Structures and Diagrammatics of Four Dimensional Topological Lattice Field Theories
Crane和Frenkel提出了三角化4-流形的状态和不变量，他们定义并使用了一种新的代数结构，称为Hopf范畴。Crane和Yetter研究了Hopf范畴，并给出了一些使用群上循环的例子，这些群上循环与有限群的Drinfeld double相关。本文利用Crane-Yetter上循环作为Boltzmann权定义了三角化四维流形的状态和不变量。我们的不变量推广了Dijkgraaf和Witten定义的三维不变量和通过霍普夫代数定义的不变量。我们提出了图解的方法来研究这种不变量，说明了霍普夫类别之间的连接和移动到三角剖分。
1998-06-05 math.CT math.GT
Diagrammatic bases from stratified normalization
本文提出一种基于分层重写系统的规范化方法，用于计算图解范畴的hom基，并应用于$q$-Schur范畴构造新基。
2026-09-30 math.CT math.QA math.RT
A diagrammatic approach to symmetric lenses
透镜是用于保持一对系统之间一致性的数学结构。在他们正在进行的研究计划中，Johnson和Rosebrugh试图将对称晶状体的治疗与非对称晶状体的跨度统一起来。本文通过用Mealy态射表示传播操作，给出了范畴间对称透镜的一种图解方法。本文的主要结果是通过在hom-category之间构造一个显式的伴随三元组，证明了对称透镜的双范畴与非对称透镜的跨距双范畴是局部伴随的.
2021-01-26 math.CT
Homotopy theory of stricter $n$-categories
本研究基于正则有向复形理论定义更严格$n$-范畴，推导其Gray积与纬垂稳定性等性质，构建folk模型结构并证明其与图解集模型结构的右转移关系，丰富了高维范畴同伦理论工具。
2025-09-30 math.AT math.CT
The Algebra of Open and Interconnected Systems
在这里，我们开发的范畴理论工具，理解网络风格的图形语言。典型的网络式图形语言是电路的图形语言;其他例子包括信号流图、马尔可夫过程、自动机、Petri网、化学反应网络等。其关键特征是这种语言由许多具有多个（输入/输出）终端的组件组成，每个终端可能标有某种类型，然后可以沿着这些终端连接在一起，形成一个更大的网络。这些组件在标记的顶点之间形成超边，因此这种语言的图形成超图。我们通过引入超图范畴的概念来形式化组合结构。网络风格的图解语言和它们的语义因此形成超图范畴，并且语义解释给出超图函子。本文的第一部分发展了超图范畴理论。特别是，我们介绍了装饰cospans和相关的工具。装饰cospans允许直接从图形语言中构建超图类别：输入，输出及其组成由cospans建模，而“装饰”指定组件本身。然而，并不是所有的超图范畴都可以通过修饰的余跨距来构造。装饰相关性是一个更强大的版本，它允许构造所有超图范畴和超图函子。这些通常对于从图到语义构建图形语言和函子的语义类别很有用。为了说明这些原则，本论文的第二部分详细介绍了线性时不变动力系统和无源线性网络的应用。
2016-09-17 math.CT
Diagrammatics for $F_4$
本文定义图示幺半范畴并构造到 $F_4$ 型例外李代数模范畴的满且本质满射幺半函子，为 $F_4$ 型表示论提供类似经典 Brauer 范畴的图示工具。
2022-08-29 math.CT math.RT
Surface Diagrams for Frobenius Algebras and Frobenius-Schur Indicators in Grothendieck-Verdier Categories
该研究为Grothendieck-Verdier范畴建立三维曲面图演算，推广刚性幺半范畴的Frobenius代数性质，引入高阶Frobenius-Schur示性数并证明其等价不变性，配套提供图形证明助手辅助文件。
2025-05-19 math.CT math.QA
The diagrammatic presentation of equations in categories
本文定义了精确表示“同解”的范畴图等价，并证明图范畴沿该等价的局部化与切片范畴沿初始函子的局部化同构，且推广至局部可展示 2-范畴。
2024-01-22 math.CT
String Diagrammatic Trace Theory
本文将幺半范畴中的形式语言理论扩展至多类对称情形，通过引入对称幺半自动机统一了 Mazurkiewicz 迹语言与 Zielonka 异步自动机，并利用字符串图推导迹的串行化。
2023-06-28 cs.FL math.CT
Diagrammatic Differentiation for Quantum Machine Learning
Department of Computer Science, University of Oxford（牛津大学计算机科学系）；Cambridge Quantum Computing Ltd.（Cambridge Quantum Computing Ltd.（剑桥量子计算有限公司））
我们介绍了张量微积分的图解微分一般化的对偶数建设从钻机monoidal类别。应用这ZX图，我们展示了如何计算图解的梯度的线性映射相对于一个相位参数。对于参数化的量子线路，我们在许多变分量子算法的基础上得到了著名的参数移动规则。然后，我们将我们的方法扩展到混合经典量子线路的自动微分，使用气泡图来编码任意非线性算子。此外，图表差异化在DisCoPy（monoidal categories的Python库）中有一个开源实现。经典量子线路的图形梯度可以使用PyZX库简化，并通过tket编译器在量子硬件上执行。这为利用弦图的结构和量子机器学习的计算能力的许多实际应用打开了大门。
2021-09-18 cs.LG math.CT quant-ph
Equivalences in diagrammatic sets
Tallinn University of Technology（塔林科技大学）
本文提出图示集中的等价概念，通过合取弱可逆性定义，并开发了处理弱单位和单位子结构的方法，以区别于严格ω-范畴。
2025-12-22 math.AT math.CT
Coherence for lenses and open games
计算机科学中的多态透镜范畴，以及合成对策论中的开放对策范畴，都有一种奇怪的结构，让人想起紧凑的封闭范畴，但在某些关键方面有所不同。具体地说，它们有一个态射族，其行为类似于紧致闭范畴的计数器，但没有相应的单位;它们有一个“部分”对偶，其行为类似于紧致闭范畴中的换位，当它被定义时。我们公理化这个结构，我们称之为“目的论范畴”。我们精确地定义了一种适合于这些范畴的图解语言，并证明了它们的一个连贯性定理。这支持了在组合对策论中使用图解推理，这种推理以前只被非正式地使用。
2017-09-15 cs.LO math.CT
Interacting Quantum Observables: Categorical Algebra and Diagrammatics
本文有两个紧密交织的目标：（i）介绍一种直观和通用的多量子比特系统的图形演算，ZX演算，它大大简化了量子计算和信息领域的推导。(ii)公理化量子观测量的互补性，在一个一般的框架内的物理理论的匕首对称幺半群范畴。我们还公理化在这个框架内的相移。使用良好的研究规范之间的对应关系的图形演算和对称monoidal类别，我们的研究结果提供了一个纯粹的图形形式化的互补量子观测。每一个单独的可观测量，由一个交换的特殊匕首弗罗贝纽斯代数表示，产生一个阿贝尔群的相移，我们称之为相位群。我们还确定了一个强大的形式的互补性，满足Z和X自旋观测量，从而产生一个缩放的双代数的变体。
2011-04-21 cs.LO math.CT math.QA
Some notes on diagram chasing and diagrammatic proofs in category theory
图追踪是范畴论和同调代数中常用的证明方法。它涉及到元素理论的方法，以显示某些属性举行的交换图表。当第一次处理阿贝尔范畴时，人们可以使用图解方法而不依赖于元素的概念。然而，不断地操纵各种图的泛性质可能相当麻烦。也就是说，我们认为，为了推动范畴论的发展，在两种观点之间进行对比仍然是重要的。我们把我们的范围集中在短五引理，更基本的图引理之一，并提出了一个快速的相关主题的阐述。此外，我们利用拉回的泛性质对短五引理给出了一个新颖的证明。
2020-10-28 math.CT
Entropy, cocycles, and their diagrammatics
该研究将群上闭链的熵相关构造转化为平面网络图演算，得到的幺半范畴补充了现有熵的范畴与算子研究方法。
2024-10-09 cs.IT math-ph math.CT
Towards interpolating categories for equivariant map algebras
本文利用弦图语言定义了等变映射代数模的范畴推广，并使用定向 Brauer 范畴 OB 构造了 $\mathfrak{gl}_n \otimes k[t]$-模范畴的候选插值范畴。
2025-04-29 math.CT math.RT
A diagrammatic calculus for categorical quantum protocols
本文提出一种基于一维配边和自由生成群的图形语言范畴，证明其具有双积的dagger紧致闭结构，并利用相干性结果，仅通过绘图即可验证量子隐形传态、纠缠交换和超密编码等量子协议的有效性。
2023-11-18 math.CT quant-ph
Diagrammatic category theory
本文提出用弦图直观表示范畴论基本概念（如泛性质、极限、Kan扩张等）的证明，并介绍计算（余）端的方法，帮助初学者直观理解范畴论基础。
2024-07-18 math.CT
Abstract Tensor Systems as Monoidal Categories
本文的主要贡献是给出一个正式的，范畴化的治疗彭罗斯的抽象张量符号，在跟踪对称幺半范畴的上下文中。为了做到这一点，我们引入了一个类型化的，无和版本的抽象张量系统，并展示了其相关类别的建设。证明了自由抽象张量系统的伴随范畴实际上是monoidal签名上的自由迹对称幺半范畴范畴。这个结果的一个显著的结果是一个简单的证明的可靠性和完备性的图形语言的跟踪对称幺半范畴。
2013-08-16 math-ph math.CT math.MP
Transformation Double Categories Associated to 2-Group Actions
与群作用相关的变换群胚捕捉了集合论术语中描述的结构的全局和局部对称性之间的相互作用。本文考察了范畴论术语中描述的结构的类似情况，其中对称性被表示为2-群G（等价地，范畴群）在范畴C上的作用。它描述了建设的一个转换广群的图解条款，并认为这一建设内部的猫，范畴的范畴。其结果是一个描述C的局部对称性的双范畴C//G。我们定义了这一点，并描述了它的一些结构，与伴随作用的G本身作为一个指导性的例子。
2016-01-11 math.CT
A Variety Theorem for Relational Universal Algebra
我们开发了一个类似的泛代数，其中生成符号被解释为关系。我们证明了这些关系代数理论的一个多样性定理，其中我们发现它们的模型范畴正是可定义的范畴。我们的关系代数理论的语法是弦图解的，并且可以被看作是代数理论的通常术语语法的扩展。
2021-11-08 cs.LO math.CT
Diagrammatic presentations of enriched monads and varieties for a subcategory of arities
本文针对子范畴的范畴，提出了图示 $J$-表示和 $J$-元簇的形式体系，用于直接描述充实代数结构，并证明 $J$-元簇与 $J$-元 $V$-单子对偶等价，进而推广了预理论-单子伴随及Birkhoff的Galois联络。
2023-06-29 math.CT
Collages of String Diagrams
该研究提出弦图拼贴作为粘合多个幺半范畴的图示语法，将其解释为带基点的双模profunctor，并给出了双模范畴、函子盒及内部图的弦图三类应用示例。
2023-12-14 cs.LO math.CT
Enhanced left triangulated categories
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究具有同调核的dg范畴，其同调范畴自然具有左三角结构。通过证明此类dg范畴的稳定化具有自然的dg增强结构。
2026-03-25 math.CT math.RT
Pictures of Processes: Automated Graph Rewriting for Monoidal Categories and Applications to Quantum Computing
这项工作是关于图形语言，它们如何被表示，以及它们反过来可以用来表示什么。更具体地说，它侧重于字符串图的表示和应用。字符串图用于表示一组进程，用“盒子”表示，带有多个（类型化的）输入和输出，用“线”表示。如果我们允许将输入和输出连接在一起，我们就可以直观地表示过程的复杂组合，形式化为幺半范畴中的态射。[...]本论文的第一个主要贡献是介绍了一个离散版本的字符串图称为字符串图。字符串图形成了一个部分粘合类别，因此可以使用双推出图重写来操纵它们。此外，我们展示了如何字符串图模重写系统可以用来构建免费的对称跟踪和紧凑的闭范畴monoidal签名。第二个贡献是图形语言在量子信息论中的应用。我们使用的混合物的图解和代数技术证明一个新的分类结果强互补的可观。[...]我们还介绍了一个图形语言的多体纠缠，并说明了一个简单的图形公理，区分两个最大纠缠的三方量子比特状态：GHZ和W。[...]第三个贡献是作者开发的两个软件工具的描述，以实现这里描述的大部分理论内容。第一个工具是Quantity，这是一个桌面应用程序，用于构建字符串图和图形理论，以及可视化地执行自动图形重写。第二个是QuantoCoSy，它使用一种称为猜想合成的程序来执行完全自动化的模型驱动理论创建。
2012-03-22 cs.AI math.CT quant-ph
(Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and "even higher" Morita categories
在高阶范畴的背景下定义扭曲的量子场论的挑战的动机，我们开发了一个一般的框架宽松和oplax变换和它们的更高的类似物之间的强$(\infty, n)$ -函子。我们构造了一个双$(\infty,n)$ -范畴，它是由控制所需语义的目标$(\infty, n)$ -范畴构建的。我们定义（op）lax变换为函子到它的部分，并且（op）lax扭曲场论是域论之间的对称monoidal（op）lax自然变换。证明了松弛平凡扭曲相对域论与绝对域论是相同的。作为第二个应用，我们利用$\mathcal{C}$中的高阶态射将对称Monoidal $(\infty, n)$范畴$\mathcal{C}$中的$E_d$ -代数的高阶Morita范畴推广到$(\infty, n+d)$ -范畴.
2016-01-26 math.AT math.CT
Binary trees and fibred categories
我们开发了一个纯粹的集理论的形式主义二叉树和二叉图。我们定义了一类二元自动机，并将其显示为二元图类上的一个类。我们还将二进制图的概念与并发计算理论中出现的过渡系统联系起来。
2003-01-20 cs.DM math.CO math.CT
Gray categories with duals and their diagrams
本文通过三维图示演算研究带对偶的 Gray 范畴的几何与代数性质，定义了空间条件并证明特定图示求值在同胚下不变，为拓扑量子场论提供了潜在应用。
2024-09-22 math-ph math.CT math.MP
Hidden Categories: a New Perspective on Lewin's Generalized Interval Systems and Klumpenhouwer Networks
本文用范畴论重新形式化列文的广义音程系统与变换网络，提出一般音乐范畴中的CT-Nets新定义，并揭示其与代数、几何及图论方法之间的统一联系。
2023-11-30 math.CT math.GR
Categories for the practising physicist
在这一章中，我们将以一种有点非传统的方式来考察范畴论中的一些特殊主题。我们的主要重点将是monoidal范畴，主要是对称的，我们提出了一个物理解释。这些与量子基础和量子信息学特别相关。特别注意的范畴，其中有有限维希尔伯特空间作为对象，线性映射作为态射，张量积作为其monoidal结构（FdHilb）。我们还提供了一个详细的讨论范畴的集合作为对象，关系作为态射，和carnival产品作为其monoidal结构（Rel），第三，范畴与流形作为对象和cobordisms之间作为态射（2Cob）。虽然集合、希尔伯特空间和流形不共享任何非平凡的共同结构，但这三个类别实际上在结构上非常相似。共同的特点是图解演算，紧凑的封闭结构和特殊类型的内部commonies发挥了重要作用，在每一个。范畴FdHilb和Rel还允许范畴矩阵演算。这些特征一起引导我们走向拓扑量子场论。我们还讨论了姿态范畴，群表示如何实际上是范畴结构，以及monoidal范畴的严格化和连贯性是什么。为了补充现有的文献，我们省略了一些非常基本的主题。对于这些，我们建议读者参考其他可用的来源。
2009-10-12 math-ph math.CT math.MP
Applied Category Theory in the Wolfram Language using Categorica I: Diagrams, Functors and Fibrations
本文介绍了基于 Wolfram 语言的开源计算范畴论框架 Categorica，支持范畴结构操作、泛性质推理及自动化图表定理证明，首篇聚焦图表、函子与广群的处理及证明能力。
2024-03-24 cs.SC math.CT
$n\mathbb{Z}$-abelian and $n\mathbb{Z}$-exact categories
本文利用$n\mathbb{Z}$ -簇倾斜子范畴的公理化性质，引入了$n\mathbb{Z}$ -交换范畴和$n\mathbb{Z}$ -正合范畴.我们研究了这类范畴，并证明了阿贝尔的每个$n\mathbb{Z}$ -簇倾斜子范畴（分别为，精确）范畴具有$n\mathbb{Z}$ -阿贝尔（相应地，$n\mathbb{Z}$ -精确）类别。证明了每一个小的$n\mathbb{Z}$ -阿贝尔范畴都是这样产生的，并讨论了$n\mathbb{Z}$ -正合范畴的问题.
2022-02-14 math.CT math.KT math.RT
On my favorite conventions for drawing the missing diagrams in Category Theory
我曾经相信，我的公约绘制图表的分类语句可以写下来在一页或更少，唯一棘手的部分是技术重建对象“从他们的名字”。但后来我发现事实并非如此。这是一个试图解释，动机和例子，所有的约定背后的某个图表，所谓的“基本例子”的文字。一旦理解了这些约定，图就成为与米田引理相关的某个引理的“骨架”，在这个意义上，这个引理的陈述和证明都可以从图中重建出来。最后一节讨论了一些简单的方法来扩展约定;我们看到如何在图中表示（“真实”）Yoneda引理及其推论，如何定义逗号范畴，以及如何形式化“儿童几何态射”的图。CT中的人们通常只在他们的图表跨越数学相关性的阈值时分享他们可视化事物的方式-这通常发生在他们用图表证明新定理时，或者当他们可以证明他们的图表可以将曾经巨大的计算转化为更容易可视化的东西时。我在这里介绍的图解语言低于这一门槛，因此它是一种“私人的”图解语言，我将其公开，是为了与其他人建立对话，这些人也创造了自己的私人图解语言。
2020-06-30 math.CT
A categorical foundation for structured reversible flowchart languages: Soundness and adequacy
本文基于带联结的逆范畴为结构化可逆流程图语言建立范畴语义，推广扩展性概念以表示谓词，并证明其计算可靠、充分及在特定条件下方程完全抽象。
2018-09-03 cs.PL math.CT
Monoidal categories graded by partial commutative monoids
University of Tartu（塔尔图大学）；Tallinn University of Technology（塔林理工大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文研究了通过部分交换单oids（PCM）分级的单子范畴，提出了一种新的结构，用于描述效应范畴中的纯和效应态射，并展示了其在程序并行性和资源限制中的应用。
2026-11-03 cs.LO math.CT
Conformal Net Realizability of Tambara-Yamagami Categories and Generalized Metaplectic Modular Categories
我们发现，所有同构类的偶数秩Tambara-Yamagami范畴出现的$\mathbb{Z}_2$扭曲表示的共形网。因此，我们表明，他们的Drinfel'd中心实现（广义）orbifolds的共形网（自对偶）格。偶数秩Tambara-Yamagami范畴的量子双子因子是Bisch-Haagerup子因子，我们描述了它们的（对偶）主图.对每一个奇阶阿贝尔群，其相应的Tambara-Yamagami范畴的Drinfel'd中心给出一个融合环，它将Verlinde环$\mathrm{Spin}(2n+1)_2$推广到$\mathbb{Z}_{2n+1}$ .我们对所有广义元模范畴（即具有这些融合规则的酉模张量范畴）进行分类，并表明它们可以实现为与格相关的共形网的$\mathbb{Z}_2$ -轨道折叠。进一步证明了奇阶阿贝尔群的广义二面体群的扭对偶是群论广义亚模范畴，反之亦然。我们给出了一些例子扭曲的共形网的orbifolds，并显示如何广义元模范畴产生的凝聚较简单的。
2018-03-13 math-ph math.CT math.MP
The Exact Completion for Regular Categories enriched in Posets
通过适当的关系演算，我们构造了一个在偏序集和单调函数的Carnival闭范畴$\mathsf{Pos}$中丰富的正则范畴的精确完备化.然后，我们刻画了任何正则范畴嵌入其完备化的特征，并利用这一点来获得作为这种完备化而出现的具体范畴的例子。特别地，我们证明了Stone和Priestley空间范畴在这种丰富意义下的精确完备是L的紧序空间范畴。纳奇宾最后，我们考虑了一般范畴中的内偏序集范畴与充实正合完备化的关系。
2021-07-28 math.CT
THH and traces of enriched categories
证明了拓扑霍赫希尔德同调（THH）产生于某个组合范畴上的一个圆的预层，从而给出了任意富无穷范畴的THH的普遍构造。我们的结果依赖于一个基本的，模型独立的框架丰富的高阶范畴理论，这可能是独立的利益。
2019-11-04 math.AT math.CT math.KT
Exponentiable virtual double categories and presheaves for double categories
Tallinn University of Technology（塔林科技大学）
本文通过虚拟双范畴的可指数性，构造了伪双范畴间的 lax 函子虚拟双范畴，并揭示了其作为指数中单子与模的虚拟双范畴的泛性质，简化了伪双范畴的 Yoneda 理论。
2026-05-29 math.CT
Poset-enriched categories and free exact completions
School of Applied Mathematical and Physical Sciences, National Technical University of Athens（应用数学与物理科学学院，雅典国立技术大学）
本文通过构造偏序集合富集范畴的精确完备化，证明每个有序代数变种都是某个子范畴的精确完备化，回答了Kurz和Velebil的问题。
2025-12-15 math.CT
Braided skew monoidal categories
我们在斜幺半范畴范畴上引入了辫子的概念，其奇特的特征是定义的同构涉及三个对象而不是两个。这些辫子被证明是从双代数上的cobraidings（也称为coquasitriangular结构）中产生的，并对其进行分类。使用multicategorical的方法，我们还描述了编织的例子，斜幺半范畴范畴产生的2-范畴论。
2020-01-27 math.CT
A model structure on prederivators for $(\infty,1)$-categories
通过Carlson和Renaudin的定理，$(\infty,1)$ -范畴理论嵌入到预导子理论中.本文的目的是给一个双重的答案的逆问题：了解哪些prederivator模型$(\infty,1)$ -范畴，无论是严格的或同伦的意义。首先，我们的特点是prederivator出现在鼻子上的prederivator相关的quasicategories。其次，我们把一个模型结构的范畴的预导子和严格的自然变换，并证明了Quillen等价的Joyal模型结构的拟范畴。
2018-10-15 math.AT math.CT
Weakly Markov categories and weakly affine monads
本文提出弱马尔可夫范畴和弱仿射单子，介于gs-幺半范畴与马尔可夫范畴之间，推广条件独立性理论，并以有限非零测度单子为例说明其在范畴概率中的应用。
2023-08-25 cs.LO math.CT math.PR
Categories of modules, comodules and contramodules over representations
我们研究和联系范畴的模块，余模和contramodules在一个表示的小范畴采取的价值观（co）代数，在一个类似的方式，模块在一个戴环空间。结果，我们得到了一个范畴框架，它以自然的方式包含了这些范畴之间的所有伴随函子。余代数及其态射的各种经典性质在这个理论中自然产生。我们还考虑在这些类别中的每一个，这可能被看作是准相干层的对应方案的carbohydrate对象。我们使用基数参数研究它们的范畴性质。我们的重点是这些范畴的生成元和Grothendieck范畴，因为后者可以被视为非交换空间的替代。
2023-02-14 math.AG math.CT math.RA
