Recently, Ang--Cai--Sun--Wu (2024) determined the three-point connectivity constant for two-dimensional critical percolation, confirming a prediction of Delfino and Viti (2010). In this paper, we address the analogous problem for planar critical $q$-state Potts spin clusters. We introduce a continuum three-point connectivity constant and compute it explicitly. Under the scaling-limit conjecture for Potts spin clusters, this quantity coincides with the scaling limit of the properly normalized probability that three points lie in the same spin cluster. The resulting formula agrees with the imaginary DOZZ formula up to an explicit $q$-dependent constant with a geometric interpretation. This answers a question from Delfino--Picco--Santachiara--Viti (2013). The proof exploits the coupling between CLE and LQG, together with the BCLE descriptions of $q$-state Potts scaling limits due to Miller--Sheffield--Werner (2017) and Köhler-Schindler and Lehmkühler (2025).
Central limit theorems in Random cluster and Potts Models
证明了当q>=1时，存在r（q）<1 such that for p>r（q），在Z^d，d>=2上的随机簇测度phi_{p,q}下，属于无限簇的大盒中的点数具有正常的中心极限行为.特别地，我们可以取r（q）=p_g^*，其中d=2，这通常被证明等于p_c。利用这些结果证明了q-态Potts模型在极低温下的基Gibbs测度的经验测度和位于基Gibbs测度的凸包中的Gibbs测度的涨落的q-维中心极限定理.在高温区也给出了类似的中心极限定理。还讨论了伊辛模型的一些特殊性质。
Conformal invariance of the planar four-state Potts model and its random-cluster representation
CNRS, Sorbonne Université, LPSM（法国国家科学研究中心，索邦大学，LPSM）；Université de Fribourg（弗里堡大学）；Université de Genève（日内瓦大学）；Institut des Hautes Études Scientifiques（高等科学研究所）
Efficient sampling and counting algorithms for the Potts model on $\mathbb Z^d$ at all temperatures
对于$d \ge 2$和所有的$q\geq q_{0}(d)$，我们给出了一个有效的算法，对任意的逆温度$β\geq 0$，从有限环面$(\mathbb Z / n \mathbb Z )^d$上的$q$态铁磁Potts和随机团簇模型中近似采样.这表明Potts模型的物理相变对有效采样没有算法障碍，并且与马尔可夫链混合时间结果相反：Glauber动力学在临界温度和低于临界温度时混合缓慢，而Swendsen-Wang动力学在临界温度时混合缓慢。我们还提供了一个有效的算法（FPRAS）近似这些模型在所有温度下的分拆函数。我们的算法是基于表示的随机集群模型作为一个轮廓模型，使用Pirogov-西奈理论，然后计算一个准确的近似的对数的分拆函数通过归纳截断所产生的集群扩展。我们的方法的主要创新是不稳定的基态，这是必不可少的，我们的算法适用于所有的逆温度$β$的算法处理。通过处理不稳定的基态，我们的工作给出了一个通用的模板转换概率应用Pirogov西奈理论的有效算法。
Multi-point functions of a full-plane two-state fuzzy $4$-Potts model
NYU-ECNU Institute of Mathematical Sciences, NYU Shanghai（纽约大学-华东师范大学数学科学研究所，上海纽约大学）；Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Fudan University（复旦大学数学与交叉科学研究院）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉科学研究院）
