The Sasa-Satsuma higher order nonlinear Schrodinger equation and its bilinearization and multi-soliton solutions
非线性薛定谔方程的高阶和多分量推广在各种应用中是重要的，例如，在光学上。其中一个方程，可积的Sasa-Satsuma方程，具有特别有趣的孤子解。不幸的是，该方程的多孤子解的建设提出了困难，由于其复杂的双线性化。我们简要地讨论了以前的一些尝试，然后给出正确的双线性化的基础上的解释的Sasa萨摩方程作为一个减少的三分量Kadomtsev Petvishvili层次。在此过程中，我们还得到了Sasa-Satsuma方程的两分量推广（Yajima-Oikawa-Tasgal-Potasek模型）和（2+1）维推广的双线性化和多孤子公式。
2003-05-16 nlin.SI
The Fokas method to the Sasa-Satsuma equation on the half-line
给出了Sasa-Satsuma（SS）方程：$iq_T+\frac{1}{2}q_{XX}+|q|^2q+i\eps (q_{XXX}+6|q|^2q_X+3q(|q|^2)_X)=0$在半直线上的初边值问题的Riemann-Hilbert问题形式.本文还分析了这种关系的全局性。
2013-04-16 nlin.SI
The Sasa--Satsuma (complex mKdV II) and the complex sine-Gordon II equation revisited: recursion operators, nonlocal symmetries, and more
我们发现了一个新的辛结构和一个递归算子的Sasa-萨摩方程广泛应用于非线性光学，$$ p_t=p_{xxx}+6 p q p_x+3 p (p q)_x,\quad q_t=q_{xxx}+6 p q q_x+3 q (p q)_x, $$连同一个积分-微分替代连接这个系统的三阶广义对称的复杂sine-Gordon II系统$$ u_{xy}=\frac{v u_x u_y}{u v + c} + (2 u v + c)(u v + c) k u,\qquad v_{xy}=\frac{u v_x v_y}{u v + c} + (2 u v + c)(u v + c) k v, $$，其中$c$和$k$是任意常数。结合这两个结果产生一个高度非局部的遗传递归算子和更高的哈密顿结构的复杂sine-Gordon II系统。我们还证明了Sasa-Satsuma方程和复sine-Gordon II系统的三阶演化对称流都是双Hamilton系统，并为这些系统构造了几个局部和非局部对称性的谱系.
2007-02-26 hep-th math-ph math.MP
Asymptotics for the Sasa--Satsuma equation in terms of a modified Painlevé II transcendent
本文考虑了Sasa-Satsuma方程在衰减初值下的初值问题。使用Riemann-Hilbert公式和最速下降参数，我们计算的解决方案在扇区$|x| \leq M t^{1/3}$，$M$常数的长时间渐近。事实证明，渐近性可以用修正的Painlevé II方程的解来表示。标准Painlevé II方程与$2 \times 2$矩阵Riemann-Hilbert问题相关，而此修改的Painlevé II方程与$3 \times 3$矩阵黎曼-希尔伯特问题相关。
2019-03-12 math.AP nlin.SI
W-shaped solitons generated from a weak modulation in the Sasa-Satsuma equation
我们重新讨论了Sasa-Satsuma方程的有理解，它可以用来描述具有高阶效应的非线性光纤中光场的演化。我们发现了一个既包含调制不稳定性又包含调制稳定性的动力学过程，与之前报道的分别包含调制不稳定性和调制稳定性的流氓波和W形孤子不同.结果表明，在连续波背景下，弱调制信号可以产生稳定的W型孤子。这为从低强度连续波背景中获得稳定的高强度脉冲提供了可能。
2015-05-08 nlin.PS nlin.SI
Stability and instability of breathers in the $U(1)$ Sasa-Satusuma and Nonlinear Schrödinger models
我们考虑Sasa-Satsuma（SS）和非线性薛定谔（NLS）方程沿直线，在1+1维。这两个方程都是正则可积的$U(1)$模型，具有孤子、多孤子和呼吸子解，例如见Yang。对于这两个方程，我们认识到四个不同的本地化呼吸模式：Sasa-Satsuma的SS，和NLS的Satsuma-Yajima，Kuznetsov-Ma和Peregrine呼吸。关于这些解的稳定性知之甚少，主要是因为它们的复结构不符合Grillakis-Shatah-Strauss的经典孤子行为。在本文中，我们找到了自然的$H^2$变分特征，并证明了Sasa-Satsuma呼吸子是$H^2$非线性稳定的，改进了先前由Pelinovsky和Yang证明的线性稳定性。此外，在SS的情况下，我们提供了另一种理解的SS解决方案作为一个呼吸，而不仅仅是作为一个嵌入的孤子。证明的方法是基于使用一个基于$H^2$的李雅普诺夫功能，在精神的第一和第三作者，这个时候扩展到向量值的情况下。我们还提供了另一个严格的理由，其余三个非线性模式（萨摩，矢岛，Peregrine y库兹涅佐夫-马）的不稳定性，在其相应的线性变分结构的研究（作为临界点的一个合适的李雅普诺夫泛函）的基础上，并补充最近证明的不稳定性结果，例如在一份文件中由第三作者。
2021-02-22 math-ph math.AP math.MP
Soliton solutions, Liouville integrability and gauge equivalence of Sasa Satsuma equation
本文证明了Sasa Satsuma方程（SSE）在Liouville意义下的精确可积性，并证明了其存在无穷多个守恒律。通过求解相应的3 × 3 Lax算子的Riccati方程，得到了守恒量关于场的显式表示.利用Hirota的双线性方法构造了孤子解，特别是单孤子解和双孤子解。单孤子解也与逆散射法的结果进行了比较。本文利用广义Landau Lifshitz方程的显式构造，建立了SSE与广义Landau Lifshitz方程的规范等价性。
1999-04-24 nlin.SI solv-int
Anti-dark and Mexican-hat solitons in the Sasa-Satsuma equation on the continuous wave background
本文利用达布变换方法，对描述飞秒脉冲在单模光纤中传输的Sasa-Satsuma方程，构造了新的解析孤子解。我们发现，两种不同类型的飞秒孤子，即，反暗孤子（AD）和墨西哥帽孤子（MH）可以在连续波（CW）背景下形成，数值研究了它们在小扰动下的稳定性。与一般的亮孤子和暗孤子不同，AD孤子和MH孤子不仅可以表现出共振相互作用和弹性相互作用，还可以表现出由这两种基本相互作用组成的各种部分/完全非弹性相互作用。另外，我们还发现，某些相互作用孤子与CW背景之间的能量交换可能导致一个AD孤子变为MH孤子，或者一个MH孤子变为AD孤子。
2015-02-04 nlin.SI
Partial-rogue waves that come from nowhere but leave with a trace in the Sasa-Satsuma equation
部分异常波，即，波“无处可去，但留下了痕迹”，解析预测和数值证实了Sasa-Satsuma方程。我们表明，在一类合理的解决方案，在这个方程中，可以表示通过3-约化Schur多项式的行列式，部分流氓波会出现，如果这些合理的解决方案是一定的顺序，其中相关的广义冈本多项式有实根，但不是虚根，或虚根，但不是实根。我们进一步表明，在大的负时间，这些部分流氓波接近恒定振幅的背景，但在大的正时间，他们分裂成几个基本的有理孤子，其数量是由在底层的广义冈本多项式的实根或虚根的数量决定。我们的渐近预测相比，真正的解决方案，并观察到良好的协议。
2022-10-07 nlin.PS nlin.SI
The unified transform method for the Sasa-Satsuma equation on the interval
给出了有限区间上Sasa-Satsuma（SS）方程初边值问题的Riemann-Hilbert问题形式.假设该解决方案是可行的，我们表明，这个解决方案可以表示在一个$3\times 3$黎曼希尔伯特问题的解决方案。相关的跳跃矩阵是明确地给出的三个矩阵值谱函数$s(k)$，$S(k)$和$S_L(k)$，这又被定义的初始值，边界值在$x=0$和边界值在$x=L$，分别。然而，对于适定问题，只能指定部分边界值，其余边界数据不能独立指定，而是由所谓的全局关系确定。在这里，我们分析的整体关系来表征未知的边界值在给定的初始和边界数据。
2015-12-21 nlin.SI
A new two-component sasa-satuma equation: large-time asymaptotics on the line
本文研究与四阶Lax对相关的新二分量Sasa–Satsuma方程，通过矩阵Riemann–Hilbert问题和非线性最速下降法刻画其直线初值问题的长时间渐近分区。
2023-09-28 math-ph math.MP nlin.SI
A simple-looking relative of the Novikov, Hirota-Satsuma and Sawada-Kotera equations
本文研究了与Novikov方程、Hirota-Satsuma方程和Sawada-Kotera方程有不同联系的、看起来很简单的标量可积方程$f_{xxt} - 3(f_x f_t - 1) = 0$.对于这个方程，我们提出了一个拉克斯对，一个贝克隆变换，孤子和合并孤子的解决方案（一些表现出不稳定性），两个无限层次的守恒律，一个无限层次的连续对称性，Painlevé系列，一个缩放减少到三阶常微分方程和Painlevé系列，和Hirota形式（进一步多孤子解决方案）。
2019-05-06 math-ph math.MP nlin.SI
Squared Eigenfunctions for the Sasa-Satsuma Equation
Squared eigenfunctions are quadratic combinations of Jost functions and adjoint Jost functions which satisfy the linearized equation of an integrable equation. In this article, squared eigenfunctions are derived for the Sasa-Satsuma equation whose spectral operator is a $3\times 3$ system, while its linearized operator is a $2\times 2$ system. It is shown that these squared eigenfunctions are sums of two terms, where each term is a product of a Jost function and an adjoint Jost function. The procedure of this derivation consists of two steps: first is to calculate the variations of the potenti…
2009-02-07 nlin.SI
Vector Akhmediev Breathers and State Transitions in the Degenerate and Nondegenerate Regimes for the Coupled Sasa-Satsuma System
School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University（华北电力大学数理学院）
针对耦合Sasa-Satsuma系统，研究其简并与非简并 regime下的矢量Akhmediev呼吸子，分析三种波数构型的特性，揭示简并与非简并区域的模式交叉现象，通过解析与数值方法验证相关结论。
2026-08-20 nlin.PS nlin.SI
The Sasa-Satsuma equation with non-vanishing boundary conditions
本文主要研究具有$3\times 3$矩阵谱和非零边界条件的Sasa-Satsuma方程的逆散射变换。为了避免特征值的多值性，我们引入了一个合适的两片Riemann曲面，将原始谱参数$k$映射为单值参数$z$。详细分析了SS方程的Jost本征函数和拉克斯对散射系数的解析性。根据本征函数和散射系数的解析性，将$z$复平面划分为四个解析区域$D_j, \ j=1, 2, 3, 4$ .由于Jost本征函数的第二列在$D_{j}, \ j=1, 2, 3, 4$中是解析的，但在上半或下半平面中，我们引入了某些辅助本征函数，这些辅助本征函数对于导出$D_{j}$中的解析本征函数是必要的。我们发现，对于本征函数，散射系数和辅助本征函数都具有三种对称性，这三种对称性表征了离散谱的分布。系统地导出了本征函数、辅助本征函数和散射系数的渐近性质。然后建立了一个与非零渐近边界条件问题相联系的具有四种跳跃条件的矩阵Riemann-Hilbert问题，并利用相应的重构公式得到了该问题的$N$ -孤子解.明确给出了无反射孤子解。作为$N$ -孤子公式的应用，我们根据离散谱的分布给出了三种单孤子解。
2019-12-28 nlin.SI
General soliton solutions to the coupled Hirota equation via the Kadomtsev-Petviashvili reduction
本文利用 Kadomtsev-Petviashvili 约化方法构造耦合 Hirota 方程的多种孤子解，并以更简洁的 N×N 行列式给出 Sasa-Satsuma 方程的亮、暗孤子，揭示其一、二阶解的动力学分类及碰撞导致的类型转变。
2025-02-18 math-ph math.MP nlin.SI
Interaction properties of complex mKdV solitons
研究了mKdV方程的两个U（1）不变可积推广的Hirota方程和Sasa-Satsuma方程的复孤子相互作用性质，这两个方程具有相同的行波解（单孤子解），具有由恒速和恒相角表征的{ \em sech}分布.对于这两个方程，非线性相互作用，其中一个快速孤子与一个缓慢的孤子碰撞所示的2-孤子的解决方案，可以有三种不同类型的相互作用的配置文件，这取决于速度比和相对相位角的个别孤子来描述。在所有的情况下，孤立子的形状和速度被发现保存除了在位置上的移动，使他们的动量中心以恒定的速度移动。此外，对于Hirota方程，快孤子和慢孤子的相位角保持不变，而对于Sasa-Satsuma方程，相位角发生了变化，使得快孤子和慢孤子的相对相位改变了符号.
2011-06-20 math-ph math.MP nlin.SI
Pole Dynamics, Linearization, and Perturbations of the Satsuma--Mimura Equation
North China Electric Power University（华北电力大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Nanjing Normal University（南京师范大学）
研究Satsuma-Mimura方程代数孤子解的极点动力学，分析三种扰动：u_x扰动保持精确可线性化，u_xx扰动通过缩放变换简化，Hu_xx扰动则导出扰动方程并数值模拟。
2026-07-14 nlin.SI
On real and imaginary roots of generalised Okamoto polynomials
本文推导了广义Okamoto多项式实根与虚根个数的精确公式，并据此给出Sasa-Satsuma方程的部分怪波列表及第四Painlevé方程在实轴或虚轴上无极点的有理解族，同时提出一种基于Bäcklund变换的奇点分布算法化程序。
2024-02-24 math-ph math.CA math.MP
Darboux Wronskian solutions of Ito typed coupled KdV equation with exact solitonic solutions and conserved densities
本文在Darboux框架下推导Ito型耦合KdV方程的Wronskian形式的N重Darboux变换，获得零背景下精确多孤子解，并推导含守恒密度的连续性方程。
2023-05-16 math-ph math.MP nlin.SI
Non-local symmetries of the Hirota-Satsuma coupled KdV system and their applications
从Hirota-Satsuma耦合KdV（HS-cKdV）系统的已知达布变换（DT）推导出非局部对称性，并通过引入一些内部参数获得了无限多个非局部对称性。通过将HS-cKdV系统推广到一个含有五个因变量的辅助系统，我们发现这种推广使DT相关的非局部对称性局部化。在此基础上，计算了HS-cKdV系统的有限对称变换和局部对称的相似约化，得到了新的精确解.这些解包含了通过有限对称变换从旧解中得到的新解，以及通过相似约化得到的孤子与包括椭圆余弦波和Painlevé波在内的其它复杂波相互作用的精确解。从两个方面得到了与DT相关的非局部对称性的可积模型：引入内参数得到的负HS-cKdV族和通过限制对称性约束得到的低维和高维可积模型.
2013-01-03 nlin.SI
On a class of rational and mixed soliton-rational solutions of Toda lattice
利用Ablowitz和Satsuma的方法，得到了Toda格点满足某些Backlund变换的一类有理解和一类wronskian形式的混合有理孤子解（拟孤子）.还发现了一个扩展类的合理的解决方案，使用适当的递归关系。它们也是Boussinesq方程的解，并证明了这两个方程存在更大类的公共解。
1996-05-28 nlin.SI solv-int
Integrable discretizations of derivative nonlinear Schroedinger equations
通过构造拉克斯对，提出了Kaup-Newell方程、Chen-Lee-Liu方程和Gerdjikov-Ivanov方程等微分非线性Schroedinger（DNLS）方程的可积离散.离散DNLS系统允许两个因变量之间的复共轭的减少，并具有双哈密顿结构。通过变量变换和约化，我们得到了非线性Schroedinger（NLS）、修正KdV（mKdV）、混合NLS、矩阵NLS、矩阵KdV、矩阵mKdV、耦合NLS、耦合Hirota、耦合Sasa-Satsuma和Burgers方程的新的可积离散.我们还讨论了sine-Gordon方程的可积离散化，大量的Thirring模型及其推广。
2002-08-28 hep-th math-ph math.AP
Nonlocal symmetry, Darboux transformation and soliton-cnoidal wave interaction solution for the shallow water wave equation
在经典的浅水波理论中，在Boussinesq近似下存在两个可积的一维浅水波方程[Hirota-Satsuma（HS）型和Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）型].本文主要研究AKNS型可积SWW方程。从它的拉克斯对出发，导出了平方谱函数形式的非局部对称性。通过引入任意的谱参数，得到了大量的非定域对称性。这些非局部对称性可以局部化，并将SWW方程推广到含有辅助因变量的扩大系统。然后通过求解初值问题，得到了系统的达布变换。得到了与非局部对称性和显式群不变解相关的相似约化。结果表明，孤立子与椭圆余弦波相互作用的解可以解析地得到，它表示孤立子处于椭圆余弦周期波背景上。用图形显示了孤子与椭圆余弦周期波相互作用解的有趣特征。
2017-03-28 math-ph math.DS math.MP
Nonlocal KdV Equations
写的Hirota-Satsuma（HS）系统的方程的对称形式，我们发现它的本地和新的非本地的减少。结果表明，HS系统的所有约化都是Korteweg-de Vries（KdV）、复KdV和新的非局部KdV方程。利用Hirota双线性化方法得到了这些KdV方程的单孤子解。
2020-04-15 nlin.SI
A multiple exp-function method for nonlinear differential equations and its application
提出了一种求非线性偏微分方程多重波解的多重指数函数法。该方法是面向易于使用和计算机代数系统的能力，并提供了一个直接和系统的解决方案的过程，推广广田的扰动计划。借助于Maple，将该方法应用于$3+1$维势Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程，得到了精确的显式1波、2波和3波解，其中包括1孤子、2孤子和3孤子型解.两种情况下，所涉及的参数的具体值绘制的2波和3波的解决方案。
2010-10-16 math-ph math.MP nlin.SI
Oscillatory solitons of U(1)-invariant mKdV equations I: Envelope speed and temporal frequency
研究了修正Korteweg-de Vries方程的两个U（1）不变可积推广形式（Hirota方程和Sasa-Satsuma方程）的谐波调制复孤立波，它是包络孤立波的一种推广形式（本文称之为振荡孤立波）.这两个方程的双线性配方是用来推导出的振荡1-孤子和2-孤子的解决方案，然后写出来的物理形式参数化的速度，调制频率和相位。根据调制频率的不同，振荡波（1-孤子）的速度可以是正的、负的或零，与普通孤子的严格正速度相反。当速度为零时，振荡波是时间周期性的驻波。导出了振荡1-孤子的振幅和相位的性质。振荡2-孤子的图形描述的情况下，两个振荡1-孤子的碰撞速度是不同的。在等速度的特殊情况下，振荡的2-孤子被证明是减少到谐波调制呼吸波。
2015-11-20 nlin.SI
Novel Localized Waves in a Two-mode Nonlinear Fiber with High-order Effects
利用达布变换方法研究了Sasa-Satsuma耦合方程在非零背景下的有理解，其中考虑了三阶色散项、自频移项和描述三次非线性项的自陡修正项.我们发现在耦合系统中出现了一些新的局域波，如暗-反暗孤子对、W形孤子、暗W形孤子以及它们的组合局域波。结果表明，在具有这些高阶效应的双模光纤中，存在着丰富的新型局域波，这将激发相关物理系统的实验实现。
2013-12-13 nlin.PS nlin.SI
The coupled Schodinger hierarchy associated with third-order algebraic curves and algebro-geometric solutions
通过引入Lenard递推方程，我们导出了与Manakov系统和Sasa-Satsuma系统相关联的一般耦合非线性$\mathrm{\ddot{o}}$ dinger（CNLS）族.基于CNLS族的Lax矩阵的特征多项式，得到了算术亏格$m-2$的一条三阶代数曲线$\mathcal{K}_{m-2}$，并由此建立了相应的Baker-Ahhiezer函数、亚纯函数以及Dirichlet和Neumann因子模拟的Dubrovin型方程.利用这些结果和代数曲线理论，我们得到了整个CNLS族的Baker-Ahhiezer函数、亚纯函数，特别是代数几何解的显式theta函数表示.
2012-04-25 nlin.SI
Oscillatory solitons of U(1)-invariant mKdV equations II: Asymptotic behavior and constants of motion
Hirota方程和Sasa-Satsuma方程是修正Korteweg-de Vries方程的U（1）不变可积推广。这两个概括承认振荡孤子，它描述了谐波调制的复杂孤立波参数化的速度，调制频率和相位。根据调制频率的不同，振荡波（1-孤子）的速度可以是正的、负的或零，与普通孤子的严格正速度相反。当速度为零时，振荡波是时间周期性的驻波。具有非零波速的振荡2-孤子描述了同向运动的快波和慢波的超越碰撞，或两个相反方向运动的波的迎头碰撞。当一个波的速度为零时，振荡的2-孤子描述的碰撞中，一个移动的波超过一个驻波。使用移动坐标的渐近分析表明，在所有的碰撞中，速度和调制频率的个别波被保存，而相位和位置进行移位，使两个波的动量中心以恒定的速度移动。讨论了碰撞波非线性相互作用的主要运动常数及其它一些特征。
2015-11-20 nlin.SI
Smooth multisoliton solutions and their peakon limit of Novikov's Camassa-Holm type equation with cubic nonlinearity
本文考虑具有立方非线性项的Novikov Camassa-Holm型方程。特别是，我们提出了一个紧凑的参数表示的光滑明亮的多解的解决方案，在一个恒定的背景和调查他们的结构。我们发现，与解决方案的tau函数是密切相关的模型方程的浅水波（SWW）介绍广田和萨摩。这个新的功能是通过应用倒易变换诺维科夫方程。我们还表明，通过指定一个复杂的相位参数，光滑孤子转换成一个新的奇异孤子的单尖和双峰。我们表明，光滑和奇异孤子收敛到一个峰值的背景场趋于零，从而我们采用了一种方法，已开发的多孤子解决方案的Camassa-Holm方程进行类似的限制程序。在随后的两个和$N$ -孤子解的渐近分析中，我们证实了它们的孤子行为。值得注意的是，孤子的相移公式以及它们的峰子极限与Degasperis-Procesi方程的公式在形式上一致。最后，利用Novikov方程解与SWW方程解之间的关系，得到了Novikov方程的无穷多个守恒律。在附录中，我们证明了与SWW方程多孤子解的τ-函数相关的各种双线性恒等式。
2013-08-22 nlin.SI
Curve Flows in Lagrange-Finsler Geometry, Bi-Hamiltonian Structures and Solitons
应用Riemann-Finsler几何方法研究了由正则Lagrange量几何导出的孤子方程的双Hamilton结构和相关的mKdV族，以及切丛中非伸缩曲线的流动.由Lagrange半射诱导正则非线性联络（N-联络）、Sasaki型度量和线性联络定义了曲线的全空间几何和非完整流.这种几何的最简单的例子是黎曼对称空间$G/SO(n)$上的切丛，它具有N-联络结构和适应度量，我们对它进行了完整的分类，以及具有常数Hessian的广义Lagrange空间。在这种方法中，双哈密顿结构推导出几何力学模型和（伪）黎曼度量在重力。结果产生水平/垂直对向量sine-Gordon方程和向量mKdV方程，与相应的几何曲线流的层次结构中描述的显式形式的非完整波映射和mKdV类似物的非完整薛定谔映射的切丛。
2008-10-06 gr-qc hep-th math-ph
Symmetry Reductions and Exact Solutions of Shallow Water Wave Equations
本文研究了浅水波方程$$u_{xxxt} + αu_x u_{xt} + βu_t u_{xx} - u_{xt} - u_{xx} = 0,\eqno(1)$$的对称约化和精确解，其中$α$和$β$是任意的非零常数，可以用Boussinesq近似导出.文献中讨论了该方程的两种特殊情况，或通过设置$u_x=U$得到的等效非局部方程。Ablowitz、Kaup、Newell和Segur [{ \it Stud.]讨论了病例$α=2β$。应用程序\数学}，{ \bf 53}（1974）249]，他证明了这种情况可以通过二阶线性问题的逆散射来解决。Hirota和Satsuma [{ \it J.\}]研究了该病例和病例$α=β$。物理学\ Soc.\ Japan}，{ \bf 40}（1976）611]使用Hirota的双线性技术。此外，情况$α=β$是可解的逆散射通过一个三阶线性问题。本文利用经典Lie方法和Bluman和Cole [{ \it J.\数学。机械，{ \bf 18}（1969）1025]。经典的Lie方法得到了（1）的对称约化，可表示为第一、第三和第五\p \超越和Weierstrass椭圆函数.非经典方法产生了大量的具有$α=β$的（1）的精确解，这些解具有丰富的定性性质.对于$t<0$，这些解都类似于一个双孤子解，但对于$t>0$，这些解完全不同，它们可以看作是两个…
1994-09-23 nlin.SI solv-int
