On card guessing after an asymmetric single-shelf shuffle
University of Southern California（南加州大学）；University of Applied Sciences - Technikum Wien（维也纳应用科技大学）；New York University, Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校）
研究非对称单架洗牌后猜牌游戏，明确最优策略并运用解析组合学方法研究正确猜测数量，找出其分布、均值和方差，证明对数凹性及极限行为、相变等，此前\(p = 1/2\)特殊情况研究较局限。
2026-07-14 math.CO math.PR
The Card Guessing Game: A generating function approach
考虑一个具有完全反馈的猜牌游戏，其中一副按$1,\dots, n$排序的$n$牌被随机洗牌一次。为了最大化正确猜测的数量，玩家在最优策略下从牌堆顶部一次一张地猜测牌，直到没有牌剩下。我们提供了一个表达式，表示具有任意数量项的正确猜测的预期数量，比Liu（2021）的结果更准确。此外，利用生成函数，我们给出了一个统一的框架，系统地计算高阶矩。尽管将该框架扩展到$k\geq2$洗牌并不直接，但我们能够解决Bayer和Diaconis（1992）中描述的长期存在的McGrath的最优策略，证明$k=1$洗牌的最佳猜测策略不一定适用于$k\geq2$洗牌。
2022-07-21 math.CO
On Card guessing with two types of cards
我们考虑一堆有两种不同类型的牌的牌的猜测策略，比如红色类型的$m_1$牌（心形或菱形）和黑色类型的$m_2$牌（梅花或黑桃）。给定一副$M=m_1+m_2$牌，我们提出了一个精确的计数正确的颜色猜测的数量，当猜测者提供了完整的信息，换句话说，当数字$m_1$和$m_2$和颜色的每个绘制卡是已知的。我们分解成三种不同类型的正确猜测卡考虑到作出正确猜测的概率，并提供联合分布的结果，为基础的随机变量以及联合极限定律。
2023-03-08 math.CO math.PR
No-feedback Card Guessing Game: Moments and distributions under the optimal strategy
依赖于最佳的猜测策略最近发现的无反馈卡猜测游戏与$k$时间洗牌，我们推导出一个精确的，封闭形式的公式，预期的正确猜测数和更高的时刻为$1$时间洗牌的情况下。我们的方法利用快速生成函数的基础上的递归关系，重叠阶段的方法，和插值。对于$k>1$ -时间洗牌，我们通过一个自包含的组合证明建立了正确猜测的期望数量。证明结果是对Krityakierne和Thanatipanonda（2022）中列出的一个开放问题的回答，要求对其中引入的生成函数对象进行组合解释。
2022-09-17 math.CO
Cutoff for random to random card shuffle
本文利用随机到随机洗牌的特征值证明了全变差混合时间的一个精确上界。结合Subag给出的下界，证明了该步在$\frac{3}{4} n \log n - \frac{1}{4}n\log\log{n}$处有截止，窗口为$n$，回答了Diaconis的一个猜想.
2018-12-12 math.CO math.PR
Probabilistic and Combinatorial Aspects of the Card-Cyclic to Random Insertion Shuffle
将排列$σ\in S_n$视为编号为1至$n$并排成一行的一副牌，其中$σ_j$表示位于从左起第$j$位置的牌的编号。\rm \我们研究了$S_n$上洗牌的一些概率和组合方面，这种洗牌是通过移除然后随机重新插入每张$n$卡一次来定义的，移除和重新插入是根据卡的原始从左到右顺序执行的。这种非标准洗牌的新奇之处在于，每张牌都只被取出和重新插入一次。事实证明，仍然存在的偏见相当强烈，并具有一些令人惊讶的特征。
2012-02-09 math.CO math.PR
Card guessing and the birthday problem for sampling without replacement
本文研究允许重复数字的随机牌堆中猜牌游戏的期望正确次数，建立了最优与最差策略下的精确渐近公式，并借助Stein方法解决无放回抽样生日问题，从而回答了Diaconis等人提出的问题。
2021-08-16 math.CO math.PR
Card Guessing with Partial Feedback
研究部分反馈下猜牌实验的期望正确次数，证明上限为 $m+O(m^{3/4}\log m)$，解决1981年开放问题。
2022-07-18 math.CO math.PR
Riffle shuffles of a deck with repeated cards
我们研究了Gilbert-Shannon-Reeds的洗牌模型，并问：“一副牌要洗多少次才能接近随机顺序？”'. 1992年，Bayer和Diaconis给出了一个解决方案，该解决方案对所有实际感兴趣的牌组（例如52张牌组）给出了精确和渐近的结果。但是如果一个人只关心卡片的颜色或者忽视只关注等级的花色呢？更一般地说，如果我们只对某些特征感兴趣，马尔可夫链的收敛速率会如何变化？我们对这个问题的探索使我们通过随机游动的群体和他们的陪集，发现沿途精确的公式导致有趣的组合，一个“惊人的矩阵”，和新的分析方法，产生一个完全一般的渐近解，是显着的准确。
2009-05-28 math.CO math.PR
Riffle shuffles of decks with repeated cards
根据Bayer和Diaconis的一个众所周知的结果，普通随机洗牌的最大熵模型意味着混合一副52张牌的标准牌所需的随机洗牌的数量是7或11--当用于定义混合的度量是全变差距离时应用前一个数字，而当它是分离距离时应用后一个数字。这个结果和其他相关的结果假设这副牌中的所有52张牌都是不同的，并且要求这副牌中的所有$52!$排列几乎同样可能被认为是混合良好的。在许多情况下，不是所有的牌都是不同的，只有发给玩家的牌组，而不是发给每个玩家的顺序，需要是随机的。我们推导出转移概率下洗牌与重复卡甲板之间，以涵盖刚才所描述的类型的一些实例。我们集中在所有卡片都被标记为1或2的套牌上，并描述具有$1,...,1,2,...,2$或$1,2,...,1,2$形式的对称起始套牌的后果。最后，我们考虑常见纸牌游戏的混合时间。
2006-05-25 math.CO math.PR
Guessing cards with complete feedback
我们考虑以下游戏，它被用作测试超感知觉（ESP）的方法。给一副$mn$牌，这副牌由$n$不同的类型组成，每种类型都精确地出现$m$次：将这副牌洗牌，然后从上到下一次一张地从这副牌中丢弃。在每一步，一个玩家（其精神力量正在被测试）试图猜测当前在顶部的卡的类型，然后在被丢弃之前向玩家显示。我们研究了玩家可以做出的正确预测的预期数量$S_{n,m}$：人们总是可以猜测完全相同类型的卡，这表明人们可以实现$S_{n,m}>m$。我们证明，最佳（非心理）的战略是略好于，并找到一阶校正时，$n, m$增长在适当的速度。这与$m$固定且$n$较大的情况（He & Diaconini）非常不同，与固定的$n$且$m$较大的情况（Graham & Diaconis）类似。案例$m=n$回答了Diaconis的一个问题。
2022-11-16 math.CO math.PR
Cyclic to Random Transposition Shuffles
将排列$σ\in S_n$视为编号为1至$n$并排成一行的一副牌，其中$σ_j$表示从左起第$j$个位置的牌的编号。\rm \我们定义了两个循环到随机换位的混洗。第一种方法的工作原理如下：对于$j=1,..., n$，在第$j$ -步，将原来是\it的卡片转置为\rm \从左数第$j$ -步，随机选择一张卡片（可能是它自己）。第二次洗牌的工作原理如下：在第$j$步，将从左起第$j$位置的\it当前为\rm \的卡与随机卡（可能是它自己）换位。对于这些洗牌，对于每个$b\in[0,1]$，我们明确地计算$x,0\le x\le1$的极限重标密度函数，即数字在$bn$周围的卡片最终在$xn$周围的位置的概率，对于每个$x\in[0,1]$，我们计算$b,0\le b\le 1$的极限重标密度函数，即在$xn$周围的位置的卡片将是数字在$bn$周围的卡片的概率。这些密度函数在$x=b$处都有一个不连续点，对于它们中的每一个，密度的上确界都是通过从一侧逼近不连续点来获得的，对于参数的某些值，密度的下确界都是通过从另一侧逼近不连续点来获得的。
2012-04-10 math.CO math.PR
Shuffles on Coxeter groups
随机到顶和洗牌是两个很好的研究方法洗牌一副牌。这些对应于对称群$S_n$，即，$A_{n-1}$型Coxeter组。本文给出了$B_n$和$D_n$型Coxeter群的类似重排.这些可以被解释为在一副“签名”的牌上洗牌。有了这些例子作为动机，我们抽象的概念，一个洗牌代数捕捉之间的连接的代数结构的洗牌和几何的Coxeter群。我们还简要讨论了推广到建筑物，导致q-类似物。
2001-08-13 math.CO math.PR
A Card Shuffling Analysis of Deformations of the Plancherel Measure of the Symmetric Group
通过将对称群的Plancherel测度提升到对称群，并利用洗牌的组合学方法，研究了它们的变形。现有的分析Plancherel测度变形的方法显然不适用于本文的例子。本文的主要思想是找到并分析一个关于分条洗牌迭代与“先切后分条洗牌”迭代之间的全变差距离的公式。类似的结果给出仿射洗牌，这使我们能够确定其收敛速度的随机性。
2003-02-25 math.CO math.PR
What is the Perfect Shuffle?
当洗一副牌时，人们可能想确保它被彻底洗过。一种方法是通过筛选卡，以确保没有相邻的卡是相同的数字，因为肯定这是一个糟糕的洗牌甲板。不幸的是，人类对概率的直觉往往会把我们引入歧途。对于一副标准的52张牌的扑克牌来说，这个事件实际上是极有可能发生的。这篇报告将试图阐明如何回答这个令人惊讶的困难的组合问题直接使用车多项式。
2019-11-15 math.CO
Random orderings of the integers and card shuffling
本文研究具有一定不变性的整数的随机排序。我们以简单的方式描述所有这些订单。我们定义和表示随机洗牌的可数集的标签，然后给出这些订单的一类广义riffle洗牌的解释。
2005-08-19 math.CO math.PR
Automorphism Shuffles for Graphs and Hypergraphs and Its Applications
在基于卡片的密码学中，一副物理卡片用于实现安全计算。洗牌，随机置换卡序列与一些概率分布，确保安全的卡为基础的协议。作者提出了一类新的洗牌称为图洗牌，它通过有向图的自同构随机排列卡片序列（新一代计算2022）。对于具有$n$顶点和$m$边的有向图$G$，这样的混洗可以用具有$2(n+m)$卡的堆置乱混洗来实现。在本文中，我们研究了图洗牌，并给出了一个实现，一个应用程序，和一个轻微的推广。首先，我们提出了一个新的协议，图洗牌与$2n+m$卡。其次，作为图洗牌的一个新的应用，我们证明了任何循环群洗牌，这是一个循环群上的洗牌，是一个图洗牌与一些图。第三，我们定义了一个超图洗牌，这是一个由超图的自同构洗牌，并表明任何超图洗牌也可以实现堆乱洗牌。
2022-06-02 cs.CR math.CO
Optimal complete-feedback card guessing under nonincreasing valley weights: A proof of the Diaconis-Fulman-Holmes shelf-shuffling conjecture
School of Data Science, Fudan University（复旦大学数据科学学院）
该论文证明了Diaconis-Fulman-Holmes关于货架洗牌后方向跟踪策略最优的猜想，通过更一般的非递增谷权重定理，利用保持前缀的相邻交换，最大化条件概率与期望正确猜测数。
2026-09-23 math.CO math.PR
Limit theorems for descents and inversions of shelf-shuffles
University of Southern California（南加州大学）
针对货架洗牌产生的排列，证明了下降次数和逆序数的中心极限定理，并给出了逆序收敛速度的与货架数无关的界。
2026-06-17 math.CO math.PR
Online Card Games
考虑下面的一个玩家游戏。随机均匀地洗牌包含$n$不同卡片类型的$m$拷贝的一副卡片。每一轮玩家都要尝试猜测牌组中的下一张牌，然后这张牌就会被显示并丢弃。Diaconis、Graham、He和Spiro证明，如果$m$是固定的，那么玩家可以达到的正确猜测的最大期望数量是渐近于$H_m \log n$，其中$H_m$是$m$的第三谐波数。在本文中，我们考虑这个游戏的对抗版本，其中第二个玩家根据一些（可能是非均匀的）分布洗牌。我们证明了洗牌者的某种贪婪策略是这个博弈中唯一的最优策略，并且对于固定的$m$，猜测者最多能渐近地获得$\log n$期望的正确猜测.
2021-07-17 math.CO math.PR
Extremal expectations in card guessing with partial feedback: proofs of two conjectures of Diaconis-Graham-Spiro
School of Data Science, Fudan University（复旦大学数据科学学院）
本文证明 Diaconis-Graham-Spiro 关于部分反馈猜牌中最小与最大期望得分的两个猜想，给出精确界并揭示其渐近行为。
2026-09-23 math.CO math.PR
Hitting-time mixing for the star transposition shuffle
Princeton University（普林斯顿大学）；Stony Brook University（石溪大学）
该研究针对对称群Sₙ上的星置换洗牌，证明其在非顶牌首次被全部选中的时刻τ渐近混合，总变分距离有上界，通过与随机置换洗牌对比的方法引入了适用于非共轭不变洗牌的技术。
2026-08-17 math.CO math.PR
Shuffling by semi-random transpositions
在循环随机洗牌中，我们有n张牌排列成一个圆圈。在第k步，我们将第k张卡片与一张随机随机选择的卡片交换。确定循环到随机混洗的混合时间的问题是由Aldous和Diaconis在1986年提出的。最近，Mironov使用这种混洗作为称为“RC 4”的密码系统的模型，并证明了混合时间的上界为O（n log n）。我们证明了一个匹配的下界，从而建立的混合时间确实是为了$Θ(n \log n)$。我们还证明了任何"半随机换位洗牌“的混合时间的O（n log n）的上界，即，一种随机的牌与另一张根据任意（决定性的或随机的）规则选择的牌交换的洗牌。为了证明我们的下界，我们展示了一个显式的复值检验函数，它通常需要非常不同的值所产生的循环随机洗牌和均匀的随机排列的排列，我们希望这个检验函数可能是有用的，在未来的分析RC 4。也许令人惊讶的是，证明依赖于函数exp（z）-1在复平面中具有非零不动点的事实。从我们的工作中的一个关键的见解是复分析工具的重要性，在不可逆的马尔可夫链中发现结构。
2004-04-23 math.CO math.PR
Cutoff for q-deformed classical card shuffles in the type A Iwahori--Hecke algebra
Stony Brook University（石溪大学）
本文对角化q-变形k-星换位洗牌，并利用三种q-变形洗牌的谱证明它们在固定q>1时具有全变差和l^2截止，且改进了短系统扫描的上下界。
2026-11-11 math.CO math.PR math.RT
A Random Card Shuffling Process
该研究针对含n红n黑共2n张牌的随机牌组，分析通过特定移牌规则得到颜色交替牌组的平均操作次数，借助多领域数学工具将过程建模为有限马尔可夫链。
2022-06-09 math.CO math.PR
The mathematics of the flip and horseshoe shuffles
我们考虑新类型的完美洗牌，其中一副牌被分成两半，一半的甲板是“逆转”，然后卡交错。翻转洗牌是当反转来自翻转一半，所以我们还需要考虑面朝上/面朝下的配置，而马蹄洗牌是当卡的顺序颠倒，但所有卡仍然面向同一方向。我们表明，这些洗牌是密切相关的法罗洗牌，并确定了相关的洗牌组的顺序。
2014-12-30 math.CO
Graph Automorphism Shuffles from Pile-Scramble Shuffles
堆置乱是卡片密码学中最有效的置乱之一。事实上，许多基于卡片的协议都是从堆乱打乱中构建的。这篇文章的目的是研究争先赛洗牌的力量。特别是，对于任何有向图$G$，我们介绍了一个新的协议，称为“一个图洗牌协议$G$“，并表明，它可以实现通过使用堆扰洗牌。我们提出的协议需要$2(n+m)$卡，其中$n$和$m$分别是$G$的顶点数和边数。堆乱序混洗的数目是$k+1$，其中$1 \leq k \leq n$是$G$的不同顶点度数的数目。作为一个应用，$n$卡的随机切割，这也是一个重要的洗牌，可以通过$3n$卡和两个堆乱洗牌来实现。
2021-12-16 cs.CR math.CO
Shuffling large decks of cards and the Bernoulli-Laplace urn model
在纸牌游戏中，在具有多副牌的赌场游戏中以及在密码学中，人们有时会面临以下问题：人类（与计算机相对）如何洗牌一副大牌？我们研究的程序是将甲板分成几个合理大小的桩，彻底洗牌，重新组合桩，做一些简单的确定性操作，例如切割，然后重复。这个过程也可以看作是一个广义的伯努利-拉普拉斯瓮模型。我们利用耦合变元和球函数理论导出了这些马尔可夫链混合时间的上界和下界。
2016-10-08 math.CO math.PR
The $S_k$ shuffle block dynamics
该研究提出并分析了随机相邻对换洗牌的推广形式$S_k$洗牌，探究其在牌数N趋于无穷时的全变差混合时间，证明了当$k=o(N^{\frac{1}{6}})$时存在截止现象。
2023-04-05 math-ph math.CO math.MP
A look at generalized perfect shuffles
标准的完美洗牌包括将一副$2n$牌分成两叠，并将这些牌隔行排列。有两种方式可以完成这种交错，通常分别称为入混洗和出混洗。1983年，迪亚康尼斯、格雷厄姆和坎特确定了所有$n$的一副$2n$牌的进出洗牌所产生的置换群。Diaconis等人通过询问是否可以在所谓的广义完美洗牌中找到类似的结果来结束他们的工作。对于这些新的洗牌，我们将一副$mn$牌分成$m$堆栈，并类似地用入$m$ -洗牌或出$m$ -洗牌（分别表示为$I_m$和$O_m$）交错这些牌。在本文中，我们发现的结构，这两个洗牌产生的一副$m^k$卡，连同$m^y$ -洗牌，所有可能的值$m$，$k$和$y$的组。基团结构完全由$k/\gcd(y,k)$和$y/\gcd(y,k)$的宇称决定。特别地，群结构与$m$的值无关。
2020-10-10 math.CO math.GR
The identity is the most likely exchange shuffle for large n
设一副n张牌依次交换位置1，2，.的牌进行洗牌，n与卡在随机选择的位置。我们表明，对于n等于18或更大，身份置换是最有可能的。我们证明了一个令人惊讶的对称性，由此产生的分布排列。当n趋于无穷大时，我们还得到了不动点个数的极限分布。
2000-10-06 math.CO
Shuffling via sums of Jucys--Murphy Elements
Stony Brook University（石溪大学）
本文研究了一种通过对称群S_m的Jucys-Murphy元素对应的置换进行洗牌的家族，确定了这些洗牌的转移矩阵的本征值，并研究了特定情况下的混合时间，证明了k-星置换洗牌在总变差截止时具有特定的渐进行为。
2026-05-19 math.CO math.PR
Analysis of the asymmetric shelf shuffle
Division of Science, NYU Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校科学系）
研究非对称货架洗牌中排列的循环、下降数、逆序数等分布，将Diaconis-Fulman-Holmes的结果推广到任意p∈(0,1)，并首次给出p=1/2时下降和逆序分布的分析。
2026-06-17 math.CO math.PR
Top to random shuffles on colored permutations
一副$n$牌的洗牌方法是反复取下最上面的一张牌，以$1/2$的概率翻转它，然后将它插回一副牌的随机位置。这个过程可以被认为是符号置换群$B_n$上的马尔可夫链。证明了转移概率矩阵的特征值为$0,1/n,2/n,\ldots,(n-1)/n,1$，特征值$i/n$的重数等于{ \em有符号}置换中恰好有$i$不动点的个数.对于有色置换，我们也得到了类似的结果。此外，我们证明了这个马尔可夫链的混合时间是$n\log n$，与普通的“顶部到随机”洗牌没有翻转卡。利用第二类Stirling数的渐近性态分析了截断。
2023-03-14 math.CO
Unshuffling a deck of cards
本研究探究逆洗的数学原理，给出牌数为2^k时Elmsley问题推广形式的解法，还确定了2n张牌对应置换群的结构及其与完美洗牌群的关系。
2023-02-04 math.CO math.GR
Guessing Numbers and Extremal Graph Theory
对于给定的颜色数$s$，图的猜测数是图的顶点集的最大着色族的基数的（基$s$）对数，使得每个顶点的颜色可以从其邻域中的顶点的颜色确定。这个量与网络编码、电路复杂性和图熵中的问题有关。在经典极值问题的背景下，我们研究了图的猜测数作为一个图的性质，以及它与禁止子图性质的关系。对于固定的$a$，我们找到了关于具有猜测数$\leq a$的性质的极值数。此外，我们找到了一个上界的饱和数为这个属性，和一种方法来构建进一步的饱和图之间的这两个极端。我们表明，对于一个固定数量的颜色，绑定的猜测数相当于禁止一个有限集的子图。
2020-09-09 math.CO
Bell numbers, partition moves and the eigenvalues of the random-to-top shuffle in Dynkin Types A, B and D
令$B_t(n)$为大小为~ $t$的集合划分为至多$n$部分的集合划分的数目，并且令$B'_t(n)$为$\{1,\ldots, t\}$划分为至多$n$部分的集合划分的数目，使得对于任何$i \in \{1,\ldots,t-1\}$，没有部分包含$1$和~ $t$两者或者$i$和$i+1$两者。我们给出了两个新的组合解释的数字$B_t(n)$和$B'_t(n)$使用序列的随机到顶部洗牌，%，离开一副牌不变，和序列的盒移动的杨图的分区。使用这些想法，我们得到一个非常简短的证明推广的结果Phatarfod的特征值的随机到顶部洗牌。我们也证明了类似的结果随机到顶部洗牌，可能会翻转某些卡。证明使用A、B和~D型的Solomon下降代数。我们给出了本文所研究的所有组合量的母函数和渐近结果。
2015-07-16 math.CO
Cutoff for asymmetric shelf shuffle
Division of Science, NYU Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校理学院）
研究非对称搁架洗牌（每张牌以概率p放在顶部或以1-p放在底部）产生的排列分布，证明下降数和谷数构成充分统计量，并给出总变差距离、分离距离和相对熵的截止现象及显式轮廓。
2026-06-17 math.CO math.PR
The last patch for classifying shuffle groups
本文证明了当 $n$ 是 3 的倍数且非 3 的幂时群 $G_{3,3n}$ 的 2-传递性，从而完成了对所有 $k\ge2$ 和 $n\ge1$ 的洗牌群的完整分类。
2023-07-27 math.CO math.GR
Shuffling cards for blackjack, bridge, and other card games
本文是关于以下问题：有多少个洗牌混合一副卡的游戏，如二十一点和桥梁？在回答这个问题时出现的一个对象是与副牌对相关的下降多项式，其中副牌允许有重复的牌。我们证明了给定一对甲板的下降多项式的计算问题是$#P$ -完全的。我们还证明了这些多项式的系数可以近似使用钟形曲线。然而，正如必须预期的，鉴于$#P$ -完备性结果，使用钟形曲线的近似不足以回答我们的问题。我们对主要问题的一些答案是由定理支持的，而另一些答案则是基于启发式论点支持的实验。在引言中，我们仔细讨论了我们的答案的有效性。
2006-06-01 math.CO math.PR
A complete classification of shuffle groups
本文利用2-传递群及本原群中高大固定点比例元素的结果，完整证明了洗牌群猜想，即除 $k=2,4$ 且 $n$ 为 $k$ 的幂外，$G_{k,kn}$ 均包含交错群 $\mathrm{A}_{kn}$。
2024-10-14 math.CO math.GR
Matching expectations
记忆游戏是用一副n对牌来玩的。每一对的牌都是一样的。这副牌被洗过，牌面朝下。移动包括首先翻转一张牌，然后再翻转另一张牌。如果匹配，则牌被移出游戏。否则，它们将被翻转回来，下一个动作开始。游戏结束时，所有对已匹配。我们确定，当博弈以最优方式进行时，n趋于无穷大：1）期望的移动次数为（3 - 2 ln 2）n + 7/8 - 2 ln 2（大约1.61 n），2）两张匹配的卡片被无意地翻转的预期次数是ln 2，以及3）直到已经看到两张匹配的卡片为止的期望翻转次数是渐近sqrt{pi n}。
2012-08-23 math.CO math.PR
The number of correct guesses with partial feedback
我们考虑下面的游戏。具有$n$不同牌中的每一者的$m$副本的一副牌以完全随机的方式洗牌。猜牌者从上到下依次猜牌。在每次猜测之后，猜测者被告知猜测是否正确。目标是最大化正确猜测的预期数量。我们证明，如果$n= Ω(\sqrt{m})$，那么至多$m+O(\sqrt{m})$卡可以被正确地猜测。我们的结果与Diaconis，Graham和Spiro在$n=Ω(m)$时的最大期望收益的下界相匹配。
2022-12-15 math.CO math.PR
Generalizations of an Expansion Formula for Top to Random Shuffles
在顶部随机洗牌中，第一张a牌从n张牌12 \cdots n的一副牌中取出，然后插回该副牌中。这个作用可以通过把随机洗牌的顶点看作是代数Q[S_n]的一个元素B_a来研究，我们在第二节中正式定义了B_a。对于a = 1，Adriano Garsia在“On the Powers of Top to Random Shuffling”（2002）中导出了B_1 ^k对k \leq n的展开公式，尽管他对该公式的证明是非双射的。本文用双射的方法证明了任意有限积B_{a_1} B_{a_2} \cdots B_{a_k}的一个展开式，其中a_1，\ldots，a_k是正整数，由此得到了Garsia的上述公式的一个改进形式.给出了该公式在B_{a_1} B_{a_2} \cdots B_{a_k}中的一些应用，包括计数和计算概率.然后对任意群G定义了G-置换群S_n^G：= G \wr S_n，并进一步将上述展开式推广到有限群G的代数Q[S_n^G]上，同时证明了Q[S_n]中的其它类似展开式如何推广到Q[S_n^G]上。
2014-10-25 math.CO
Shuffling with ordered cards
我们考虑一个问题洗牌的一副牌有序的标签。也就是说，我们将N=k^tq张牌（其中t>=1是最大值）分成k个大小相等的堆叠，然后从每个堆叠中取出最上面的牌，并按其标签的顺序对它们进行排序，然后将它们添加到混洗的堆叠中。我们展示了如何找到一堆不变的和定期洗牌下的卡。我们还证明了当gcd（q，k）=1时，这种重排的可能周期都是k阶（N-q）的因子。
2010-03-23 math.CO
Matching adjacent cards
该研究针对标准52张牌组及k花色n点数的广义牌组，解答了同点数相邻牌的概率、平均匹配数及匹配数概率分布问题，还确定了k固定n趋于无穷时的极限分布。
2025-01-13 math.CO
Sorting permutations with pile shuffle on queue-like and stack-like piles
本文形式化了堆洗牌的三种变体（队列式、栈式及混合类型），刻画了多轮洗牌的可排序排列并给出最少堆数的高效排序公式，证明了多轮洗牌能力呈指数级增长，并指出发牌者选择使可行性判定成为 NP-Hard 问题。
2025-05-30 math.CO
Analysis of casino shelf shuffling machines
许多赌场通常使用机械洗牌机。我们被要求评估一种新产品，货架洗牌机。这导致了新的概率，新的组合学和一些实际的建议，这些建议被制造商采纳。理论，计算和现实世界的应用之间的相互作用的发展。
2013-07-23 math.CO math.PR
The odd Hummer principle
本文将1946年提出的、适用于偶数张牌洗牌的Hummer原理推广至奇数张牌场景，给出相关魔术的适配应用思路，并探讨了该领域的未来研究方向。
2023-12-13 math.CO math.HO
Simulating Simple Random Walks With a Deck of Cards
本文研究用有限且均匀花色的纸牌模拟格点对称简单随机游走时的偏差，刻画 $N=cn$ 下全变差距离的 Gaussian 极限，并给出满足误差阈值所需牌数及超几何分布向多项分布的收敛。
2024-10-02 math.CO math.PR
Cyclic Shuffle Groups: Universal Two-Transitivity and Complete Classification
Sei Labs；University of Portsmouth（朴茨茅斯大学）
该论文研究由k堆完美洗牌与循环堆置换生成的群H_{k,n}，证明其在n非k幂时为2-传递，完成H_{k,n}及含C_k的堆群P对应的Sh(P,n)的完全分类，解决相关群论猜想。
2026-08-14 math.CO math.GR
