Extended formulations for matroid polytopes through randomized protocols
设$P$是一个多胞形。$P$的命中数是$P$的面的命中集的最小大小，即，$P$的顶点的子集，使得$P$的每个小平面在该子集中具有顶点。$P$的扩展公式是线性投影到$P$的多面体的描述。我们证明了，如果$P$是任何拟阵的基多面体，则$P$允许一个扩展公式，其大小线性依赖于$P$的命中数.我们的扩展公式推广了马丁和黄的生成树多面体。我们的证明是简单和简短的，它贯穿了扩展公式和通信协议之间的深层联系。
2021-06-23 cs.DM math.CO math.OC
Combinatorial generation via permutation languages. V. Acyclic orientations
在1993年，Savage、Squire和West描述了一个归纳构造，它可以精确地生成弦图的每个非循环方向一次，每次翻转一个弧。我们提供了两个推广这个结果。首先，我们描述了满足一个简单序条件的超图的无圈方向的Gray码，推广了图的完全消去序的概念。这将Savage-Squire-West构造与最近生成弦图的消除树的算法相结合。其次，我们考虑弦图的无圈定向格的等价物，并为它们提供了一个格雷码，解决了Pilaud提出的一个问题。这也推广了最近的一个算法生成的弱序的格同余的对称群。我们的算法是来自Hartung-Hoang-Mütze-Williams组合生成框架，它们产生简单的算法，用于计算大类多面体上的Hamilton路径和循环，包括弦巢面体和多胞体。特别是，我们得到一个有效的实施野蛮乡绅西方建设。一路上，我们给出了一个概述的旧的和最近的结果的多面体和秩序理论方面的无环方向的图和超图。
2022-12-07 cs.DM math.CO
Some 0/1 polytopes need exponential size extended formulations
我们证明，有0/1多面体P，不承认一个紧凑的LP制定。更精确地说，我们证明了对于每个n，存在一个集合X \subseteq {0，1}^n使得conv（X）必须具有至少2^{n/2 *（1-o（1））}的扩展复杂度。换句话说，每个可以线性投影到conv（X）上的多面体Q必须有指数数量的面。事实上，如果conv（X）被限制为拟阵多胞形，同样的结果也适用。条件NP不包含在P_{/poly}，我们的结果排除了任何紧凑的TSP多面体的存在，即使制定可能包含任意实数。
2011-04-30 cs.CC cs.DM math.CO
Extended Formulations for Stable Set Polytopes of Graphs Without Two Disjoint Odd Cycles
设$G$是一个没有两个不相交奇圈的$n$ -结点图. Artmann，Weismartel和Zenklusen（STOC'17）的双模整数规划算法可以在强多项式时间内求出$G$的最大权稳定集.基于充分连通图不含两个不相交奇圈的结构性结果，我们构造了$G$的稳定集多面体的大小- $O(n^2)$扩展公式.
2021-03-28 cs.DM math.CO math.OC
Polyhedral studies of vertex coloring problems: The asymmetric representatives formulation
尽管某些顶点着色问题在某些图类上是多项式可解的，但从多面体的角度来看，这些问题中的大多数并不“在控制之下”。\emph{optimization}和\emph{polyhedral separation}之间的等价性表明，对于这些问题，必须存在允许与它们相关联的多面体的一些优雅表征的公式。因此，有趣的是研究已知的顶点着色公式，以找到这样的特征。在这项工作中，我们研究了不对称的代表制定，我们表明，相应的着色多面体，对于一个给定的图$G$，可以被解释为另一个图的独立集多面体从$G$。这一结果使我们能够得到完整的特征，相应的着色多面体的某些家庭的图，根据已知的完整的独立集多面体的特征。
2015-08-28 cs.DM math.CO
Combinatorial Bounds on Nonnegative Rank and Extended Formulations
多面体P的扩展公式是可以投影到P上的多面体Q。多个方面）是令人感兴趣的，因为它们允许将对应的最优化问题建模为小尺寸的线性规划。固定多面体P的扩展公式的最小尺寸的主要已知下界（Yannakakis 1991）与非确定性通信复杂度的概念密切相关。我们研究了几个例子的相对权力和限制的界限。
2012-07-09 cs.DM math.CO
Extension Complexity of Independent Set Polytopes
我们展示了一个$n$ -节点图，其独立集多面体需要扩展配方的大小指数在$Ω(n/\log n)$。以前，在$Θ(\sqrt{n})$中，没有已知的$n$ -维$0/1$ -多面体的扩展复杂度大于指数的显式例子.我们的建设的灵感来自于一个相对鲜为人知的连接之间的扩展配方和（单调）电路深度。
2016-04-24 cs.CC cs.DM math.CO
Extended formulations from communication protocols in output-efficient time
确定性协议是众所周知的工具，以获得扩展的配方，与组合优化中产生的多面体的许多应用。尽管这些工具是建设性的，但它们的产出效率并不高，因为产生扩展公式所需的时间也取决于松弛矩阵的行数（因此，取决于原始空间中的精确描述）。我们给出了一般的充分条件，在这些条件下，这些工具可以实现为输出有效的，显示应用，例如~ Yannakakis关于完美图的独立集多面体的扩展公式，据我们所知，以前没有一个有效的构造方法。对于特定类别的多面体，我们也给出了一个直接的，有效的建设所产生的协议的扩展配方。最后，我们处理扩展配方来自明确的非确定性协议。
2019-04-08 cs.DM math.CO
A note on the exact partition polytope of Frieze and Teng
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文指出Frieze和Teng提出的精确划分问题的整数线性规划松弛可能产生退化多面体，并研究了退化条件，给出了最小退化实例及等价非退化实例，同时说明可通过预处理避免退化。
2026-05-26 cs.DM math.CO
On the existence of compact ε-approximated formulations for knapsack in the original space
我们证明了存在一个背包多面体族，使得对于这个族中的每个多面体P和每个ε > 0，P在原空间R^n中的任何ε-近似公式都需要一些在n中是超多项式的不等式。这回答了Bienstock和McClosky（2012）的一个问题。我们还证明了，对于任何下单调多胞形，在原空间中的ε-逼近公式可以用至多O（min{log（n/ε），n}/ε）个不同系数的不等式得到.
2015-03-16 cs.DM math.CO math.OC
On Limits to the Scope of the Extended Formulations "Barriers"
在本文中，我们介绍了多面体的增广的概念，并用它来显示错误的两个假设，已经在最近的扩展配方（EF）的发展达到了过度/范围过大的索赔“不可能”的关键。其中一个假设是：“如果多面体P和Q分别在变量x和y的空间中描述，并且在P和Q的可行集之间存在线性映射x=Ay，则Q是P的EF”。另一个是：“（多面体A投影到多面体B的扩充）==>（A和B的外部描述是相关的）"。我们对这些假设提供了反例，并表明：（1）如果多面体总是可以任意扩充以建立EF关系，那么EF的概念在某些情况下变得退化/无意义，并且：（2）声明："（多面体B是多面体A的增广的投影）==>（多面体B是多面体A的投影）”一般不成立（虽然，正如我们所证明的，相反的陈述，“（B是A的投影）==>（B是A的每一个增广的投影）"，一般来说是正确的。我们使用最小生成树问题来说明其中的一些想法，特别是Fiorini等人（2011; 2012）中的“下界”发展。
2013-09-07 cs.CC cs.DM math.OC
Facets of the Total Matching Polytope for bipartite graphs
全匹配多面体是稳定集多面体和匹配多面体的推广。在本文中，我们给出了完美的制定，我们得到了两个新的家庭的有效的不等式，平衡的biclique不等式，总是面定义和非平衡提升biclique不等式的提升程序，这是面定义的二部图。最后，我们给出了完全二部图的完整描述。
2021-11-30 cs.DM math.CO
Extended formulations for the maximum weighted co-2-plex problem
LIMOS CNRS UMR 6158 Université Clermont Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；LIPN CNRS UMR 7030 Université Sorbonne Paris Nord（索邦巴黎北大学）；LAMSADE CNRS UMR 7243 Université Paris Dauphine（巴黎第九大学）
本文提出了一种扩展形式用于最大加权 co-2-plex 问题，通过多面体特性分析和有效不等式生成，提升了求解效率。
2025-12-08 cs.DM
Smaller extended formulations for spanning tree polytopes in minor-closed classes and beyond
设$G$是真小闭类$\mathcal G$中的连通$n$ -顶点图.证明了$G$的生成树多面体的扩张复杂性为$O(n^{3/2})$。这改进了Wong（1980）和Martin（1991）的工作所得出的$O(n^2)$界。它还扩展了Fiorini，Huynh，Jaret和Pashkovich（2017）的结果，他们获得了嵌入固定曲面的图的$O(n^{3/2})$界。我们的证明更普遍地适用于所有允许强次线性平衡分隔符的图类：本文证明了：对每个常数$β$和$0<β<1$，如果$\mathcal G$是一个在导出子图下闭的图类，使得$\mathcal G$中的所有$n$ -顶点图都有大小为$O(n^β)$的平衡分隔符，则$\mathcal{G}$中每个连通的$n$ -顶点图的生成树多面体的扩张复杂度为$O(n^{1+β})$ .我们实际上给出了这个结果的两个证明，一个是直接构造扩展公式，另一个是通过通信协议。使用后一种方法，我们也给出了一个简短的证明$O(n)$界平面图由于威廉姆斯（2002）。
2021-12-02 cs.DM math.CO math.OC
On the Combinatorial Lower Bound for the Extension Complexity of the Spanning Tree Polytope
在组合优化问题多面体扩张的研究中，一个著名的公开问题是关于具有$n$结点的完全图上最小生成树问题的最小扩张公式的大小.最著名的下界是平凡（维数）界，$Ω(n^2)$，最著名的上界是Wong（1980）对尺寸$O(n^3)$的扩展公式（也是Martin，1991）。本文给出了一个支持生成树松弛矩阵的代价为$\log_2(n^2\log n)+O(1)$的不确定通信协议。这意味着组合下界只能将平凡下界提高（至多）$O(\log n)$倍。
2017-02-05 cs.DM math.OC
Lifting Linear Extension Complexity Bounds to the Mixed-Integer Setting
混合整数数学规划是运筹学和相关领域中最常用的模型之一。然而，仍然很少有人知道什么可以表达的小型混合整数规划。特别是，在这项工作之前，它是开放的一些经典的问题，如最小奇截问题，可以表示为一个紧凑的混合整数规划，很少（甚至不断许多）整数变量。这与线性公式形成鲜明对比，其中扩展公式领域的最新突破表明，与经典组合优化问题相关的许多多面体甚至不允许亚指数大小的近似扩展公式。我们提供了一个一般的框架，提升的不可逼近性结果的扩展配方的混合整数扩展配方的设置，并获得几乎紧下界的整数变量的数量需要描述各种经典的组合优化问题。其中的影响，我们得到，我们表明，任何混合整数扩展配方的次指数大小的匹配多面体，割多面体，旅行商多面体或占主导地位的奇割多面体，需要$ Ω(n/\log n) $许多整数变量，其中$ n $是底层图的顶点数。相反，上述多面体允许多项式大小的混合整数公式，只有$ O(n) $或$ O(n \log n) $（对于旅行推销员多面体）许多整数变量。我们的结果建立在一个新的分解技术，对于任何凸集$ C $，允许近似任何混合整数描述的$ C $的交集$ C $与工会的少数仿射子空间。
2017-12-06 cs.DM cs.DS math.OC
Combinatorial generation via permutation languages. IV. Elimination trees
本文将 Hartung-Hoang-Mütze-Williams 组合生成框架应用于消除树，证明弦图的消除树可通过贪心算法经树旋转高效生成，并由此推导出图结合多面体上 Hamilton 路径的存在性及经典 Gray 码的恢复。
2023-09-15 cs.DM math.CO
Fooling Sets and the Spanning Tree Polytope
在组合优化问题多面体扩张的研究中，一个著名的公开问题是关于具有$n$结点的完全图上最小生成树问题的最小扩张公式的大小.最著名的下界是$Ω(n^2)$，最著名的上界是$O(n^3)$。在本文中，我们证明了古老的愚弄集方法不能用来提高下界：每个愚弄集的生成树多面体的大小$O(n^2)$。
2017-01-02 cs.DM math.OC
The polytope of legal sequences
一个图中的顶点序列称为\emph{(total) legal dominating sequence}，如果序列中的每个顶点（总）支配至少一个不被在它之前的顶点支配的顶点，并且在最后图的所有顶点都（完全）支配。图的\emph{Grundy (total) domination number}是图的最大（总）合法控制序列的大小。在这项工作中，我们解决的问题，确定这两个参数，通过引入一个广义的版本。我们明确计算相应的（一般）参数的路径和网络图。我们提出了整数规划配方的新问题，我们研究的多面体与其中之一。我们发现家庭的有效的不平等和条件下，他们是刻面定义。最后，我们进行计算实验比较配方，以及测试有效的不等式切割的B\&C框架。
2018-11-29 cs.DM math.CO
Polynomial size linear programs for problems in P
无向图$G=(V,E)$中的完美匹配是来自$E$的顶点不相交边的集合，其包括$V$中的所有顶点。完美匹配问题是决定$G$是否具有这样的匹配。最近Rothvovich证明了Edmonds匹配多面体具有指数扩张复杂性的惊人结果。在这里，对于每一个$n=|V|$，我们描述了一个完美的匹配多面体，这是不同的埃德蒙兹的多面体，并定义了一个较弱的概念扩展制定。我们表明，新的多面体有一个弱的扩展配方（WEF）$Q$的多项式大小。对于每个具有$n$顶点的图$G$，我们可以容易地构造目标函数，使得在$Q$上求解所得到的线性规划决定$G$是否具有完美匹配。构造是统一的意义上说，对于每个$n$，一个单一的多面体被定义为类的所有图与$n$节点。该方法扩展到解决多时间优化问题，如加权匹配问题。在这种情况下，对所构造的WEF进行对数（在最优解的权重中）数量的优化。文中所述的方法涉及到编译器的建设，该编译器将给定的算法在一个规定的伪代码到一个多面体。因此，它可以用来构造一个多面体的任何决策问题，{ \bf P}，可以解决一个给定的算法。与Dobkin-Lipton-Reiss和Valiant的早期结果相比，我们的方法允许直接从标准寄存器模型的算法中构建显式线性程序，而无需中间变换。我们应用我们的结果获得多项式上界的非负秩的某些松弛矩阵的语言的成员资格测试{ \bf P/Poly}。
2018-04-25 cs.DM
On the Virtual Network Embedding polytope
Orange Research（橙研实验室）；Université Sorbonne Paris Nord, CNRS, Laboratoire d’Informatique de Paris Nord, LIPN（索邦巴黎北大学、法国国家科学研究中心、巴黎北信息学实验室）
本文提出新的有效不等式，用于刻画虚拟网络嵌入问题的多面体，并通过实验展示其对MIP求解器的加速效果。
2026-01-16 cs.DM math.OC
Compact formulations and valid inequalities for parallel machine scheduling with conflicts
研究带冲突的并行机器调度问题，提出基于顶点着色代表模型的新型紧凑混合整数线性公式及分支割平面算法，实验证明其在最难的基准实例上优于现有最先进方法。
2025-04-03 cs.DM
Limits to the scope of applicability of extended formulations for LP models of combinatorial optimization problems: A summary
我们表明，新的定义的概念“投影”的一些最近的“扩展配方”的作品（如Kaibel（2011）; Fiorini et al.（2011; 2012）; Kaibel和Walter（2013）; Kaibel和Weltge（2013）例如）已经基于可以导致这些作品过度-当多面体的描述变量集不相交时，他们得出的结论将多面体相互关联起来。
2014-06-28 cs.CC cs.DM math.OC
Decomposition of Trees and Paths via Correlation
我们研究的问题分解（集群）的树的成本归因于对节点，以尽量减少这些对节点的成本是在同一组件（集群）的总和。对于一般情况和树为星的特殊情况，我们证明该问题是NP难的。对于树是路径的特殊情况，这个问题已知是多项式时间可解的。我们的特点是几类方面的组合多面体与制定这个聚类问题的解除多割。特别是，我们的研究结果产生一个完整的完全对偶积分（TDI）描述的解除多割多面体的路径，建立了连接到组合性质的替代配方，如集划分。
2017-08-16 cs.DM
The canonical facets of multi-separator polytopes
Faculty of Computer Science, TU Dresden（德累斯顿工业大学计算机学院）；Center for Scalable Data Analytics and AI (ScaDS.AI) Dresden/Leipzig（德累斯顿/莱ipzig可扩展数据分析与人工智能中心）；Université Sorbonne Paris Nord（巴黎北索邦大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本研究针对Irmai等人2024年提出的图多分离器问题开展多面体研究，刻画其整数线性规划不等式诱导的面，得到路径情形下的完全对偶整数描述，关联布尔二次多面体与提升多割多面体。
2026-08-18 cs.DM cs.LG math.CO
Extended Formulations for Sparsity Matroids
证明了$(k,\ell)$ -稀疏拟阵的基多面体的多项式扩展形式的存在性。对于无向图$G=(V,E)$，当为$k \geq \ell$时公式的大小为$O(|V||E|)$，当为$k \leq \ell$时公式的大小为$O(|V|^2 |E|)$。为此，我们采用Faenza等人最近开发的技术，该技术使用随机通信协议。
2014-03-28 cs.DM math.CO math.OC
Extended formulations for polygons
多面体$P$的扩张复杂度是最小整数$k$，使得$P$是多面体$Q$与$k$刻面的投影。研究了平面上$n$ -图的扩张复杂性.首先，我们给出了一个新的证明，证明了正则$n$ -ε的扩张复杂性是$O(\log n)$，这是Ben-Tal和Nemirovski（2001）的工作的结果。我们的证明很容易推广到其他置换面体，并简化了Goemans（2009）和Kaibel and Pashkovich（2011）最近结果的证明。其次，我们证明了$\sqrt{2n}$关于一般$n$ -扩展复杂度的一个下界。最后，证明了存在$n$ -图，其顶点位于具有扩张复杂度$Ω(\sqrt{n}/\sqrt{\log n})$的$O(n) \times O(n^2)$整数网格上.
2012-02-25 cs.CG cs.DM math.CO
Acyclic orientations with path constraints
许多著名的组合优化问题都可以在无向图的无圈方向集上描述。例如，具有一定直径约束的非循环方向与顶点着色和频率分配问题的最优解密切相关。在本文中，我们介绍了一个线性规划制定的非循环方向的路径约束，并讨论其使用的解决方案的顶点着色问题和一些版本的频率分配问题。的多面体与制定的研究，包括证明哪些约束的制定方面的定义和引入新的类的有效的不等式。
2005-10-21 cs.DM
On the Split Closure of the Periodic Timetabling Polytope
本文研究周期事件调度问题不同整数规划表述的分裂闭包，证明其等价于翻转不等式并分析分离复杂度，还通过 PESPlib 计算评估分裂割的界强化效果。
2023-06-05 cs.DM math.OC
Lower bounds for the integrality gap of the bi-directed cut formulation of the Steiner Tree Problem
研究图上度量Steiner Tree问题，计算双向割（BCR）公式的整数间隙下界，引入Complete Metric（CM）模型以弥补BCR弱点，将Gap问题扩展至该领域，并通过设计启发式方法发现节点数<=10的实例实现已知最佳下界。
2025-03-03 cs.DM math.OC
Fixed-charge transportation problems on trees
考虑图上一类固定费用的运输问题。我们表明，这个问题是强NP-难的，但在伪多项式时间内可解的树使用动态规划。我们还表明，LP制定相关的动态程序可以从单节点流多面体的扩展配方。鉴于这些结果，我们提出了一个一元的扩展为基础的一般图形，计算上的优势相比，一个标准的配方，即使它的LP松弛不强。
2015-11-25 cs.DM math.OC
Extended formulations, non-negative factorizations and randomized communication protocols
多面体$P$的扩展公式是多面体$Q$与线性映射$π$的线性描述，使得$π(Q)=P$。这些对象在多面体组合学和优化理论中具有根本的重要性，并且是许多研究的主题。Yannakakis因子分解定理[M.扬纳卡基斯用线性规划表示组合优化问题。{ \em J.系统科学}，43（3）：441- 466（1991）]提供了扩展公式和通信复杂性之间令人惊讶的联系，表明$P$的扩展公式的最小尺寸等于其松弛矩阵$S$的非负秩。此外，Yannakakis还证明了$S$的非负秩至多是$2^c$，其中$c$是任何\emph{deterministic}协议计算$S$的复杂度。在本文中，我们表明，后者的结果可以加强时，我们允许协议是\emph{randomized}。特别地，我们证明了任何非负矩阵的非负秩的以2为底的对数等于在期望中计算矩阵的随机通信协议的最小复杂度。使用Yannakakis因子分解定理，这意味着多面体$P$的扩展公式的最小尺寸的以2为底的对数等于在期望中计算$P$的松弛矩阵的随机通信协议的最小复杂度。我们表明，允许随机化的协议可以是至关重要的，以获得小的扩展配方。具体来说，我们证明了，对于生成树和完美匹配的多面体，在协议中的小方差的力量在扩展配方的大尺寸。
2013-05-13 cs.DM math.CO
A polyhedral approach for the Equitable Coloring Problem
在这项工作中，我们研究的多面体与0，1-整数规划制定的公平着色问题。我们发现几个家庭的有效的不等式，并推导出充分条件，以小面定义的不等式。我们还提出了计算的证据，表明这些不等式中使用的切割平面算法的有效性。
2011-11-01 cs.DM
Polyhedral results for the Equitable Coloring Problem
在这项工作中，我们研究的多面体与0/1整数规划制定的公平着色问题。我们发现几个家庭的有效的不等式，并推导出充分条件，以小面定义的不等式。我们还提出了计算证据的有效性，包括这些不平等的削减分支和削减算法。
2011-06-16 cs.DM
Convex Recoloring of General Graphs: Formulations, Polyhedra, and Computational Experiments
KU Leuven（荷语天主教鲁汶大学）
针对一般图上的凸重着色问题，提出四种混合整数线性规划公式，其中基于代表元的模型在分支切割算法中表现最佳。
2026-06-29 cs.DM
Extended Formulation Lower Bounds via Hypergraph Coloring?
探索线性规划在组合优化问题中的作用，在一系列突破性的不可能结果之后，最近重新受到关注。从算法的角度来看，相关的问题涉及是否有紧凑的配方，即使是已知的承认多项式时间算法的问题。我们提出了一个框架，证明扩展配方的大小的下限。我们这样做，通过引入一种特定类型的扩展松弛，我们称之为产品松弛，是出于研究的Sherali-Adams（SA）层次。然后，我们表明，对于每一个近似松弛的多面体P，有一个产品的松弛，具有相同的大小，至少是强大的。我们提供了一种方法来证明下界的大小近似产品松弛下界的一个基本超图，其顶点对应于间隙诱导向量的色数。我们扩展产品松弛的定义和我们的方法，混合整数集。然而，在这种情况下，我们能够表明，混合产品松弛至少是强大的一个特殊的家庭的扩展配方。作为我们的方法的应用，我们显示了一个指数下界的度量容量限制设施选址问题，这似乎是棘手的线性规划的恒定间隙紧凑的配方有关的近似混合产品配方的大小。
2014-12-30 cs.DM
Polyhedral approach to weighted connected matchings in general graphs
本文针对一般图中加权连通匹配的NP困难问题，提出两种混合整数规划公式和分支切割方案，利用匹配多面体与连通子图多面体的强有效不等式逼近凸包，并在DIMACS基准实例上取得良好计算效果。
2023-10-09 cs.DM cs.DS math.CO
Lower Bounds on the Complexity of Mixed-Integer Programs for Stable Set and Knapsack
该研究通过扩展信息论方法，证明稳定集与背包问题的多项式规模MIP公式所需整数变量数的下界为Ω(n/log²n)，改进了此前已知的下界，同时给出了对应稳定集多面体近似扩展公式的规模下界。
2024-03-13 cs.DM cs.DS math.OC
Extended Formulations for Radial Cones
本文研究多面体顶点处的径向锥的扩展公式，其中多面体$ P $的顶点处的径向锥$ v \in P $是由$ P $中在$ v $处有效的约束所定义的多面体.给定$ P $的扩展公式，很容易为其每个径向锥体获得具有可比大小的扩展公式。相反，有可能$ P $的径向锥允许比$ P $本身小得多的扩展公式。这种类型的一个突出例子是完美匹配多面体，它不能用次指数大小扩展公式来描述（Rothvovich 2014）。然而，Ventura & Eisenbrand（2003）表明，它的径向圆锥可以用多项式大小的扩展公式来描述。此外，他们还将其构造推广到$ V $ -联多面体。在同一篇论文中，作者问，对于奇截多面体，即$ V $ -join多面体的阻断体，是否也是如此。我们对这个问题的回答是否定的。准确地说，我们表明，径向圆锥的奇切多面体不能描述的次指数大小扩展配方。为了得到我们的结果，对于块型多面体$ P $，我们建立了它的径向锥与$ P $的块的某些面之间的一般关系。
2018-05-25 cs.DM math.CO
Simple odd $β$-cycle inequalities for binary polynomial optimization
本文针对二元多项式优化中的多线性多面体，提出简单奇$β$-圈不等式，并给出适用于任意实例的强多项式时间分离算法，同时保持Chvátal秩2且足以描述圈超图多面体，实验显示其有助于缩小完整性间隙但计算成本较高。
2023-07-07 cs.DM math.CO
Neural Networks and (Virtual) Extended Formulations
Georg Loho\ Universität Berlin \& University of Twente
通过将神经网络表示能力与多面体的扩展复杂度关联，证明单调或输入凸神经网络规模的下界，并引入虚拟扩展复杂度以推广到一般神经网络。
2026-05-28 cs.CC cs.DM cs.LG
