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Smoluchowski-Kramers近似长期收敛速率的Stein方法研究

Long term convergence rate of Smoluchowski-Kramers approximation by Stein's method

Wuhan University（武汉大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Macau（澳门大学）

Shiyu Liu, Wei Liu, Lihu Xu

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AI总结：

本文利用Stein方法研究Smoluchowski-Kramers近似的长期收敛速率，证明了小质量极限下的收敛速率与质量m的平方根和对数相关。

摘要：

我们考虑以下二阶随机微分方程：dX_t^m=Y_t^mdt，mdY_t^m=b(X_t^m)dt+σ(X_t^m)dB_t-Y^m_tdt，其中X^m_t和Y^m_t表示时间t时粒子的位置和速度，m>0表示其质量，b:R^d→R^d是漂移场，σ:R^d→R^{d×d}是扩散系数，{B_t}_{t≥0}是d维标准布朗运动。Smoluchowski-Kramers近似指出，当m→0时，该系统收敛到极限方程：dX_t=b(X_t)dt+σ(X_t)dB_t。利用Stein方法，我们证明了X_t^m的不变分布与其小质量极限X_t的不变分布之间的1-Wasserstein距离为O(√m|ln m|)。特别地，在一维情况下，收敛速率可以改进为O(√m)。

英文摘要：

We consider the following second-order stochastic differential equation on $\mathbb{R}^{2d}$: \begin{equation*} dX_t^m=Y_t^mdt, \quad mdY_t^m=b(X_t^m)dt+σ(X_t^m)dB_t-Y^m_tdt, \end{equation*} where $X^m_t$ and $Y^m_t$ represent the position and velocity of a particle at time $t$, $m>0$ denotes its mass, $b:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ is the drift field, $σ:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d \times d}$ is the diffusion coefficient, and $\{B_t\}_{t \ge 0}$ is a $d$-dimensional standard Brownian motion. The Smoluchowski--Kramers approximation states that as $m \rightarrow 0$, this system converges to the limiting equation: \begin{equation*} dX_t=b(X_t)dt+σ(X_t)dB_t. \end{equation*} Utilizing Stein's method, we prove that the $1$-Wasserstein distance between the invariant distribution of $X_t^m$ and that of its small-mass limit $X_t$ is of order $O(\sqrt{m}|\ln m|).$ Particularly, in the one-dimensional case, the convergence rate can be improved to $O(\sqrt{m}).$

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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