二次四维空间中的平面及相关格点形状
Planes in quadratic 4-space and associated shapes of lattices
AI总结：
研究标准签名(1,3)的二次型Q在有理四维二次空间中非退化有理平面L的几何性质，证明在Linnik型分裂条件下这些对象的同时等分布，主要基于Einsiedler和Lindenstrauss的高秩可对角化作用在齐性空间上的连接分类。
摘要：
设 $Q=-x_1^1-x_2^2-x_3^2+x_4^2$ 为标准签名 $(1,3)$ 的二次型。对于四维二次空间 $(\mathbb{Q}^4,Q)$ 中的每个非退化有理平面 $L$，我们可以自然地关联到 Bianchi 轨道流形 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}[i])ackslash \mathbb{H}^3$ 上的一条周期测地线，该测地线记录了 $L$ 在 Grassmannian 中模整数旋转的位置。此外，每个这样的平面 $L$ 通过将 $Q$ 限制到 $L$ 及其正交补，定义了模曲线上一个 CM 点和一条周期测地线。最后，$\mathrm{SO}_{1,3}(\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 之间的局部同构在 Bianchi 轨道流形上产生了另一条周期测地线。在本文中，我们展示了上述所有对象的自然耦合，并证明了在 Linnik 型分裂条件下的同时等分布。主要工具是 Einsiedler 和 Lindenstrauss 关于齐性空间上高秩可对角化作用的连接分类。
英文摘要：
Let $Q=-x_1^2-x_2^2-x_3^2+x_4^2$ be the standard signature $(1,3)$ quadratic form. To each non-degenerate rational plane $L$ in the four-dimensional quadratic space $(\mathbb{Q}^4,Q)$ we can naturally attach a periodic geodesic on the Bianchi orbifold $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}[i])\backslash \mathbb{H}^3$ which records the position of $L$ in the Grassmannian up to integer rotations. Moreover, each such plane $L$ defines a CM point and a periodic geodesic on the modular curve through restriction of $Q$ to $L$ and its orthogonal complement. Lastly, the local isomorphism between $\mathrm{SO}_{1,3}(\mathbb{R})$ and $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ gives rise to a further periodic geodesic on the Bianchi orbifold. In this article, we exhibit a natural coupling of all the above objects and prove simultaneous equidistribution under a Linnik-type splitting condition. The main ingredient is the classification of joinings of higher-rank diagonalizable actions on homogeneous spaces due to Einsiedler and Lindenstrauss.
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