Surfaces in $\mathbb{S}^4$ with normal harmonic Gauss maps
本文研究了黎曼曲面在$\bb{S}^4$中的共形浸入，并研究了其值在Grassmann丛$\mathcal{F} = SO_5/T^2 \to \mathbb{S}^4$中的高斯映射.考虑了从Riemann曲面到$\mathcal{F}$的映射相对于目标上的法向度量的能量，并刻画了具有调和高斯映射的浸入.我们还证明了高斯映射的法调和映射方程是一个完全可积系统，从而部分回答了Y. \cite{ohnita}中的Ohnita。相关的$\mathbb{S}^1$ -家庭的平行中曲率浸入$\mathbb{S}^4$被认为是。利用曲面的亏格得到了Gauss映射法能量的一个下界。
2011-03-12 math.DG
Surfaces in $\mathbb{R}^7$ obtained from harmonic maps in $S^6$
我们将研究从黎曼曲面$Σ$到$S^6$的调和映射在$7$维欧几里得空间中的曲面的局部几何。通过应用方法的基础上使用的调和序列，我们将其特征的共形调和浸入$φ:Σ\to S^6$的相关浸入$F:Σ\to \mathbb{R}^7$属于某些显着类的表面，即：极小曲面在超球面;表面平行的中曲率向量场;伪脐表面;各向同性表面。
2017-07-11 math.DG
Rigidity of conformal minimal immersions of constant curvature from $S^2$ to $Q_4$
利用调和映射研究了浸入$G(2,6;\mathbb{R})$中的共形极小二球的几何性质。在$G(2,6;\mathbb{R})$中构造了一个非齐次常曲率极小二球面，给出了从$S^2$到$G(2,6;\mathbb{R})$的线性全共形常曲率极小浸入的分类定理，等价地，给出了一个复超二次曲面$Q_{4}$的分类定理，说明了$Q_{4}$中的常曲率极小二球面一般不全等.
2019-11-13 math.DG
Hitchin harmonic maps are immersions
在1992年，希钦用他的理论希格斯束建设一个重要的家庭代表的基本群的封闭，定向表面的属至少有两个分裂的实形式的复杂伴随单李群。这些希钦表示包括一个组成部分的空间共轭类的所有这些表示和变形的不可约Fuchsian表示统一的表面。对于曲面上任意的标记复结构和任意的Hitchin表示，我们证明了从泛覆盖到对称空间的等变调和映射是一个浸入.将对称空间上的黎曼度量拉回，构造了一个从希钦表示空间到曲面上黎曼度量的合痕类空间的映射。作为这个过程的应用，我们得到了对称空间中轨道在Hitchin表示象作用下的指数增长性的一个新的下界.
2014-07-16 math.DG math.GT
Construction of harmonic coordinates for weak immersions
本文将Müller--Sverak关于二维弱浸入调和坐标的结果推广至任意偶数维$n\geq 4$，证明了在第二基本形式足够小时存在全局调和坐标，并由此导出了一般度量下Riemann张量属于$L^p$时调和坐标的局部存在性定理。
2025-10-12 math.AP math.DG
L^2 Harmonic 1-forms on submanifolds with finite total curvature
设$x:M^m\to \bar M$，其中$m\geq 3$是完备非紧流形$M$在完备单连通流形$\bar M$中的等距浸入，其中$x:M^m\to \bar M$的截面曲率满足$-c^2\leq K_{\bar M}\leq 0$，对某个常数$c$ .假设浸入具有有限的全曲率。如果是$c\neq 0$，则进一步假设$M$的拉普拉斯算子的第一本征值从下到上由合适的常数限制。证明了$M$上的$L^2$调和1-形式的空间具有有限维.此外，还存在一个显式计算的常数$\La>0$，使得如果全曲率从上方以$\La$为界，则在$M$上不存在非平凡的$L^2$ -调和1-形式。
2012-06-05 math.DG
Half-dimensional immersions into the para-complex projective space and Ruh-Vilms type theorems
本文研究n维伪黎曼流形到n维仿复射影空间的半维等距浸入，通过超曲面提升推导标架方程与相容性条件，针对二维确定度量曲面的拉格朗日、极小浸入特例，用高斯映射的本原调和性完成了特殊曲面浸入的刻画。
2024-05-20 math.DG
Reducible Conformal Minimal Immersion with Constant Curvature from S^2 to Q_6
本文用调和映射研究浸入G(2,6;R)的共形极小二维球面，确定从S^2到G(2,8;R)（即Q_6）的线性完全可约共形极小浸入，并给出等距下不全等但高斯曲率相同的例子。
2023-09-06 math.DG
Harmonic tori in de Sitter spaces $S^{2n}_1$
我们证明了从亏格为1的曲面到de Sitter空间$ S ^ {2n}_1 $中的所有超共形调和浸入都是有限型的，因此它们仅仅是解一对常微分方程的结果.作为应用，我们证明了$ S ^ 3 $中所有无脐点的Willmore环面都可以用这种简单的方法构造。
2012-01-27 math.DG
Triviality of the dressing isotropy for a Smyth-type potential and nonclosing of the resulting CMC surfaces
CP ^1的量子上同调是由某种势（弗罗贝纽斯流形）产生的，这种势也可以解释为某种调和映射的势。实际上，势将调和映射引入到三个不同的对称空间中，并且每个调和映射都引入可积曲面的浸入。本文的最终目标是研究是否有任何相关的浸入在z=0的奇点周围闭合（没有）。决定这个问题的关键工具是论文的主要技术结果，它指出CP^1势的各向同性是微不足道的。
2010-09-23 math.DG
Complete minimal surfaces and harmonic functions
证明了对任意开Riemann曲面$M$和任意非常数调和函数$h:M \to \mathbb{R},$，存在一个第三坐标函数与$h.$重合的完全共形极小浸入$X:M \to \mathbb{R}^3$，从而构造了Gauss映射缺失两点的具有任意共形结构的完全极小曲面.
2009-10-22 math.DG
Isometric and CR pluriharmonic immersions of three dimensional CR manifolds in Euclidean spaces
利用依赖于CR和伪厄米特结构的双阶微分复形，给出了等距浸入欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中的三维强伪凸伪厄米特CR流形的Weierstrass型整表示刻画.限制在$\mathbb{R}^4$浸入的情况下，我们研究了这种浸入的调和性条件，并给出了CR-多调和浸入的完整分类。
2012-02-19 math.CV math.DG
Refined asymptotics of the Teichmüller harmonic map flow into general targets
Teichmüller调和映射流是从一个闭曲面到一个任意维的一般闭黎曼目标流形的映射的调和映射能量的梯度流，其中映射和域度量都允许演化.给定一个弱解，存在的所有时间$t\geq 0$的流量，我们发现一个序列的时间$t_i\to\infty$在不同尺度的流量收敛到一个收集的分支最小浸入没有损失的能量。我们这样做，通过发展一个紧凑的理论，建立没有损失的能源，序列的几乎最小的地图。此外，我们构造了一个例子的光滑流的图像的极限分支极小浸入是不连通的。在一般情况下，我们表明，连接分支的最小浸入的图像的颈部成为任意薄的$i\to\infty$。
2015-10-16 math.AP math.DG
A variational approach to $S^1$-harmonic maps and applications
该研究提出带边或不带边曲面到$S^1$映射的Dirichlet拉格朗日量重整化程序，其有限能量临界点为带孤立奇点的$S^1$-调和映射，并给出该方案在两类几何问题中的应用。
2023-08-25 math.AP math.DG
The Gauss-Bonnet Formula for Harmonic Surfaces
本文研究了紧致Riemann曲面的$\R^{\N}$中的调和浸入，其中调和坐标函数是亚纯函数的实部.我们证明了这类曲面具有有限的全高斯曲率。每个端点的贡献是$2π$的倍数，由亚纯函数的最大极点阶确定。这推广了著名的极小曲面的Gackstatter-Jorge-Meeks公式。这种情况是复杂的，因为端部通常不共形地等同于被刺穿的盘，表面也没有极限切面。
2016-06-04 math.DG
Maximal Normal Curvature and Veronese Rigidity
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Laboratoire Jacques-Louis Lions de Sorbonne Université（索邦大学雅克-路易·利翁斯实验室）
证明闭浸入子流形在内在调和结构假设下的尖锐Veronese刚性定理，通过Bochner-Gauss机制将调和形式的Bochner曲率项转化为形状算子的尖锐代数估计。
2026-07-02 math.DG
Maximal Sp(4,R) surface group representations, minimal immersions and cyclic surfaces
设$S$是亏格至少为$2$的闭曲面.对于$2g-3$例外连通分支中的每一个极大表示$ρ: π_1(S)\rightarrow\mathsf{Sp}(4,\mathbb{R})$，我们证明了在曲面上存在唯一的共形结构，在该共形结构中对应的到对称空间$\mathsf{Sp}(4,\mathbb{R})/\mathsf{U}(2)$的等变调和映射是极小浸入.利用这些分量的Higgs丛参数化，我们给出了Teichmüller空间上纤维丛等分量的映射类群不变参数化.与Labourie最近关于Hitchin分量的结果不同，这些丛不是向量丛。
2015-07-06 math.DG math.GT
Real forms of complex surfaces of constant mean curvature
已知在$\mathbb C^3$中的复常数中曲率（简称{ \sc CMC}）浸入是在$\mathbb R^3$中的{ \sc CMC}-浸入的自然复化。在本文中，我们反过来考虑复{ \sc CMC}-浸入的{\it实型曲面}，它是由扭曲$\mathfrak{sl}(2, \mathbb C)$圈代数$Λ\mathfrak{sl}(2, \mathbb C)_σ$的实型定义的，并根据$Λ\mathfrak{sl}(2, \mathbb C)_σ$的实型分类对所有这样的曲面进行分类.有七类曲面，称为{ \it可积曲面}，所有可积曲面的特征在于它们到对称空间$S^2$、$H^2$、$S^{1,1}$或4-对称空间$SL(2, \mathbb C)/U(1)$的高斯映射的（洛伦兹）调和性。通过广义Weierstraße型表示，我们还统一了所有可积曲面。
2012-03-08 math.DG
Finite-energy equivariant minimal immersions in $\mathbb{CH}^2$ with fixed-lift proper cusp ends
Shiv Nadar University（希夫·纳德大学）；Rutgers-Newark（罗格斯大学纽瓦克分校）
本文研究了在CH²中具有等价有限能量的极小曲面，证明了在特定条件下的恰当性，并提供了参数化方法和构造显式曲面家族。
2026-09-29 math.AG math.DG
Generalized DPW method and an application to isometric immersions of space forms
设$G$是复李群，$ΛG$表示从单位圆${\mathbb S}^1$到$G$的适当类的映射群.一个从流形$M$到$ΛG$的可微映射$F$称为\emph{connection order $(_a^b)$}的可微映射，如果$F$的Maurer-Cartan形式的${\mathbb S}^1$族的回路参数$λ$中的傅立叶展开，即$F_λ^{-1} \dd F_λ$，具有$\sum_{i=a}^b α_i λ^i$的形式。几何学中的大多数可积系统都与这样的映射有关。DPW方法利用Birkhoff型分裂将一个调和映射约简到一个对称空间中，该空间可以用一个特定阶的$(_{-1}^1)$映射表示，约简成一对分别为$(_{-1}^{-1})$和$(_1^1)$阶的简单映射.相反，可以从任何一对$(_{-1}^{-1})$和$(_1^1)$映射构造这样的调和映射。这允许维尔斯特拉斯型描述调和映射到对称空间。我们扩展这种方法表明，对于一个大类的循环组，连接顺序$(_a^b)$地图，$a<0<b$，唯一地分裂成一对$(_a^{-1})$和$(_1^b)$地图。作为应用，我们证明了球面或双曲空间中具有平坦法丛的常非零曲率子流形分裂成平坦子流形对，从而将问题（至少局部地）简化为平坦的情况。为了充分扩展DPW方法来处理这个问题，需要一个更一般的岩泽型分裂的循环组，我们证明始终保持至少在本地。
2008-05-13 math.DG math.DS
Equivariant minimal surfaces in $\mathbb{CH}^2$ and their Higgs bundles
本文给出了Poincaré圆到复双曲平面$\mathbb{CH}^2$的所有极小浸入$f$的构造，这些浸入关于双曲曲面群到$PU(2,1)$的不可约表示$ρ$是等变的.我们利用这样的事实，即每一个这样的浸入是一个扭曲的共形调和映射，因此有一个相应的希格斯束。我们确定这些希格斯束的结构，并显示如何确定每个属性的地图，包括诱导度量和表面上的全纯三次微分。我们证明了对$(ρ,f)$的模空间是一个不相交的并的许多复流形，其结构，我们充分描述。全纯（或反全纯）映射提供了这个并集的多个分量，非全纯映射也是如此。后面的每个组件具有与$PU(2,1)$的表示变体相同的维度，并且通过浸入的复数和反复数点的数量来索引。这些数决定了浸入法丛的托莱多不变量和欧拉数。我们发现，有一个开放的准Fuchsian表示托莱多不变零的最小表面是唯一的和拉格朗日。
2020-09-07 math.DG
Infinity-Minimal Submanifolds
我们确定了无穷调和映射的变分原理，即无穷拉普拉斯算子的解。该系统首先在[K2]中在p-Laplacian的极限中导出为p-> iniu，最近在[K3]中进行了研究。这里我们证明了对于梯度的L-不等式范数，它是L-不等式中向量值变分的“Euler-Lagrange偏微分方程”。本文引入了无穷极小映射的概念，即值域子流形的具有无穷极小面积的秩一绝对极小映射，并证明了它们解无穷拉普拉斯算子。沉浸式的情况正好相反。我们还建立了解的|Du|的最大值原理。进一步刻画了三维空间中的极小曲面为具有无穷小面积的等温浸入局部可参数化的曲面，并证明了等温无穷小调和映射是刚性的.
2012-09-07 math.AP math.DG
Maps from Riemannian manifolds into non-degenerate Euclidean cones
本文研究连通非紧黎曼流形到非退化欧氏锥的光滑映射，基于能量、张力与度量参数给出锥宽下界，并推广了调和映射、极小浸入与 Kähler 子流形的经典结论及等距浸入的排除性结果。
2010-09-02 math.DG
Toda frames, harmonic maps and extended Dynkin diagrams
证明了有限维李代数上一对交换向量场的积分可以构造亏格为1的曲面到具有Toda标架的G/T中的所有浸入.这里G是任意单实李群（不一定是紧的），T是Cartan子群，G/T上的k-对称空间结构是由Coxeter自同构导出的.本文给出了调和映入G/T的Toda标架存在的充要条件，并用扩展Dynkin图的对合描述了这一理论所适用的G/T.
2011-11-17 math.DG math.RT math.SG
Harmonic maps for Hitchin representations
设$(S,g_0)$是双曲曲面，$ρ$是$PSL(n,\mathbb R)$的Hitchin表示，$f$是从$(\widetilde S, \widetilde g_0)$到相应对称空间的唯一$ρ$ -等变调和映射.我们证明了它的能量密度满足$e(f)\geq 1$和等式在一个点上成立，只有当$e(f)\equiv 1$和$ρ$是$(S,g_0)$的基$n$表示。特别是，我们证明了给定$PSL(n,\mathbb R)$的Hitchin表示$ρ$，每个$ρ$ -从双曲平面$\mathbb H^2$到相应对称空间$X$的等变最小浸入$f$是距离增加的，即$f^*(g_{X})\geq g_{\mathbb H^2}$。等式在一点上成立，只有当它在任何地方都成立，并且$ρ$是$n$ -Fuchsian表示时。
2018-06-18 math.DG math.GT
Equiaffine immersions and pseudo-Riemannian space forms
University of Turin（都灵大学）
本文通过等仿射浸入构造伪球面与伪双曲空间中的浸入，并应用于双曲仿射球面的Blaschke提升，证明其调和性。
2026-07-02 math.DG math.GT math.SG
Flowing to free boundary minimal surfaces
本文提出了一种新的流，用于将映射从一般领域表面Σ的边界映射到给定子 manifold N 的流，最终达到自由边界 (分支) 极小浸入。当 Σ 是单位圆盘 D 时，可以使用 Plateau 流实现，但当 Σ ≠ D 时，需要结合 Plateau 流和 Teichmüller 谐流来处理域度量的 conformal 类型问题。
2026-05-19 math.AP math.DG
Schwarz-Pick lemma for harmonic maps which are conformal at a point
本文研究了调和映射在共形点处的微分范数估计，推广了经典的 Schwarz-Pick 引理，并证明了共形调和浸入在特定度量下是距离递减的，从而奠定了基于极小曲面的区域双曲性理论基础。
2021-12-01 math.CV math.DG
