四元数环中nilpotents的乘积

确定双四元数零因子，包括幂等元和幂零元

Determination of the biquaternion divisors of zero, including the idempotents and nilpotents

双四元数（复化四元数）代数包含幂等元（平方保持不变的元素）和幂零元（平方为零的元素）。它还包含零因子（具有消失范数的元素）。幂等元和幂零元是零的约数的子集。这些事实已经在文献中报道，但由于没有使用现代符号和术语收集在一起，因此仍然模糊不清。明确的公式找到所有的幂等元，幂零和零的除数似乎是不可用的文献中，我们纠正这与本文件。使用几种不同的双四元数表示，我们提出了简单的公式幂等，幂零和零的除数，我们表明，复分量的双四元数零的除数必须有一个平方和为零，这个条件是等价于两个条件的内积的实部和虚部的双四元数，以及实部和虚部的范数相等。我们给出了幂零、幂等和其他零因子的数值例子。最后，我们总结了一个关于零的双四元数因子集的组成，以及它的子集，幂等元和幂零元。

2008-12-05math.RA

关于$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$上四元数环的结构

On the structure of quaternion rings over $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$

本文研究了$\Z{n}$上的四元数环$\left(\frac{a,b}{\Z{n}}\right)$的结构。证明了当$ a \equiv b\equiv -1 \pmod{4}$为环时，这些环同构于$\left(\frac{-1,-1}{\Z{n}}\right)$，否则同构于$\left(\frac{1,1}{\Z{n}}\right)$.我们还证明了环$\left(\frac{a,b}{\Z{n}}\right)$同构于$\mathbb{M}_2(\Z{n})$当且仅当$n$是奇的，并且定义在$\Z{n}$上的所有四元数代数同构当且仅当$n \not \equiv 0 \pmod{4}$ .

2014-02-11math.RA

非退化矩阵作为$p$-幂等矩阵与幂零矩阵之和

Nonderogatory matrices as sums of $p$-potent and nilpotent matrices

本文证明在正奇数特征域上，非退化矩阵若可分解为$p$-幂等与幂零矩阵之和，则存在满足$E^p=E$和$V^3=0$的分解。

2025-08-13math.RA

作为 $p$-幂等矩阵与幂零矩阵之和的友矩阵

Companion matrices as sums of $p$-potent and nilpotent matrices

本文证明了在特征为奇数 $p$ 的域上，友矩阵能分解为 $p$-幂等矩阵与幂零矩阵之和，当且仅当其迹为单位元的整数倍。

2025-08-12math.RA

关于四元数环中例外单位的和集

On the sumsets of exceptional units in quaternion rings

本文研究了有限交换环上四元数环中例外单位的和集，通过将问题归约到局部环，求出了偶数阶局部环中元素表示为k个例外单位之和的表示数量，以及奇数阶局部环中2个例外单位之和的表示数量或其界限。

2024-06-05math.RA

李幂零结合代数中的积

Products of commutators in a Lie nilpotent associative algebra

设$F$是一个域，$F \langle X \rangle$是由无限可数集$X = \{x_1, x_2, \dots \}$自由生成的$F$上的自由单位结合代数.用$[a_1, a_2] = a_1 a_2 - a_2 a_1$，$[a_1, \dots, a_{n-1}, a_n] = [[a_1, \dots, a_{n-1}], a_n]$ $(n \ge 3)$递归地定义了一个左赋范交换子$[a_1, a_2, \dots, a_n]$.对于$n \ge 2$，令$T^{(n)}$是由所有分解器$F \langle X \rangle$（$a_i \in F \langle X \rangle)$ .设$F$是特征$0$的域。在2008年Etingof，Kim和Ma证明了$T^{(m)} T^{(n)} \subset T^{(m+n -1)}$当且仅当$m$或$n$是奇数。在2010年，Bapat和Jordan证实了猜想的“如果”方向：如果$m$、$n$中至少有一个是奇数，那么$T^{(m)} T^{(n)} \subset T^{(m + n -1)}.$。我们证明了如果$m = 2 m'$和$n = 2 n'$是偶数则$T^{(m)} T^{(n)} \nsubseteq T^{(m +n -1)}.$我们的结果在任何域$F$上都是有效的.

2015-10-09math.RA

Galois环上的四元数及其码

Quaternions over Galois rings and their codes

本文证明了：若$R$是Frobenius环，则四元数环$\mathcal{H}_{a,b}(R)$对所有单位元$a,b \in R$都是Frobenius环.特别地，如果$q$是奇素数幂，则$\mathcal{H}_{a,b}(\mathbb{F}_q)$是半单非交换矩阵环$M_2(\mathbb{F}_q)$。因此，获得取决于场大小$q$的均匀权重。另一方面，给出了具有唯一极小理想的有限Frobenius环的齐次权与理想大小的关系。伽罗瓦环上的四元数$GR(2^r,m)$说明了这一点。最后，构造了Galois环上四元数上的单边线性分组码，并证明了这些码的象的齐次距离的某些界。这些界限是基于四元数码的汉明距离和伽罗瓦环的参数。给出了单边率为2/6，3-准循环四元数码及其图像的实例。其中一个码满足Singleton界，因此是最大距离可分码。

2021-09-02cs.ITmath.ITmath.RA

几乎平凡交换幂零代数代数上的阿贝尔Hopf Galois结构

Abelian Hopf Galois structures from almost trivial commutative nilpotent algebras

令$L/K$是具有伽罗瓦群$G$的域的伽罗瓦扩张，这是一个初等阿贝尔群$p$ -秩为$n$的群，其中$p$是奇素数。已知幂零$\mathbb{F}_p$ -代数结构$G$上的$A$产生$G$的全形的正则子群，因此产生$L/K$上的Hopf伽罗瓦结构。本文通过研究$A$是维数$n$的阿贝尔的情形，说明了$L/K$上的Hopf伽罗瓦结构的丰富性，其中$A^2 = 1$的维数为.我们确定了在这些情况下出现的Hopf伽罗瓦结构的数量，明确地描述这些结构，并估计这些结构的伽罗瓦对应满射性的失败程度。

2019-08-05math.GRmath.RA

关于有限群和环中的交换概率

On commuting probabilities in finite groups and rings

我们证明了有限环中的所有交换概率的集合是$\le2$类的有限幂零群中的所有交换概率的集合的子集。我们相信这两个集合是相等的，我们证明他们是平等的，当限制到集团和环的元素为奇数。

2020-10-02math.RA

从Poincaré定理到有限群的整群环的单位群的生成元

From the Poincaré Theorem to generators of the unit group of integral group rings of finite groups

本文给出了一个算法，以确定有限幂零群$G$的整群环$\mathbb{Z} G$的单位群中有限指数子群的多个生成元，条件是有理群代数$\mathbb{Q} G$不具有可除的经典四元数代数或中心为$\mathbb{Q}$的经典四元数代数上的2 × 2矩阵的简单分支.主要的困难是处理四元数代数的有理数或有理数的二次虚扩张的顺序。为了处理这些问题，我们给出了一个有限的和易于实现的算法，以计算有限余体积的离散子群${\rm PSL}_2(\mathbb{C})$（分别为${\rm PSL}_2(\mathbb{R})$）在双曲三空间$\mathbb{H}^3$（分别为双曲二空间$\mathbb{H}^2$）中的基本区.我们的结果群环是早期工作的Ritter和Sehgal，Jespers和Leal的延续。

2013-10-27math.GRmath.RA

非结合代数中的幂等元与二次算子的特征向量

Idempotents in nonassociative algebras and eigenvectors of quadratic operators

令$F$为一个字段，char $(F)\neq 2$。则每个有限维$F$ -代数有幂等元或绝对幂零元当且仅当在$F$上每个奇次多项式在$F$中有根。这也是$F$上有限维空间中所有二次算子存在特征向量的充要条件。

2014-03-18math.RA