本文研究高维格分布随机向量中 n 个点两两等距的概率，利用多维局部极限定理和重叠映射所张格的分析，给出渐近公式并推广到有限支撑分布及不同距离度量。
摘要：
考虑 n 个 d 维向量，其各分量独立同分布地取自格分布 X。我们证明，它们所有两两距离都相等的概率在 d 趋于无穷、m = C(n,2) 时渐近为 C_n · 1/d^{(m-1)/2}，其中常数可由 X 的前 4 阶矩显式表示。此外，我们将该结果推广到所有有限支撑的 X，以及不同距离度量下的情形。我们的方法依赖于相对少用的多维局部极限定理，以及对 Z^{C(n,2)} 上由重叠映射 H : {0,1}^n → {0,1}^{C(n,2)}，(v_1, …, v_n) ↦ (1_{v_i ≠ v_j})_{1≤i<j≤n} 的像所张成的格的分析。
英文摘要：
Consider $n$ $d$-dimensional vectors with iid entries from a lattice distribution $X$. We show that the probability that all distances between them are equal is asymptotically \[ C_n\cdot\frac{1}{d^{(m-1)/2}} \quad \text{for} \quad d \to \infty \quad \text{and} \quad m = \binom{n}{2}, \] with an explicit constant in terms of the first 4 moments of $X$. Moreover, we generalise this result to encompass all finitely supported $X$, as well as under different distances. Our method relies on the relatively rarely used multidimensional local limit theorem and an analysis of the lattice on $\mathbb{Z}^{\binom{n}{2}}$ spanned by the image of the \emph{overlapping} map \[ H : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^{\binom{n}{2}}, \quad (v_1, \dots, v_n) \mapsto \Bigl( \mathbf{1}_{\{v_i \neq v_j\}} \Bigr)_{1 \le i < j \le n}. \]
Truncated long-range percolation of words on the square lattice
Universidade de São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística（圣保罗大学数学与统计学院）；Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Estatística（米纳斯吉拉斯联邦大学统计学系）
Gaussian concentration, integral probability metrics, and coupling functionals for infinite lattice systems
Centre de Physique Théorique, CNRS, Ecole polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（理论物理中心，法国国家科学研究中心，巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）；Institute of Applied Mathematics, TU Delft（应用数学研究所，代尔夫特理工大学）
