Regularity of fully non-linear elliptic equations on Hermitian manifolds
本文对紧致Hermitian流形上具有实解析Levi平坦边界的一类完全非线性椭圆型方程狄利克雷问题的解的定量边界估计提出了新的见解和思路.有了这些定量的边界估计，我们可以建立梯度估计，并给出一个统一的方法来研究具有充分光滑边界数据的狄利克雷问题解的存在性和正则性，其中包括Kähler度量空间中的测地线方程作为特例.我们的方法也可以应用于具有凹边界的紧致黎曼流形上类似的完全非线性椭圆型方程的狄利克雷问题。
2022-03-07 math.AP math.DG
Optimal regularity of plurisubharmonic envelopes on compact Hermitian manifolds
本文证明了紧致厄米流形上$C^{1,1}$函数的多重次调和包络的$C^{1, 1}$ -正则性。我们还提出了一些例子来证明这种规律性是尖锐的。
2017-09-30 math.AP math.CV
An Obstacle for Higher Regularity of Geodesics in the Space of Kähler Potentials
在本文中，我们解决以下问题的规则性的测地线在空间的凯勒潜力。给定一条高度正则的测地线，它的边界值是光滑的，我们能期望它实际上是光滑的吗？我们构造一个例子来说明这个问题的答案是“不”。
2019-03-18 math.AP
$C^{1,1}$ regularity of geodesics of singular Kähler metrics
在充分正则的条件下，证明了远离非Kähler轨迹的Kähler流形上的nef和大上同调类测地线的最优$C^{1,1}$正则性.作为特例，我们证明了Kähler度量在远离奇异轨迹的紧Kähler簇上的测地线的$C^{1,1}$正则性.我们的主要新颖之处是一个复杂的蒙日-安培方程，不需要严格的边界附近的参考形式的积极性改进的边界估计。我们还讨论了一些特殊的测地线的情况。
2020-12-09 math.AP math.CV math.DG
Stability and Hölder regularity of solutions to complex Monge-Ampère equations on compact Hermitian manifolds
设$(X,ω)$是紧致厄米流形.本文建立了复蒙日-安培方程解的一个稳定性结果，其右端为$L^p$，$p>1$ .利用这一点，我们证明了解决方案是Hölder连续的相同的指数在Kähler的情况下\cite{DDGKPZ14}。我们的技术也适用于设置大上同调类紧凑凯勒流形。
2020-11-14 math.AP math.CV math.DG
Regularity of geodesics in the spaces of convex and plurisubharmonic functions II
本研究延续凸与多重次调和函数空间测地线的探究，证明光滑严格凸函数间测地线的最优正则性，拓展$C^{1,α}$范畴正则性理论，并探讨环面不变严格多重次调和函数间测地线的正则性。
2024-05-15 math.AP math.CV
Regularity of fully non-linear elliptic equations on Hermitian manifolds. II
本文研究了Hermitian流形上带梯度项的完全非线性椭圆型方程狄利克雷问题解的正则性和可解性，其中包括$(n-1)$ -多重次调和函数的蒙日-安培方程.得到了边界和边界数据上的正则性假设的一些显著的新特征，揭示了边界的形状如何影响这些正则性假设。这样的新功能遵循定量边界估计，特别是使我们能够应用爆破参数，以获得梯度估计。有趣的是，当背景空间是一个封闭的厄米特流形与一个紧的黎曼曲面与边界的乘积。
2020-07-13 math.AP
Regularity of geodesics in the spaces of convex and plurisubharmonic functions
本文研究了凸函数与多重次调和函数空间中测地线的正则性。在真实的设置，我们证明（最佳）局部C^{1，1}正则性。我们构造的例子证明，全球C^{1，1}正则性失败，在现实和复杂的情况下相比，凯勒流形设置。最后给出了两个光滑严格凸函数之间存在光滑测地线的一个充要条件。
2019-06-04 math.AP math.CV
The X-ray transform for connections in negative curvature
我们考虑具有负截面曲率的流形上的酉联络和斜厄米希格斯场的积分几何反问题。结果适用于任何维度的流形，有或没有边界，也在存在被困测地线。在边界条件下，我们证明了在厄米特丛（即向量值的情况下）的张量场的衰减射线变换的内射性。我们还表明，一个连接和Higgs场的厄米丛上的规范所确定的边界点沿所有可能的测地线之间的平行输运的知识。主要工具是一个能量恒等式，与酉连接的佩斯托夫恒等式，这是在一个一般的形式，和一个精确的分析时，有捕获测地线输运方程的解的奇异性。在闭流形的情形下，我们得到了类似的结果模扭曲共形Killing张量给出的障碍，我们也研究了这种障碍。
2015-09-13 math.AP math.DG math.DS
On Weak Solutions to the Geodesic Equation in the Presence of Curvature Bounds
本文利用 RT-equations 的坐标变换正则化理论，证明在曲率有界时测地线方程弱解存在与唯一性所需联络系数正则性可降至 $L^p_{loc}$，并通过磨光极限定义弱解。
2023-06-08 math.AP
Weakly regular T2 symmetric spacetimes. The future causal geometry of Gowdy spaces
当度量满足弱正则性条件，使得度量系数（在适当的坐标下）只在Sobolev空间H1中或具有更弱的正则性时，我们研究了T3上Gowdy时空的未来渐近行为.作者最近在更广泛的T2对称时空的背景下引入了这类时空，并建立了当时间函数被选为对称曲面的面积时，类空超曲面的整体叶理的存在性。在本文中，我们确定了这些时空的整体因果几何，特别是，建立弱正则Gowdy时空未来因果测地线完成。这一结果扩展了林斯特伦的一个定理，使度量具有足够高的正则性。我们强调，我们的能量衰减的证明是基于一个能量功能的启发Gowdy到恩斯特变换。为了建立测地完备性的财产，我们证明了一个更高的正则性有关的度量系数沿类时曲线，我们提供了一个新的分析的测地方程Gowdy时空，这不需要高阶正则性估计。即使当充分的正则性假设，我们的证明提供了一个替代和更短的证明的能量衰减和测地完备性的Gowdy时空。
2014-03-25 gr-qc math.AP
Remarks on the Minimizing Geodesic Problem in Inviscid Incompressible Fluid Mechanics
我们考虑$L^2$最小化测地线沿一组体积保持地图$SDiff(D)$的一个给定的3维域$D$。相应的曲线描述了$D$内部理想不可压缩流体的运动，并且是欧拉方程的（形式上）解。已知的是，当这些曲线的端点固定时，对于这些曲线存在唯一的可能的压力梯度。此外，这种压力场具有有限但无条件的（内部）规律性。本文通过证明：1）唯一性可以看作是一个无限维的现象（与用凸优化放松相应的极小化问题的可能性有关），对于有限维的构形空间，如刚体运动的O（3），这是错误的; 2）无条件部分正则性必然是有限的。
2010-11-04 math.AP
Complex geodesics and complex Monge--Ampère equations with boundary singularity II
该研究探讨有界强线性凸域上带给定边界值和方向的复测地线的参数依赖性，建立了域的多重复Poisson核正则性与边界正则性的定量关系，改进了前人相关研究结果。
2024-12-16 math.AP math.CV
Geodesics in the space of Kähler cone metrics
本文研究Kähler锥度量$\mathcal H_\b$空间中测地线方程的狄利克雷问题，它等价于一个齐次复蒙日-安培方程，其边值由具有锥奇点的Kähler度量构成.我们的方法涉及的推广的空间定义在唐纳森\cite{MR2975584}的情况下Kähler流形的边界，此外，我们引入了一个子空间$\mathcal H_C$的$\mathcal H_\b$，我们定义通过规定适当的几何条件。主要结果是边值位于$\mathcal H_C$中的$C^{1,1}_\b$测地线的存在性、唯一性和正则性。证明了这种测地线是$C^{2,\a}_\b$近似测地线序列在$C^{1,1}_\b$ -范数下的极限.作为几何应用，我们证明了$\mathcal H_C$的度量空间结构.
2013-04-08 math.AP math.DG
Semi-invariant Riemannian metrics in hydrodynamics
数学物理中的许多模型都是以流体动力学类型的非线性偏微分方程形式给出的;不可压缩的欧拉方程、KdV方程和Camassa-Holm方程都是研究得很好的例子。一个很好的适定性方法是从欧拉方程到拉格朗日方程的描述。在几何上，它对应于具有右不变黎曼度量的无限维同构群上的测地线初值问题。通过建立黎曼喷雾的正则性，人们可以得到局部的，有时是全局的，存在性和唯一性的结果。然而，有许多流体动力学类型的方程，特别是浅水模型和可压缩欧拉方程，其中潜在的无限维黎曼结构不是完全右不变的，但仍然是半不变量的关于保体积同态的子群。在这里，我们研究这些指标。对于Sobolev $H^k$型半不变量度量，我们给出了测地线初值问题的局部和整体适定性结果.我们还给出了结果中存在的潜在功能（对应于流体的内能）。我们的研究揭示了从完全右不变到半不变量Sobolev度量的许多陷阱;例如，正则性要求更高。然而，关键的结果，如没有损失或增益的规则性沿测地线，可以采用。
2018-10-08 math.AP math.DG
Geodesic Convexity of Small Neighborhood in the Space of Kähler Potentials
我们证明了，给定$k> 4$，$0<J<\min\{{1\over 4},{k-4\over 4}\}$，非退化光滑Kähler位势空间中的任何点都有一个关于$C^k$范数的小邻域，s.t.该邻域中的任何两个点可以通过至少具有$C^{k-J}$正则性的测地线连接。
2019-04-05 math.AP
Fine properties of geodesics and geodesic $λ$-convexity for the Hellinger-Kantorovich distance
本文研究 HK 问题最优势与对偶动态方程的正则性，构造输运–膨胀流刻画测地插值，并给出泛函沿 HK 测地线 $\lambda$-凸的精确条件。
2023-09-26 math.AP math.MG
Regularity and Uniqueness of p-harmonic Maps with Small Range
本文证明了目标流形的小测地线球上的p-调和映象的狄利克雷问题解的唯一性。因此，我们表明，这样的地图有Hoelder连续的衍生物。这给出了S的一个结果的推广。Hildebrandt等人关于调和映射的研究。
2012-03-09 math.AP
Sub-Hermitian Geometry and the Quantitative Newlander-Nirenberg Theorem
给定$C^2$流形$M$上的$C^1$复向量场的有限集合，使得它们和它们的复共轭的在每一点上都跨越复化切空间，经典的Newlander-Nirenberg定理给出了向量场的条件，使得在$M$上存在一个复结构，关于该复结构，向量场是$T^{0,1}$。在本文中，我们给出了向量场的内禀、同态不变量、充要条件，使得它们相对于这个复结构具有所需的正则性水平（即，光滑、实解析或具有某些有穷级Zygmund正则性）。通过解决这一问题，在定量的方式，我们得到了一个全纯模拟的定量理论，亚黎曼几何发起的内格尔，斯坦，和Wainger。我们称之为亚厄米几何。此外，我们进行更一般，并获得类似的结果流形有一个相关的形式可积椭圆结构。这使我们能够引入一种既能概括实理论又能概括复理论的设置。
2020-04-09 math.AP math.CA math.CV
Hölder Regularity of Dirichlet Problem For The Complex Monge-Ampère Equation
Peking University（北京大学）
本文研究复 Monge-Ampère 方程狄利克雷问题的解的 Hölder 正则性，证明在特定条件下解的全局 Hölder 连续性。
2026-03-09 math.AP math.CV math.DG
Regularity of Einstein 5-manifolds via 4-dimensional gap theorems
MIT（麻省理工学院）
通过四维间隙定理研究爱因斯坦5流形的正则性，证明了非坍缩极限的切锥唯一性、奇异集结构及测地线的正则性。
2026-02-16 math.AP math.DG math.MG
On the singular set of the geodesic flow on nonpositively curved surfaces
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
该研究证明非正曲率曲面上测地流奇异轨迹的特征函数属于特定几何各向异性 Sobolev 空间，由此推导测地流非遍历的条件，证明依赖半经典分析与抛物流新径向估计。
2026-10-14 math.AP math.DG math.DS
Improved decay rates with small regularity loss for the wave equation about a Schwarzschild black hole
我们继续研究球对称史瓦西黑洞外部的解耦波动方程。由于光子球上的零测地线围绕黑洞运行，因此必须做出额外的努力来证明解的高角动量分量衰减得足够快，特别是对于低正则性的初始数据。以前的结果是规则（$H^3$）初始数据\cite{BSterbenz}的快速衰减和粗糙（$H^{1+ε}$）初始数据\cite{BlueSoffer3}的较慢衰减。在这里，我们结合这些方法来显示共形电荷的有界性。由此，我们得出结论，在时间上，时空范数，特别是\int_I的全局有界|\tilde系列|$H^{1+ε}$初始数据的^4 d^4vol < C，具有朝向无穷大和分叉球的额外衰减。这里，$\tildeϕ$是指波动方程的解。$I$表示史瓦西解的外部区域，其可以在坐标中表示为$r>2M$、$t\in\Reals, ω\in S^2$，并且$d^4\text{vol}$是由史瓦西伪度量诱导的自然4维体积。我们还证明了光子球对波动方程的影响与黎曼流形上的闭测地线对波动方程的影响相同。我们证明了这种相似性，我们的技术扩展到一类黎曼流形上的波动方程。在进一步的假设下，时空估计足以证明一类具有闭测地线的黎曼流形上的小数据非线性波动方程的全局有界性。由于$L^\infty$估计不能保持这种水平的规律性，我们必须使用全局的时空积分估计。
2006-12-06 math.AP
The Monge Problem for distance cost in geodesic spaces
我们解决了度量空间中具有测地距离的Monge问题：（X，d）是一个Polish空间，dL是一个测地Borel距离，它使得（X，dL）成为一个无分支的测地空间.我们表明，在假设测地线是d-连续和局部紧的，我们可以减少运输问题的一维运输问题沿测地线。本文对运输问题π引入了两个假设，即每个测地线上第一边缘点的条件概率是连续的或绝对连续的.由dL引起的一维Hausdorff距离。已知这种规律性对于构造运输图是足够的。我们还研究了动态的运输沿测地线，我们的条件的稳定性，并表明，在这种设置DL-循环单调性是不够的最优性。
2011-03-14 math.AP math.PR
