Exact solution of a generalized version of the Black-Scholes equation
我们分析了Black-Scholes方程依赖于一个参数$a\!\in \!(-\infty,0)$的广义版本。它满足鞅条件，在极限情况下与Black-Scholes方程一致，即$a\nearrow 0$ .我们证明了广义方程是完全可解的Hermite多项式和数值比较其解决方案的Black-Scholes方程的解决方案。
2014-11-10 q-fin.CP
A weighted finite difference method for subdiffusive Black Scholes Model
本文主要研究亚扩散的Black-Scholes模型。我们的工作的主要部分包括有限差分方法作为一种数值方法的期权定价所考虑的模型。我们推导了分数阶微分方程的控制方程和相应的加权数值格式，它是经典Crank-Nicolson格式的推广。所提出的方法具有$2-α$阶精度相对于时间，其中$α\in(0,1)$是子扩散参数，和$2$相对于空间。并给出了稳定性和收敛性分析。最后，我们给出了一些数值结果。
2020-04-29 cs.CE cs.NA math.NA
New Analytical Solutions of a Modified Black-Scholes Equation with the European Put Option
使用Maple，我们计算了最近提出的修正的Black-Scholes方程的一些解析解，在欧洲看跌期权的情况下。我们证明了带有欧式看跌期权的修正的Black-Scholes方程在相应的Laguerre多项式下是精确可解的。我们做了一些数值实验的解析解，我们比较我们的结果与来自使用标准的Black-Scholes方程的数值实验的结果。
2015-08-16 q-fin.CP
Laplace transformation method for the Black-Scholes equation
Seoul National University（首尔大学）
本文应用 Sheen、Sloan 和 Thomée 提出的创新拉普拉斯变换方法求解 Black-Scholes 方程，该方法具有任意高阶收敛性且天然可并行，并通过多种期权数值实验验证了其高效性。
2009-04-27 cs.NA math.AP math.NA
Mathematical Modeling of Option Pricing with an Extended Black-Scholes Framework
Harvard University（哈佛大学）
本研究扩展Black-Scholes模型纳入随机波动率与利率变动性，结合有限差分法求解PDE，对比扩展模型与LSTM模型在Google股票期权定价中的表现，发现LSTM精度更高、有限差分法效率更优，为混合金融建模提供参考。
2025-04-13 cs.LG cs.NA math.NA
Integration of Fractional Order Black-Scholes Merton with Neural Network
本研究提出分数阶Black-Scholes-Merton（FOBSM）模型，结合神经网络与分数阶微积分，以提高期权定价在复杂扩散动力学中的准确性，并捕捉金融数据的记忆效应。
2023-10-24 math.CV q-fin.CP stat.AP
Symmetries of the Black-Scholes equation
我们确定了Black-Scholes方程的等向量代数。因此，我们得到了一些以前未知的家庭的转换的解决方案。
2011-10-31 math.PR q-fin.CP q-fin.PR
Transformation methods for evaluating approximations to the optimal exercise boundary for linear and nonlinear Black-Scholes equations
Comenius University（布拉迪斯拉发大学）；Department of Applied Mathematics and Statistics, Faculty of Mathematics, Physics & Informatics, Comenius University（布拉迪斯拉发大学数学、物理与信息学院应用数学与统计系）
本文提出一种变换方法，将美式期权提前执行边界的自由边界问题转化为固定域上的非线性非局部抛物型方程，并设计迭代数值方案以近似求解边界，同时分析了线性和非线性Black-Scholes方程中边界对模型参数的依赖。
2008-05-05 cs.NA math.AP math.NA
A Method of Reducing Dimension of Space Variables in Multi-dimensional Black-Scholes Equations
研究了多维Black-Scholes偏微分方程和多维抛物型方程的降维方法。证明了Black-Scholes偏微分方程中空间变量的乘法变换保持了Black-Scholes偏微分方程的形式，并降低了空间维数.我们表明，这种转变可以减少两个或更多的风险源的数量在某些情况下，通过给出评论和金融定价问题的几个例子。我们还指出，Black-Scholes方程的形式不变性是基于抛物型方程的形式在变量随变量线性组合变化时的不变性。
2014-06-09 q-fin.CP q-fin.PR
Pricing American Call Options by the Black-Scholes Equation with a Nonlinear Volatility Function
本文研究了波动率项依赖于标的资产价格和期权Gamma的美式看涨期权定价的Black-Scholes方程的非线性推广。通过将非线性Black-Scholes方程的自由边值问题转化为Gamma变分不等式，并引入了一个新的变量，给出了美式看涨期权定价的数值方法.为了构造一个有效的数值格式，我们应用一种改进的投影逐次超松弛方法来离散Gamma变分不等式。最后，我们给出了在存在可变交易成本的情况下美式看涨期权定价的非线性Black-Scholes方程的几个算例。
2018-06-13 q-fin.CP
Optimal systems of subalgebras for a nonlinear Black-Scholes equation
我们的主要研究对象是描述非线性布莱克-斯科尔斯模型对称性的四维李代数。这个模型实现了一个反馈效应，这是典型的非流动性市场。李代数的结构取决于一个参数，即我们必须处理一个单参数代数族。我们使用Patera-Winternitz方法对这些代数进行了分类。本文对非线性Black-Scholes方程的对称代数族给出了一维、二维和三维子代数的最优系统。最优系统使我们有可能描述方程的一组完整的不变解。
2009-01-19 q-fin.CP
Shortfall Risk Approximations for American Options in the multidimensional Black--Scholes Model
本文证明了在多维Black-Scholes（BS）市场的多项式逼近序列中美式期权的短缺风险收敛于具有路径依赖收益的多维BS市场中类似美式期权的相应数量.与以前的论文相比，我们考虑多资产的情况下，我们使用弱收敛方法。
2010-04-08 math.PR q-fin.CP q-fin.PR
Forward-Time Black-Scholes Reconstruction via Regularized Legendre Reduction
University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
针对状态依赖波动率的Black-Scholes方程前向时间公式的不适定性，提出基于移位勒让德多项式的谱截断与勒让德-吉洪诺夫方法，证明存在唯一性、数据稳定性和收敛性，数值实验验证了从含噪初始数据恢复终端期权价格剖面的有效性。
2026-06-12 cs.NA math.NA q-fin.CP
On a numerical approximation scheme for construction of the early exercise boundary for a class of nonlinear Black-Scholes equations
本文的目的是构造一类具有依赖于期权价格的非线性波动率的非线性Black-Scholes方程的提前执行边界。本文讨论了如何将此问题转化为一个定域上的非线性抛物型方程的解的方法。文中还给出了各种非线性Black-Scholes方程早期运动边界的数值计算结果。
2011-04-06 q-fin.CP q-fin.PR
Analytical and numerical results for American style of perpetual put options through transformation into nonlinear stationary Black-Scholes equations
分析和计算了一类波动率函数依赖于期权价格二阶导数的平稳广义Black-Scholes方程的提前执行边界。研究具有非线性波动率的非线性Black Scholes方程的动机来自期权定价模型，包括，例如，非零交易成本、投资者偏好、反馈和非流动性市场效应以及无保护投资组合的风险。提出了一种将美式永久看跌期权问题转化为求解常微分方程和隐式方程自由边界位置的方法。最后，我们提出的早期执行边界，期权价格及其依赖于模型参数的数值逼近的结果。
2017-07-02 q-fin.CP
From Black-Scholes and Dupire formulae to last passage times of local martingales. Part A : The infinite time horizon
这些笔记是第二作者在国际水文计划Bachelier研讨会（2008年2月8日至15日至22日）上给出的课程内容的前半部分。它们也对应于第一作者为她的博士论文所研究的主题。
2008-06-02 math.PR q-fin.CP
Finite element solutions of the nonlinear RAPM Black-Scholes model
本文给出了有限单元法数值求解有交易成本的风险调整定价法（RAPM）布莱克-斯科尔斯模型的期权定价问题。空间有限元模型的基础上P1和/或P2元素制定使用一些组有限元和数值积分处理的非线性项，结合Crank-Nicolson型的时间格式。的时间计划是使用Rannacher方法实现的。时空网格尺寸比观察控制我们的方法的稳定性。我们的结果与文献中的有限差分结果的模型相比，毫不逊色。
2021-03-15 q-fin.CP
Beyond Black-Scholes: A Computational Framework for Option Pricing Using Heston, GARCH, and Jump Diffusion Models
Viterbi School of Engineering, University of Southern California（南加州大学维特比工程学院）
本文提出基于Heston、GARCH和跳跃扩散模型的期权定价计算框架，以克服Black-Scholes模型的局限性，通过蒙特卡洛模拟和历史数据预测波动率，提升期权定价准确性。
2026-04-07 q-fin.CP
Quantum Monte Carlo algorithm for solving Black-Scholes PDEs for high-dimensional option pricing in finance and its complexity analysis
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出一种量子蒙特卡洛算法求解带相关性的高维 Black-Scholes PDE 以进行期权定价，证明了其在空间维度和精度倒数上具有多项式复杂度界，并在有界收益函数下相比经典方法实现加速。
2025-11-04 cs.NA math.NA q-fin.CP
Appraisal of a contour integral method for the Black-Scholes and Heston equations
Weideman [IMA J. Numer.肛门，出现]的积分半离散对流扩散偏微分方程，推广应用到金融数学的一些重要方程。使用空间算子的数值范围的估计，最佳轮廓参数的理论推导和数值测试。测试示例是布莱克-斯科尔斯偏微分方程在一个空间维度和赫斯顿偏微分方程在两个维度。在后者的情况下，效率相比，ADI分裂计划解决这个问题。在例子中，它被发现，轮廓积分方法是优越的范围内的中等到高精度的要求。对目前的围道积分方法的实现提出了进一步的改进建议。
2011-04-08 q-fin.CP
Derivative pricing as a transport problem: MPDATA solutions to Black-Scholes-type equations
本文讨论了多维正定平流输运算法（MPDATA）在量化金融随机模型所产生的偏微分方程数值解中的应用。特别是，我们开发了一个框架，用于解决布莱克-斯科尔斯型方程，首先将它们转化为对流扩散问题，并使用迭代显式有限差分法，其中的菲克项表示为一个额外的平流项数值积分。我们讨论了传输现象和金融模型之间的对应关系，揭示了将无套利原理表达为守恒律的可能性。我们描绘了二阶精度在时间和空间的拥抱数值方案。这是在收敛性分析比较MPDATA数值解与经典的布莱克-斯科尔斯分析公式的估值欧式期权。我们还证明了一种方法，应用MPDATA解决自由边界问题（导致一个线性互补问题）的价值美式期权。最后，我们评论的潜力MPDATA框架方面被应用于与更复杂的模型通常用于定量金融。
2018-12-31 q-fin.CP
Sum of all Black-Scholes-Merton models: An efficient pricing method for spread, basket, and Asian options
与通常认为由于维数灾难而无法精确定价的观点相反，本文提出了一种有效的统一方法来定价多变量Black-Scholes-Merton（BSM）模型下的期权，如一篮子期权、价差期权和亚式期权。期权价格表示为一个单一的布朗运动下的分析多资产BSM价格的积分。然后，状态空间以这样的方式旋转，使得正交需要比否则粗糙得多的节点，或者降低变化的维度。通过各种数值实验说明了该方法的精度和效率。
2018-05-08 q-fin.CP q-fin.MF q-fin.PR
Neural Network Learning of Black-Scholes Equation for Option Pricing
Federal Institute of Education, Science and Tecnology（联邦教育、科学和技术学院）；Federal Rural University of Pernambuco（伯南布哥联邦农村大学）
本文提出用神经网络结合真实市场边界数据求解 Black-Scholes 方程，并在 Petrobras 与 Vale 看涨期权序列上验证了其短期定价预测优于传统解析解。
2024-05-09 cs.LG q-fin.CP q-fin.PR
Approximating Functional of Local Martingale Under the Lack of Uniqueness of Black-Scholes PDE
当标的股票价格是等价局部鞅测度下的严格局部鞅过程时，与欧式期权相关联的Black-Scholes偏微分方程可能有多个解.本文研究了这种欧式期权的最小套期保值价格的一个近似。我们的研究结果表明，一类回扣障碍期权可以用于这种近似。其中，一个特定的折扣选项也提供了一个连续的折扣函数，它对应于唯一的经典解的相关抛物型偏微分方程。这种构造使得现有的数值偏微分方程技术适用于其计算。在适当的条件下，研究了当撞出障碍移动到无穷远时的渐近收敛速度。
2012-09-21 math.PR q-fin.CP q-fin.PR
Tighter 'uniform bounds for Black-Scholes implied volatility' and the applications to root-finding
本文利用期权delta得到更紧的Black-Scholes隐含波动率上下界，并以新下界为初值提出适用于全价格区间、收敛更快的对数价格Newton-Raphson求根算法。
2024-10-01 q-fin.CP q-fin.MF q-fin.PR
Black-Scholes Model, comparison between Analytical Solution and Numerical Analysis
University of Genoa（热那亚大学）
本文比较了Black-Scholes模型的解析解与数值解，介绍了模型的历史背景、推导过程及应用，并提供了附录帮助读者理解与实践。
2026-01-10 cs.CE q-fin.CP q-fin.PR
Boundary conditions at infinity for Black-Scholes equations
针对标的资产为严格局部鞅的欧式期权定价，提出一种数值程序，通过在无穷远处施加边界条件选出最小解作为衍生品价格，该程序满足离散最大值原理且数值实验验证了其准确性。
2025-04-22 q-fin.CP q-fin.MF
Computing Black Scholes with Uncertain Volatility-A Machine Learning Approach
针对离散市场数据拟合Black Scholes模型的困难，提出用波动率为随机变量函数的Black Scholes方程建模，结合广义多项式混沌方法与Bi-Fidelity机器学习技术高效计算并量化衍生品定价中的不确定性。
2022-02-15 q-fin.CP q-fin.MF
Adaptive-Wave Alternative for the Black-Scholes Option Pricing Model
提出了标准Black-Scholes期权定价模型的一种非线性波动模型。自适应波动模型，代表金融市场的“受控布朗行为”，由自适应非线性薛定谔（NLS）方程正式定义，定义了期权定价波函数的股票价格和时间。该模型包括两个参数：波动率（起离散频率系数的作用），它可以是固定的或随机的，和自适应的市场潜力，取决于利率。波函数表示量子几率振幅，其绝对平方为几率密度函数。四种类型的解析解的NLS方程的Jacobi椭圆函数，所有从德布罗意的平面波包与自由量子力学粒子。与布莱克-斯科尔斯模型的最佳一致性表明自适应激波NLS解可以有效地与自适应孤波NLS解相结合。可调的“权重”的自适应市场热潜力估计使用无监督赫布学习，或监督Levenberg-Marquardt算法。在随机波动率的情况下，它本身是由波函数表示的，所以我们来到了所谓的Manakov系统的两个耦合的NLS方程（承认封闭形式的解决方案），与共同的自适应市场潜力，它定义了一个双向的时空联想记忆。保留字：Black-Scholes期权定价，自适应非线性薛定谔方程，市场热势，受控随机波动率，自适应Manakov系统，受控布朗行为
2009-11-10 q-fin.CP q-fin.PR
Exact Terminal Condition Neural Network for American Option Pricing Based on the Black-Scholes-Merton Equations
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）
本文提出 ETCNN 深度学习框架，通过求解 BSM 方程实现美式期权准确定价，设计特定函数精确满足终端条件并处理非平滑行为，有效应对不等式约束并支持高维扩展，实验证明其精度和鲁棒性优于传统方法。
2025-10-31 q-fin.CP
Asymptotically-informed neural networks for Black-Scholes implied volatility computation
The University of Liverpool（利物浦大学）
本文提出渐近信息神经网络架构，通过门控函数划分价格-对数货币性域并组合局部近似，高效计算Black-Scholes隐含波动率，在广泛参数域上精度远超标准前馈网络，并为Householder迭代提供高精度初值。
2026-09-09 cs.LG q-fin.CP stat.ML
Pricing and Hedging GMWB in the Heston and in the Black-Scholes with Stochastic Interest Rate Models
保证最低提取收益（Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit，简称GMWB）的评估已经引起了学术界和现实世界金融市场的极大关注。正如Yang和Dai所说，Black和Scholes框架似乎不适合如此长的成熟度产品。Chen Vetzal和Forsyth也表明，这些产品的价格对利率和波动率参数非常敏感。本文提出了一个随机波动率模型（Heston模型）和一个带有随机利率的布莱克-斯科尔斯模型（Hull White模型）。为此，我们提出了四个数值方法定价GMWB变量年金：混合树有限差分法和混合蒙特卡罗方法，ADI有限差分格式，和标准蒙特卡罗方法。这些方法用于确定最流行的GMWB合约版本的无套利费用，并计算套期保值中使用的希腊人。同时考虑了常数提款、最优退保和最优提款策略。数值结果表明，经济，合同和长寿假设的无套利费用的敏感性。
2016-03-01 q-fin.CP q-fin.PR
Minimax Option Pricing Meets Black-Scholes in the Limit
期权合约是一种金融衍生品，允许投资者对冲风险并对资产未来市场价格的变化进行投机。简而言之，期权具有基于未来给定日期资产市场价格的特定支付。1973年，Black和Scholes提出了一个期权定价模型，该模型基本上是在假设资产价格按照几何布朗运动波动的情况下估计资产价格的尾部风险。最近，DeMarzo等人，其中，提出了更稳健的估值方案，我们甚至可以假设对手选择了价格波动。这个框架可以被认为是投资者和自然之间的一个连续的两人零和游戏。我们分析了这个游戏在极限中的价值，投资者可以在越来越小的时间间隔内进行交易。在自然界（对手）行动的弱假设下，我们证明了极大极小期权的价格渐近逼近Black-Scholes估值。我们分析的关键部分是表明自然界的最小最大最优对偶策略在极限下收敛于几何布朗运动。
2012-02-12 cs.GT q-fin.CP q-fin.PR
Path integral approach to Asian options in the Black-Scholes model
利用路径积分公式，得到了平均价格和平均执行价几何亚式期权价格的封闭解。我们的结果进行了比较，数值蒙特卡罗模拟。我们还结合镜像法和按路径平均值划分路径集的方法，给出了一个控制过程上带有障碍的亚式期权的定价公式，该公式在相关系数为零时是精确的，在相关系数增大时是近似的.
2011-09-23 q-fin.CP q-fin.PR
A Black--Scholes Model with Long Memory
本文建立了一个资产波动的随机模型。波动率服从连续时间自回归方程。条件下，该过程是渐近平稳的，并具有长记忆的特点。与类的并行处理（$\infty$）过程的连接是概略的。
2012-02-24 math.CA math.DS math.PR
Enhancing Black-Scholes Delta Hedging via Deep Learning
本文提出一种期权深度delta对冲框架，通过神经网络学习对冲函数与隐含Black-Scholes delta间的残差，利用残差平滑性提升性能，实证显示该方法显著提升对冲效果且所需数据更少。
2024-08-24 q-fin.CP q-fin.ST stat.ML
An Explicit Solution to Black-Scholes Implied Volatility
University of Liechtenstein（列支敦士登大学）
本文提出了一种基于量化函数的显式公式，用于计算Black-Scholes隐含波动率，通过将波动率视为左端点并仅使用可观察的期权输入来实现精确的解析解，同时重新组织了希腊字母和无套利限制。
2026-05-18 q-fin.CP q-fin.GN q-fin.MF
Deep Gamma Hedging
本研究训练神经网络学习期权复制策略，发现即使标的资产动态偏离布莱克-斯科尔斯模型，网络仍能学会伽马对冲，并表明伽马对冲主要用于应对模型不确定性而非降低交易成本。
2024-09-20 q-fin.CP
How much is your Strangle worth? On the relative value of the $δ-$Symmetric Strangle under the Black-Scholes model
交易期权扼杀是市场参与者经常使用的一种非常受欢迎的策略，以减轻其投资组合中的波动风险。在本文中，我们提出了一个测量的相对价值的delta-对称扼杀和计算下，标准的Black-Scholes期权定价模型。这种新的措施占扼杀的价格，相对于两个罢工之间的价差的现值，所有表示，在自然重新参数化后，在三角洲和波动参数。我们发现，在标准的BS期权定价模型，这种措施的相对价值是有界的一个简单的功能，仅三角洲和独立的时间到期，价格的基础证券或现行的波动率中使用的定价模型。我们演示了如何使用这个界限作为一个快速的{ \it基准}来评估，无论市场波动性，合同的持续时间或基础证券的价格，市场（相对）价值的$δ-$扼杀相比，其BS（相对）价格。事实上，明确和简单的表达，这一措施和限制，让我们也详细研究扼杀的退出策略和相应的{ \it optimal}选择一个值的delta。
2020-05-18 q-fin.CP q-fin.PR q-fin.TR
QLBS: Q-Learner in the Black-Scholes(-Merton) Worlds
NYU Tandon School of Engineering（纽约大学坦登工程学院）
本文提出了一个离散时间期权定价模型，该模型植根于强化学习（RL），更具体地说，在著名的Q学习方法的RL。我们构造了一个经典Black-Scholes-Merton（BSM）模型的离散时间版本的风险调整马尔可夫决策过程，其中期权价格是一个最优Q函数，而最优套期保值是这个最优Q函数的第二个参数，使得价格和套期保值都是同一公式的一部分.定价是通过学习动态优化期权复制投资组合的风险调整收益率来完成的，就像马科维茨投资组合理论一样。使用Q-Learning和相关方法，一旦在参数设置中创建，该模型就能够摆脱模型，直接从数据中学习定价和对冲期权，而无需明确的世界模型。这表明强化学习可以为期权的最优定价和对冲提供有效的数据驱动和无模型方法，一旦我们离开学术上的连续时间限制，反之亦然，金融数学中开发的期权定价方法可以被视为基于模型的强化学习的特殊情况。此外，由于我们的模型简单易行，只需要基本的线性代数（加上蒙特卡罗模拟，如果我们使用合成数据），以及它与原始BSM模型的密切关系，我们建议我们的模型可以用于金融交易应用程序的不同RL算法的基准测试
2019-09-03 cs.LG q-fin.CP
Toward Black Scholes for Prediction Markets: A Unified Kernel and Market Maker's Handbook
Daedalus Research Team（Daedalus研究团队）
本文提出一种统一的核函数，用于预测市场中的概率报价与对冲，通过引入对数it跳跃扩散模型，解决信念波动、跳跃和跨事件风险问题，并构建校准流程和衍生品层。
2026-04-06 cs.CE q-fin.CP
