格罗滕迪克功能积分的弗比尼定理
A Fubini Theorem for Grothendieck Functional Integrals
AI总结：
本文提出格罗滕迪克功能积分的概念，证明其具有希尔伯特空间表示定理，并通过抽象弗比尼定理证明积分顺序可交换，同时扩展到多重张量积环境。
摘要：
本文系统研究了那些范数被格罗滕迪克常数$K_G$所限制的连续线性泛函的子集，这些泛函作用在巴拿赫空间的射影张量积上。我们称这样的泛函为格罗滕迪克功能积分。积分被定义为在射影张量积空间上的线性泛函，满足有界条件$|μ(x)| \leq K_G \|x\|_π$，其中$K_G$表示格罗滕迪克常数。我们证明了此类积分具有希尔伯特空间表示定理，并建立了相应的抽象弗比尼定理，以证明积分的顺序可以互换。此外，我们将这一理论扩展到多重张量积的环境，并在具体的函数空间中提供积分表示。我们的工作为双线性与多线性分析提供了一个统一的框架，其中一个通用常数作为基本的界限。
英文摘要：
This paper systematically studies the subset of continuous linear functionals on the projective tensor product of Banach spaces whose norms are bounded by Grothendieck's constant $K_G$. We term such functionals Grothendieck functional integrals. The integral is defined as a linear functional on the projective tensor product space that satisfies the boundedness condition $|μ(x)| \leq K_G \|x\|_π$, where $K_G$ denotes Grothendieck's constant. We prove that such integrals admit a Hilbert space representation theorem and establish the corresponding abstract Fubini theorem to demonstrate that the order of integration may be interchanged. Furthermore, we extend this theory to the setting of multiple tensor products and provide integral representations in concrete function spaces. Our work offers a unified framework for bilinear and multilinear analysis, with a universal constant serving as the fundamental bound.
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