mathbf{x}$尽可能接近$\mathbf{A}\mathbf{w}$。例如，这个问题出现在LP舍入算法用于近似$\mathsf{NP}$ -硬优化问题，并在数值积分的均匀分布的点集的设计。对于一个给定的矩阵$\mathbf{A}$，由最佳可能舍入引起的所有$\mathbf{w}$选择的最坏情况误差由$\mathbf{A}$的线性差异来衡量，这是差异理论中研究的一个量，由Lovasz、Spencer和Vesztergombi（EJC，1986）引入。我们首先研究了线性偏差的计算复杂性。我们的研究在两个方向进行：（1）证明硬度结果和（2）找到精确和近似算法来评估某些矩阵的线性差异。对于（1），我们证明了线性偏差是$\mathsf{NP}$ -困难的。因此，我们不期望找到一个有效的精确算法的一般情况下。限制我们的注意力与一个恒定的行数的矩阵，我们提出了一个多时间精确算法的矩阵组成的一个单一的行和矩阵与一个恒定的行数和有界幅度的条目。我们还提出了一般矩阵的指数时间近似算法，和一个算法，近似的线性偏差内的指数因子。
2020-07-31 cs.CC cs.CG cs.DS
Discrepancy, Coresets, and Sketches in Machine Learning
Amazon（亚马逊）
本文定义了函数族的类差异概念。它表明，低差异类承认小的离线和流coresets。我们提供了一般的技术来界定类差异的机器学习问题。作为一般技术的推论，我们绑定了逻辑回归的差异（以及因此的核心复杂性），sigmoid激活损失，矩阵协方差，核密度和点积或平方距离的任何解析函数。我们的结果证明了上述问题的ε-近似O（sqrt{d}/sqrt）大小的核心集的存在性.这解决了长期存在的开放问题的核心复杂性高斯核密度估计。我们提供了两个相关但独立的结果。首先，广泛使用的合并和减少技巧的指数改进，为任何低差异问题提供改进的流草图。第二，一个非常简单的确定性算法，用于找到任何半正定核的低差异序列（因此coresets）。本文建立了类差异，核心复杂性，可学习性和流算法之间的一些明确的联系。
2019-06-11 cs.DS cs.LG stat.ML
Centrality of Trees for Capacitated k-Center
我们对网络选址问题的无容量限制和容量限制版本的理解存在很大的差异。这也许是最好的说明了经典的k-中心问题：有一个简单的紧2-近似算法的无容量的版本，而第一个常数因子近似算法的一般版本的能力，只是最近才获得通过使用一个复杂的舍入算法，实现了近似保证在数百。我们的论文旨在弥合这一差异。对于容量限制的k-中心问题，我们给出了一个简单的算法，一个干净的分析，使我们能够证明近似保证9。它使用标准的LP松弛，并接近解决完整性差距（在必要的预处理后），缩小到7，8或9。该算法首先减少到特殊的树的情况下，然后解决这些情况下最佳。我们的概念树的实例是非常通用的，并适用于自然变种的能力限制的k-中心问题，我们也得到了改进的算法。最后，我们给出的证据表明，更强大的预处理可能会导致更好的算法，通过给出一个近似算法，击败的完整性差距的情况下，所有的非零容量是均匀的。
2013-04-10 cs.DS
