首页/论文/2502.03355

arXiv 2502.033552025-02-05math.AP

在具有许多临界点的近测地凸域上一般椭圆方程的解

Solutions to general elliptic equations on nearly geodesically convex domains with many critical points

Alberto Enciso, Francesca Gladiali, Massimo Grossi

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

AI总结：

本文研究黎曼流形上一般椭圆方程，证明对任意奇数 N≥3，存在包含给定点 p 的近测地凸光滑区域列及其 Dirichlet 问题正解，揭示了此类方程多解的存在性。

摘要：

考虑一个完备的 d 维黎曼流形 (M,g)、一个点 p∈M 以及一个非线性项 f(q,u)，其中 f(p,0)>0。我们证明，对于任意奇数 N≥3，存在一列包含 p 的光滑区域 Ω_k⊂M，以及相应的 Dirichlet 边界问题的正解 u_k:Ω_k→R^+。

英文摘要：

Consider a complete $d$-dimensional Riemannian manifold $(\mathcal M,g)$, a point $p\in\mathcal M$ and a nonlinearity $f(q,u)$ with $f(p,0)>0$. We prove that for any odd integer $N\ge3$, there exists a sequence of smooth domains $Ω_k\subset\mathcal M$ containing $p$ and corresponding positive solutions $u_k:Ω_k\to\R^+$ to the Dirichlet boundary problem

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

Weyl-Hörmander演算中椭圆性与Fredholmness的等价性

Equivalence of Ellipticity and Fredholmness in the Weyl-Hörmander calculus

主要结果是：在Weyl-Hörmander演算中作用于索伯列夫空间的$Ψ$ DO的Fredholm性质和椭圆度对于测地温和的Hörmanders度规是等价的，其对应的Planck函数在无穷远处为零.此外，我们证明了当Hörmander度量是测地温和的，因而微积分是谱不变的，由$L^2$上的可逆元素组成的每个$\mathcal{C}^N$，$0\leq N\leq \infty$，映射$λ\mapsto a_λ\in S(1,g)$的逆$λ\mapsto b_λ\in S(1,g)$又是$\mathcal{C}^N$类.

2019-04-24math.AP

具有超临界非线性项的椭圆型方程在几乎非平凡区域上解的不存在性

Nonexistence of solutions for elliptic equations with supercritical nonlinearity in nearly nontrivial domains

研究了一类非线性椭圆Dirichlet问题$${\rm div}(|D u|^{p-2}D u )+f(u)=0\quad\mbox{ in }Ω,\qquad u\in H^{1,p}_0(Ω) $$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^n$中的有界区域，$n\ge 2$，$p> 1$和$f$从Sobolev嵌入的观点出发具有超临界增长性.我们的目的是证明存在有界可收缩的非星形域$Ω$，任意接近非平凡拓扑的域，使得问题没有非平凡解。例如，我们证明了，如果$n=2$，$1<p<2$，$f(u)=|u|^{q-2}u$与$q>{2p\over 2-p}$和$Ω=\{(ρ\cosθ,ρ\sinθ)\ :\ |θ|<α,\ |ρ-1|<s\}$与$0<α<π$和$0<s<1$，那么对于所有的$q>{2p\over 2-p}$存在$\bar s>0$，使得问题只有平凡的解决方案$u\equiv 0$对所有的$α\in (0,π)$和$s\in (0,\bar s)$。

2019-02-06math.AP

具有近临界指数的椭圆型方程组的解

Solutions of an elliptic system with a nearly critical exponent

考虑问题\begin{eqnarray*} -Δu_\e &=& v_\e^p \quad v_\e>0\quad {in}\quad Ω, -Δv_\e &=& u_\e^{q_\e}\quad u_\e>0\quad {in}\quad Ω, u_\e&=&v_\e\:\:=\:\:0 \quad {on}\quad \partial Ω, \end{eqnarray*}其中$Ω$是$\R^N,$中的有界凸域$N>2,$具有光滑边界$\partial Ω.$这里$p,q_\e>0,$和\begin{equation*} ε:=\frac{N}{p+1}+\frac{N}{q_\e+1}-(N-2). \end{equation*}这个问题对于$\e>0$（具有$pq_\e>1$）有正解，对于$\e\leq 0.$没有非平凡解我们研究了\emph{least energy}解作为$\e\to 0^+.$的渐近行为这些解被证明在恰好一个点爆破，并刻画了这个点的位置。此外，还给出了爆破的形状和精确速率。

2006-05-10math.AP

椭圆方程在散度形式下的内部BMO正则性

Interior $BMO$ regularity for elliptic equations in divergence form

Universidad de Granada（格拉纳达大学）；Instituto de Matemáticas IMAG（IMAG数学研究所）

本文研究了椭圆方程在散度形式下弱解的内部BMO正则性，并证明了系数假设的最优性。

2026-02-11math.AP

黎曼流形上非半有界协变薛定谔算子的自伴性

Self-adjointness of non-semibounded covariant Schrödinger operators on Riemannian manifolds

在测地完备黎曼流形$M$的背景下，我们研究了$\nabla^{\dagger}\nabla+V$的自伴性，其中$\nabla$是度量协变导数（具有形式伴随$\nabla^{\dagger}$），并且$V$是$\textrm{End }\mathcal{V}$的局部平方可积部分，使得“负”部分PDMATHAMT的（纤维方向）范数属于局部Kato类（或者更一般地，局部收缩Dynkin类）。而不是下半有界性假设，我们假设存在一个数$\varepsilon \in [0,1]$和一个正函数$q$的$M$满足一定的增长条件，使$\varepsilon \nabla^{\dagger}\nabla+V\geq -q$，在二次型意义上的不等式被理解为$C_{c}^{\infty}(\mathcal{V})$。在第一个结果中，它属于情况$ε\in [0,1)$，我们使用椭圆方程方法。在第二个结果中，它属于情况$\varepsilon=1$，我们使用双曲方程方法。

2022-03-17math.AP

非局部趋化性模型的大时间整体解

Large global-in-time solutions to a nonlocal model of chemotaxis

我们考虑具有分数（反常）扩散的抛物-椭圆模型。在径向初始数据的大小上的（接近）最优假设下构造全球时间解。此外，径向解爆破的条件下，适当的Morrey空间范数。

2017-05-09math.AP

更多相关论文收起更多论文

秩二规范理论中System of Elliptic Equations多泡解的构造

Construction of Multi-Bubble Solutions for a System of Elliptic Equations arising in Rank Two Gauge Theory

本文研究了以下反对称Chern-Simons方程组\begin{equation}\label{e051} \left\{ \begin{split} &Δu_1+\frac{1}{\varepsilon^2}e^{u_2}(1-e^{u_1})=4π\sum_{i=1}^{2k}δ_{p_{1,i}}\\ &Δu_2+\frac{1}{\varepsilon^2}e^{u_1}(1-e^{u_2})=4π\sum_{i=1}^{2k}δ_{p_{2,i}} \end{split} \text{ in }\quad Ω\right., \end{equation}的多泡解的存在性，其中$k\geq 1$和$Ω$是$\mathbb{R}^2$中的平坦环.继续了与张\cite{HZ-2015}的合作工作，得到了Liouville型鼓泡解存在的必要条件.在几乎必要的条件下（见定理\ref{main-thm}），我们证明了存在一系列解$(u_{1,\varepsilon}, u_{2,\varepsilon})$到\eqref{e051}使得$u_{1,\varepsilon}$和$u_{2,\varepsilon}$在$Ω$中的$k$点同时爆破为$\varepsilon\to 0$ .

2018-11-15math.AP

三维不可压缩欧拉方程中具有小截面的共旋近平行螺旋涡

Co-rotating nearly parallel helical vortices with small cross-section in 3D incompressible Euler equations

本文利用格林函数和有限维约化方法构造半线性椭圆方程的聚簇解，并由此证明三维不可压缩欧拉方程中存在集中于近平行共旋螺旋涡丝附近的小截面螺旋涡量场，验证并推广了已有结果。

2025-11-08math.AP

平面上具有奇异低阶项的一般二阶椭圆型方程的Landis猜想

Landis' conjecture for general second order elliptic equations with singular lower order terms in the plane

本文研究了具有奇异低阶项的二阶变系数椭圆型方程解的消失阶和Landis猜想在平面上的一个定量形式.确切地说，我们让$A$是实值的，有界的和椭圆的，但不一定是对称的或连续的，我们假设$V$和$W_i$是实值的，并分别属于$L^p$和$L^{q_i}$。证明了如果$u$是$B_d$中形式为$-\nabla \cdot (A \nabla u + W_1 u) + W_2 \cdot \nabla u + V u = 0$的方程的实值有界正规解，则在适当的低阶项条件下，对任何足够小的$r$，以下消失估计的阶数成立$$\|u\|_{L^\infty(B_r)} \ge r^{C M},$$其中$M$依赖于低阶项的Lebesgue范数.在许多情况下，一个标度参数会产生兰迪斯猜想的一个定量形式，即\[ \inf_{|z_0| = R} \|u\|_{L^\infty(B_1(z_0))} \ge \exp(- C R^β\log R), \]，其中$β$依赖于$p$、$q_1$和$q_2$。我们对$V$和$W_i$所作的可积性假设在尺度参数方面几乎是最优的。我们利用椭圆边值问题的理论建立了与椭圆方程相关的正乘子的存在性。然后，证明依赖于将方程转换为Beltrami系统，并应用Hadamard三圆定理的推广。

2018-06-10math.AP