A comment on "Factoring integers with sublinear resources on a superconducting quantum processor"
本研究针对Yan等人称用372量子比特、结合QAOA改进Schnorr格分解算法可破解2048位RSA的结论，通过开源实现验证发现该混合算法仅能分解至多70位整数，该结论不成立，同时为相关混合算法研究提供测试平台。
2023-07-21 quant-ph
Factoring semi-primes with (quantum) SAT-solvers
大整数分解的假设计算难度形成了RSA公钥密码学的安全性基础，RSA公钥密码学特别依赖于两个大素数或半素数的乘积。经典计算机中最著名的因子分解算法在次指数时间内运行。由于整数分解是NP问题，因此可以将此问题简化为任何NP困难问题，例如布尔可满足性（SAT）。虽然将因子分解简化为SAT已被证明对研究SAT求解器有用，但通过这种简化来分解大整数的尝试并不成功。Shor的量子因子分解算法在多项式时间内对任何整数进行因子分解，尽管目前还没有能够实现Shor算法的大规模容错量子计算机，因此通过Shor算法进行因子分解的相关基准测试实验还不可能。然而，近年来，一些作者尝试在量子处理器的帮助下，通过简化到NP难问题来进行因式分解。虽然这种方法可能会揭示一些算法的量子解决方案的NP难题的方法，在本文中，我们研究和质疑这种方法的实际有效性，分解大的数字。我们没有发现任何证据表明这是一条可行的途径来分解大量的数字，即使是可扩展的容错量子计算机，以及各种量子退火或其他特殊用途的量子硬件。
2019-10-23 cs.CR quant-ph
Scalable semi-classical implementation of Shor factoring using time-multiplexed degenerate optical parametric oscillators
提出了一种在时间复用简并光参量振荡上对任意长整数对进行编码的方案。振荡脉冲的偏振方向和相位之间的经典纠缠，被看作是两个计算寄存器，消除了每对中的整数相关。我们显示的主要算法步骤，模幂运算和离散傅立叶变换，Shor的量子因子分解算法可以在寄存器中执行的脉冲干扰下的外部逻辑的协助下。因此，该因子分解算法相当于一个半经典的光路实现，是可扩展的和消相干的自由。所寻求的乘法阶，从其中的素因子推导出，确定从四孔干涉测量在路径的末端产生的二维条纹图像。
2022-05-24 quant-ph
Implementation of Shor Algorithm: Factoring a 4096-Bit Integer Under Specific Constraints
针对量子计算实用化需求，研究聚焦Shor算法实现，通过提升模运算效率，在特定约束下完成4096位整数分解，相比SOTA方法效率显著提升且支持更长整数分解。
2025-05-16 cs.CR math.NT quant-ph
The Jacobi Factoring Circuit: Quantum Factoring with Near-Linear Gates and Sublinear Space and Depth
MIT（麻省理工学院）；Harvard（哈佛大学）
提出用于分解一大类整数的紧凑量子电路，对特定形式整数用亚线性空间和深度及近线性门实现因式分解，这是首个为经典难因式分解问题实现亚线性量子比特数的多项式时间电路，核心是新的计算雅可比符号的算法。
2026-07-07 cs.CC quant-ph
Factoring six-digit integers with superconducting quantum circuits
National Laboratory of Solid State Microstructures, School of Physics, Nanjing University（南京大学固体微结构物理学院）；Shishan Laboratory, Suzhou Campus of Nanjing University（南京大学苏州校区石湖实验室）；Jiangsu Key Laboratory of Quantum Information Science and Technology, Nanjing University（南京大学量子信息科学与技术江苏省重点实验室）；Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）；Synergetic Innovation Center of Quantum Information and Quantum Physics, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学量子信息与量子科技创新研究院）
该研究提出一种基于超导电路的量子分解协议，通过微波驱动构造可调二能级系统并光谱测量，无需纠缠即可分解六位整数，性能受限于控制精度和线宽。
2026-09-14 quant-ph
Factoring 2048-bit RSA Integers in 177 Days with 13436 Qubits and a Multimode Memory
我们分析了一个量子计算机架构的性能结合一个小处理器和一个存储单元。通过专注于整数分解，我们展示了与使用具有最近邻连通性的量子位的平面网格的标准架构相比，处理量子位的数量减少了几个数量级。这是通过利用时间和空间复用存储器来存储处理步骤之间的量子位状态来实现的。具体地，对于$10^{-3}$的特征物理门错误率，1微秒的处理器周期时间，假设阈值为0.75%，在177天内分解2048位RSA整数是可能的处理器由13436个物理量子比特和一个存储器组成，可以存储2800万个空间模式和45个时间模式，存储时间为2小时。通过插入额外的纠错步骤，1秒的存储时间被证明是足够的，在增加约23%的运行时间的成本。更短的运行时间（和存储时间）可以通过增加处理单元中的量子位数来实现。我们建议实现这样一个架构，使用微波接口之间的处理器与超导量子比特和多路复用存储器使用的原则，光子回波掺杂稀土离子的固体。
2021-09-28 quant-ph
On completely factoring any integer efficiently in a single run of an order finding algorithm
本文证明对于任意整数 $N$，给定从 $\mathbb Z_N^*$ 中均匀随机选取的单个元素的阶，能以极高概率在多项式时间内高效找到 $N$ 的完全因式分解，这意味着通常单次运行 Shor 算法的量子部分即可，随后通过经典后处理以极低成本恢复所有素因子。
2020-12-09 cs.CR cs.DM quant-ph
Factoring integers via Schnorr's algorithm assisted with VQE
本文针对经典计算机难以高效分解大整数的问题，复现并分析了Yan等人的混合量子分解算法，改用VQE量子方法成功分解了数字1961，验证了该路线的可行性。
2024-11-25 cs.CR quant-ph
Demonstration of Shor's factoring algorithm for N=21 on IBM quantum processors
我们报告了一个概念验证演示的量子秩序发现算法因式分解的整数21。我们的演示涉及使用量子相位估计例程的编译版本，并建立在Martín-López等人在Nature Photonics 6，773（2012）中的先前演示的基础上。我们超越了这项工作，通过使用近似Toffoli门与残余相移的配置，它保留了功能的正确性，并允许我们实现一个完整的因式分解N=21。我们在IBM量子处理器上仅使用5个量子位实现了该算法，并成功验证了控制和工作寄存器量子位之间存在纠缠，这是该算法总体加速的必要条件。我们采用的技术可能是有用的，在执行肖尔的算法较大的整数，或其他算法的系统与有限数量的噪声量子位。
2022-09-19 quant-ph
Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance
任何经典计算机为了找到$l$ -位整数$N$的素因子所需的步骤数随着$l$呈指数增长，至少使用目前已知的算法。因此，大整数的因式分解在经典上是难以处理的，这是广泛使用的密码的安全性的基础。然而，量子计算机可以在多项式时间内分解整数，使用Shor的量子分解算法。虽然对量子计算机的研究很重要，但这种算法的实验证明是难以捉摸的。在这里，我们报告一个最简单的实例Shor的算法：分解${N=15}$（其素因子是3和5）。我们使用一个分子中的七个自旋为1/2的原子核作为量子比特，可以用室温液态核磁共振技术来操纵。这种使用原子核来存储量子信息的方法原则上可扩展到许多量子比特系统，但是这种可扩展性并不被本工作所暗示。我们工作的意义在于演示复杂量子计算机精确控制和建模的实验和理论技术。特别是，我们提出了一个简单的，无参数的，但在我们的系统中的退相干效应的预测模型。
2001-12-30 quant-ph
The State of Factoring on Quantum Computers
本文评估数字与模拟量子计算机上的整数因式分解现状，分析使 Shor 算法失败的错误，并实验比较三种模拟方法，指出其虽优于随机猜测但仍为指数复杂度。
2025-05-16 physics.comp-ph quant-ph
Shallow Depth Factoring Based on Quantum Feasibility Labeling and Variational Quantum Search
本文提出一种新的量子算法SDF，通过将因式分解转化为无目标函数的优化问题，结合QFL标记可行解并用VQS寻找解，利用浅深度量子电路实现线性扩展的高效因式分解，降低了对错误的脆弱性。
2023-10-22 cs.CR math.OC math.QA
Factoring an integer with three oscillators and a qubit
School of Computation, Information and Technology, Technical University of Munich（慕尼黑工业大学计算、信息与技术学院）；School of Natural Sciences, Technical University of Munich（慕尼黑工业大学自然科学学院）；Munich Center for Quantum Science and Technology（慕尼黑量子科学与技术中心）
本文提出了一种基于连续变量傅里叶变换的因数分解算法，利用单量子比特和三个振子系统实现多项式时间复杂度的整数因数分解，不同于Shor算法及基于量子比特-振子编码的连续变量实现。
2024-12-17 quant-ph
Odd orders in Shor's factoring algorithm
Shor的因子分解算法（SFA）找到一个数的素因子，$N=p_1 p_2$，比最著名的经典算法快指数。负责加速的是一个称为量子寻序算法（QOFA）的子程序，它计算阶数--满足$a^r \mod N =1$的最小整数$r$，其中$a$是随机选择的与$N$互质的整数（意味着它们的最大公约数是1，$\gcd(a, N) =1$）。给定$r$，且概率不小于$1/2$，则因子由$p_1 = \gcd (a^{\frac{r}{2}} - 1, N)$和$p_2 = \gcd (a^{\frac{r}{2}} + 1, N)$给出。对于奇数$r$，假设无法找到因子（因为$a^{\frac{r}{2}}$通常不是整数），并且使用不同的$a$值重新启动QOFA。但最近的一篇论文[E。Martin-Lopez：Nat Photon { \bf 6}，773（2012）]指出，如果互质是平方的，则有时可以从奇数阶找到因子。这就提出了通过考虑奇数订单来提高SFA成功概率的问题。我们表明，改进是可能的，虽然它是小的。我们提出了两种技术检索的顺序显然是无用的运行的QOFA：不丢弃奇怪的订单，并寻找新的顺序发现关系的情况下失败。在效率方面，使用我们的技术相当于避免平方互素和忽略奇数阶，这在实践中更简单。尽管如此，我们的技术在不久的将来可能会有用，而演示仅限于分解小数。QOFA最令人信服的证明是那些返回非2的幂…
2015-01-13 quant-ph
NMR implementation of Factoring Large Numbers with GaußSums: Suppression of Ghost Factors
基于Schleich等人开发的算法，可以通过各种实验技术来找到整数的因子，它使用高斯和的特定属性。实验限制通常需要截断这些系列，但如果截断参数太小，就不再可能区分因子和所谓的“幽灵”因子。在这里，我们讨论两种区分真因子和虚因子的技术，同时保持和中的项数不变或仅缓慢增加。我们实验测试这些修改后的算法在核自旋系统中，使用NMR。
2008-03-24 quant-ph
An Efficient Quantum Factoring Algorithm
本文提出一种高效量子因式分解算法，通过独立运行包含$\tilde{O}(n^{3/2})$个门的量子电路$\sqrt{n}+4$次并结合多项式时间经典后处理来分解$n$位整数，其正确性依赖于数论启发式假设。
2024-01-07 cs.CC quant-ph
Shor's Algorithm Does Not Factor Large Integers in the Presence of Noise
该研究在通用随机噪声模型下证明，当噪声超过相对于待分解整数比特数极小的阈值时，Shor量子分解算法无法分解正密度素数构成的pq型整数，且对随机素数对该结论以1-o(1)的概率成立。
2023-06-15 cs.DM quant-ph
A Rydberg-atom approach to the integer factorization problem
本文提出一种基于里德伯原子图和量子绝热计算的整数分解方法，通过编程二进制乘法表获得分解解叠加态，并在小合数上完成实验演示，同时讨论了其可扩展性局限。
2024-02-01 physics.atom-ph quant-ph
How to factor 2048 bit RSA integers in 8 hours using 20 million noisy qubits
我们通过结合Shor 1994，Griffiths-Niu 1996，Zalka 2006，Fowler 2012，Ekerkirst-Hastad 2017，Ekerkirst 2017，Ekerkirst 2018，Gidney-Fowler 2019，Gidney 2019中的技术，显着降低了在量子计算机上对整数进行因子分解和计算有限域中离散矩阵的成本。我们使用大规模超导量子位平台的合理物理假设来估计我们的建设的近似成本：具有最近邻连接的量子位平面网格，$10^{-3}$的特征物理门错误率，1微秒的表面码周期时间和10微秒的反应时间。我们考虑了通常被忽略的因素，如噪声，需要重复尝试，以及计算的时空布局。当分解2048位RSA整数时，我们的构造的时空体积比早期工作的可比估计小一百倍（Van Meter et al. 2009，Jones et al. 2010，Fowler et al. 2012，Gheorghiu et al. 2019）。在抽象电路模型中（忽略了蒸馏、路由和纠错的开销），我们的构造使用$3 n + 0.002 n \lg n$逻辑量子比特、$0.3 n^3 + 0.0005 n^3 \lg n$ Toffolis和$500 n^2 + n^2 \lg n$测量深度来分解$n$位RSA整数。我们量化的密码影响，我们的工作，RSA和计划的基础上的DLP在有限域…
2021-04-13 quant-ph
Quantum simulation of the integer factorization problem: Bell states in a Penning trap
整数$N$的因式分解的算术问题可以转化为量子器件的物理学，这一结果支持了波利亚和希尔伯特的猜想，以证明黎曼假设。该系统的能量与$N$的因子唯一相关，是有界哈密顿量的本征值。在这里，我们解决了量子条件，并表明，直方图的离散能量，由系统的频谱，应解释为在数论中的相对概率为一个素数是$N$的候选因子。这相当于一个量子筛，它被证明只需要$ o(\log \sqrt N)^3$能量测量来解决问题，恢复了Shor的复杂性结果。因此，结果可以看作是一个概率图，一对素数解决给定的分解问题。此外，我们表明，这种量子模拟器的一个可能的实施例对应于两个纠缠粒子在潘宁陷阱。建立模拟实验的可能性进行了详细研究。结果表明，因式分解数，许多数量级大于实验可用的量子计算机计算，是可以实现的，使用典型的参数在潘宁陷阱。
2018-02-12 cs.IT math.IT quant-ph
Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer
数字计算机通常被认为是一种高效的通用计算设备;也就是说，它被认为能够模拟任何物理计算设备，计算时间增加至多多项式因子。当考虑到量子力学时，这可能不是真的。本文考虑因式分解整数和找到离散的整数，这两个问题通常被认为是很难在一个经典的计算机上，并已被用来作为几个建议的密码系统的基础。在一个假想的量子计算机上给出了这两个问题的有效随机化算法。这些算法在输入大小上采取多个多项式步骤，例如，要分解的整数的位数。
1996-01-25 quant-ph
