Critical Kernel Imperfectness in $4$-quasi-transitive and $4$-anti-transitive digraphs of small diameter
本文刻画了小直径条件下非对称4-准传递、4-传递、2-反传递及非对称4-反传递有向图中临界核不完美图的结构特征。
2024-05-02 math.CO
On kernels by rainbow paths in arc-coloured digraphs
2018年，白，藤田和张（\emph{Discrete Math.} 2018，341（6）：1523-1533）通过彩虹路径引入了内核的概念（简称RP-核），它是$D$的顶点的子集$S$，使得（$a$）对于$S$的任何一对不同的顶点都不存在彩虹路径，并且（$b$）$S$外部的每个顶点都可以通过$D$中的彩虹路径到达$S$。证明了判别弧色有向图是否有RP-核是NP-困难的，判别弧色竞赛图是否有RP-核是NP-完全的。本文给出了弧色单圈有向图、半完全有向图、拟传递有向图和二部竞赛图存在RP-核的充分条件，并证明了如果某些“短”圈和某些“小”诱导子图是彩虹图，则这些弧色有向图有RP-核。
2018-07-22 math.CO
Kernels by properly colored paths in arc-colored digraphs
弧着色有向图$D$的{由适当着色的路径得到的\em核}是$D$的顶点的集合$S$，使得（i）$S$中没有两个顶点通过$D$中的适当着色的有向路径连接，并且（ii）$S$外部的每个顶点都可以通过$D$中的适当着色的有向路径到达$S$。在本文中，我们猜想，每个弧着色有向图的所有圈适当着色有这样一个核，并验证了猜想的单圈，半完全有向图和二部竞赛图。此外，还给出了后两类有向图的较弱条件。
2017-04-27 math.CO
The kernel-subdivision number of a digraph
本文定义了有向图的核细分数κ(D)，即细分最少弧数使图有核，给出了基于奇圈数的界，并推广到H-核情形，在圈重叠少时得到良好界。
2023-12-27 math.CO
On kernel Mengerian orientations of line multigraphs
Ocean University of China（中国海洋大学）
本文研究线多重图的团无环定向，证明其核理想性与核门格尔性等价，且等价条件为定向核完美且无奇环障碍。
2026-11-02 cs.DM math.CO
Nut digraphs
本文将nut图推广并分类为多种nut有向图，证明ambi-nut有向图的结构性质，并给出无限族及系统构造方法。
2025-03-13 math.CO
Solving the kernel perfect problem by (simple) forbidden subdigraphs for digraphs in some families of generalized tournaments and generalized bipartite tournaments
本文通过禁止子有向图刻画了广义锦标赛和广义二分锦标赛若干族中的核完美与临界核不完美有向图，并证明判定CKI问题可多项式求解，回应了Bang-Jensen的猜想。
2018-11-26 math.CO
On the existence of $3$- and $4$-kernels in digraphs
设$D = (V(D), A(D))$是一个有向图。如果$S$的每对顶点之间的距离至少为$k$，则子集$S \subseteq V(D)$是$k$独立的，并且如果对于$V(D) \setminus S$中的每个顶点$u$，存在$v \in S$使得从$u$到$v$的距离小于或等于$\ell$，则子集是$\ell$吸收的.一个$k$核是一个$k$独立的和$(k-1)$吸收的集合.一个内核就是一个$2$ -内核。Duchet的一个经典结果是：如果有向图$D$中的每个有向圈至少有一条对称弧，则$D$有核。我们提出了一个猜想推广这一结果的$k$核，并证明它为真的$k = 3$和$k = 4$。
2016-10-18 math.CO
A dichotomy for the kernel by $H$-walks problem in digraphs
设$H = (V_H, A_H)$是一个可包含环的有向图，$D = (V_D, A_D)$是一个弧着色为$c: A_D \to V_H$的无环有向图. $D$的$H$ -步是$D$的步$(v_0, \dots, v_n)$，使得对于每个$1 \le i \le n-1$，$(c(v_{i-1}, v_i), c(v_i, v_{i+1}))$是$H$的弧。对于$u, v \in V_D$，如果在$D$中存在从$u$到$v$的$H$ -行走，则我们说$u$通过$H$ -行走到达$v$。一个子集$S \subseteq V_D$是$D$的$H$ -Walks核，如果$V_D \setminus S$中的每个顶点通过$H$ -Walks到达$S$中的某个顶点，并且$S$中没有任何顶点可以通过$H$ -Walks到达$S$中的另一个顶点.全色模式是一个有向图$H$，使得每个弧色有向图$D$都有一个由$H$ -游动得到的核。在这项工作中，我们证明了每一个有向图$H$是全色模式，或确定是否弧着色有向图$D$有一个核的$H$ -行走的问题是$NP$ -完全的。
2016-05-31 math.CO
Small $q$-kernels in digraphs
Charles University（查理大学）；University of Chile（智利大学）；National Autonomous University of Mexico (UNAM)（墨西哥国立自治大学）
本文针对Spiro提出的有向图最小$q$-核的三个问题，对其中一个给出肯定回答、两个给出否定回答，还在二分有向图背景下研究了后两个问题并得出相关结论。
2026-08-04 math.CO
k-colored kernels
研究了$m$着色有向图中的$k$着色核.一个$m$着色的有向图$D$有$k$着色的核，如果存在它的顶点的子集$K$，使得（i）从每个顶点$v\notin K$到$K$的一个顶点存在至多$k$着色的有向路，并且（ii）对于每个$u,v\in K$，它们之间不存在至多$k$着色的有向路.本文证明了对每一个正整数$k\geq 2$，存在一个没有$k$-着色核的$% (k+1)$ -着色有向图$D$，并且如果$m$ -着色有向图的每一个有向圈都是单色的，则对每一个正整数$k.$，它都有一个$k$ -着色核。（i）$m$ -着色的拟传递和3-拟传递有向图分别对每个$k\geq 3$和$k\geq 4,$有一个$k$ % -着色核（我们猜想每个$m$ -着色的$l$ -拟传递有向图对每个$k\geq l+1)$都有一个$k$ % -着色的核，以及（ii）$m$着色的局部赛内（分别为赛外）有向图具有$k$着色的核，条件是每个弧属于有向圈并且每个有向圈至多是$k$着色的.
2012-01-13 math.CO
Towards the Small Quasi-Kernel Conjecture
设$D=(V,A)$是一个有向图。一个顶点集$K\subseteq V$是$D$的拟核，如果$K$是$D$中的一个独立集，并且对于每个顶点$v\in V\setminus K$，$v$与$K$的距离不超过2. 1974年，Chvátal和Lovász证明了每个有向图都有一个拟核。P. L.埃尔德斯和L. A. Székely在1976年证明了如果$D$的每个顶点都有正的入度，则$D$有一个大小至多为$|V|/2$的拟核.这个猜想只在有限的有向图类中得到证实，例如半完全多部图、准传递图或局部半完全有向图。本文对所有有向图提出了一个类似的猜想，证明了这两个猜想是等价的，并证明了这两个猜想对一类包含所有4-可着色图（特别是所有可平面图）的定向的有向图成立.
2020-01-12 math.CO
Quasi-kernels in split graphs
本文研究分裂图中的小准核问题，证明了每个无汇分裂有向图存在大小至多2/3|V(D)|的准核，并证明计算最小准核是W[2]-难的。
2024-02-26 cs.DM math.CO
Generating Functions For Kernels of Digraphs (Enumeration & Asymptotics for Nim Games)
在这篇文章中，我们研究了有向图（有向图）的着色约束，由于冯诺依曼和有关的尼姆型游戏。这相当于有向图核的概念，它出现在许多研究领域，如对策论，复杂性理论，人工智能（默认逻辑，多智能体系统中的论证），一元二阶逻辑中的0-1定律，组合学（完美图）.有向图的核导致了许多困难的问题（在NP-完全性，#P-完全性的意义上）。然而，我们在这里表明，它是可能的，使用生成函数的方法来获得新的信息：我们使用的符号和分析组合学（生成函数及其奇异性）的技术，以获得准确和渐近的结果，例如，在电路或在一个单圈有向图的核的存在。这是对核的生成函数学处理的第一步，同时使用，例如，一种“赖特式”的方法。我们的方法可以应用到更一般的“局部着色约束”在可分解的组合结构。
2004-11-06 cs.DM cs.DS cs.GT
$k$-colored kernels in semicomplete multipartite digraphs
一个$m$着色有向图$D$有$k$着色核，如果存在其顶点的子集$K $，使得对于每个顶点$v\notin K$，存在从$v$到$K$的顶点的至多$k$着色有向路，并且对于每个$% u,v\in K$，它们之间不存在至多$k$着色有向路.本文证明了一个$m$着色的半完全$r$ -部有向图$D$有一个$k$着色的核，条件是$r\geq 3$和{enumerate} [（i）] $k\geq 4,$ [（ii）] $k=3$，且包含在$D$中的每个$\overrightarrow{C}_{4}$至多是2-色的，且包含在$D$中的每个$\overrightarrow{C}_{5}$至多是3-色的或包含在$D$中的每个$\overrightarrow{C}_{3}\uparrow \overrightarrow{C}_{3}$至多是2-色的.[（iii）] $k=2$，并且$D$中包含的每个$\overrightarrow{C}_{3}$和$\overrightarrow{C}%_{4}$都是单色的。{enumerate}若$D$是$m$着色的半完全二部图，且$k=2$（分别为. $k=3 $），并且$D$中所含的每个$\overrightarrow{C}_{4}\upuparrows \overrightarrow{C}_{4}$至多为2种颜色（分别为3色），则$D$具有$% 2$色（分别…
2012-02-17 math.CO
Quasi-kernels in Hereditary Classes and Applications to Break
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）；Shanghai Center for Mathematics Science, Fudan University（复旦大学上海数学中心）
本文引入加权半邻域性质，证明break图存在大小不超过2n/3的小拟核，并给出两类特殊break图的n/2界，同时证明任意n顶点有向图存在大小至少为√n的拟核。
2026-06-23 math.CO
On $(k,l,H)$-kernels by walks and the H-class digraph
设$H$是一个可能有环的有向图，$D$是一个没有环的有向图，其弧用$H$的顶点着色（$D$称为$H-$着色有向图）.如果$W=(x_{0},\ldots,x_{n})$在$D$和$i\in \{1,\ldots,n-1\}$中是开放行走，我们说如果$(color(x_{i-1},x_{i}),color(x_{i},x_{i+1}))\notin A(H)$在$x_{i}$上有阻塞。如果$S\subseteq V(D)$，我们说$S$是一个$(k,l,H)$ -内核行走，如果对于$S$中的每一对不同的顶点，它们之间的每一次行走都至少有$k-1$障碍，并且对于每个$x\in V(D)\setminus S$，都存在一个$xS$ -行走，最多有$l-1$障碍。如果$D$是$H$着色有向图，则$H$类划分是$A(D)$的划分$\mathscr{F}$，使得对于每个$\{(u,v),(v,w)\}\subseteq A(D)$，$(color(u,v),color(v,w))\in A(H)$当且仅当存在$\mathscr{F}$中的$F$，使得$\{(u,v),(v,w)\}\subseteq F$ .相对于$\mathscr{F}$的$H$类有向图，记为$C_{\mathscr{F}}(D)$，是使得$V(C_{\mathscr{F}}(D))=\mathscr{F}$，和$(F,G)…
2022-12-22 math.CO
$H$-kernels in $H$-colored digraphs without $(ξ_{1}, ξ, ξ_{2})$-$H$-subdivisions of $\overrightarrow{C_{3}}$
设$H$是一个可能有圈的有向图，$D$是一个没有圈的有向图，其弧$c:A(D) \rightarrow V(H)$是着色的（$D$称为$H$着色的有向图）. $D$中的有向路径$W$被称为$H$ -路径，当且仅当$W$上遇到的连续颜色形成$H$中的有向行走。$D$的顶点子集$N$称为$H$ -核，如果（1）对于$N$中的每对不同顶点，它们之间没有$H$ -路径，以及（2）对于V（$D$）$\setminus$ $N$中的每个顶点$u$，$D$中存在从$u$到$N$的$H$ -路径。在这个定义下，只要$A(H)=\emptyset$，$H$内核就是内核.色类有向图$\mathscr{C}_C$ $D$的（$D$）是有向图，其顶点是$D$的弧中表示的颜色，（$i$，$j$）$\in$ $A$（$\mathscr{C}_C$（$D$））当且仅当存在两条弧，即（$u$，$v$）和（$v$，$w$）在$D$中，使得（$u$，$v$）具有颜色$i$，并且（$v$，$w$）具有颜色$j$。由于不是每个$H$着色有向图都有$H$ -核和$V(\mathscr{C}_C(D))= V(H)$，自然的问题是：关于$H$ -着色，$\mathscr{C}_C(D)$的什么结构性质意味着$D$有$H$ -核？本文利用$V(H)$的一个划分$ξ$和$ξ$的一个划分\{ $ξ_1$，$ξ_2$ \}研究了$H…
2020-06-05 math.CO
$(k,H)$-kernels in nearly tournaments
设$H$是一个可能有环的有向图，$D$是一个没有环的有向图，而$ρ: A(D) \rightarrow V(H)$是$A(D)$的一个着色图（$D$被称为是一个$H$着色的有向图）.如果$W=(x_{0}, \ldots , x_{n})$是$D$和$i \in \{ 0, \ldots , n-1 \}$中的行走，则我们说，无论何时$(ρ(x_{i-1}, x_{i}), ρ(x_{i}, x_{i+1})) \notin A(H)$（当$x_{0} = x_{n}$索引取$n$模时），$x_{i}$上都存在障碍。我们用$O_{H}(W)$表示集合$\{ i \in \{0, \ldots , n-1 \} :$，在$x_{i} \}$上有一个障碍。$H$-$W$的长度，用$l_{H}(W)$表示，在$x_{0} \neq x_{n}$时由$|O_{H}(W)|+1$定义，在其他情况下由$|O_{H}(W)|$定义。$H$着色有向图$D$（$k \geq 2$）的$(k, H)$ -核是$D$的顶点子集，比如$S$，使得对于$S$中的每对不同顶点，它们之间的每条路径的$H$ -长度至少为$k$，并且对于每个顶点$x \in V(D) \setminus S$，存在一条$xS$ -路径，其$H$ -长度至多为$k-1$ .这个概念广泛地推广了以前的好概念，如核，$k$ -核，单色路…
2021-08-02 math.CO
A variable version of the quasi-kernel conjecture
本文研究有向图拟核的大、小 QK 猜想之间的关系，证明二者在尖锐形式下的等价性及带较弱常数的蕴含关系，并对核完美数为 $k$ 的有向图给出大小至多 $(1-1/k)n$ 的拟核。
2024-06-13 math.CO
About $(k,l)$-kernels, semikernels and Grundy functions in partial line digraphs
设$D=(V,A)$是一个有向图，考虑弧子集$A'\subseteq A$和一个穷举映射$ϕ: A\to A'$，使得$(i)$是$A'$的头集$H(A')=V$ ; $(ii)$是该映射固定$A'$的元素，即$ϕ|A'=Id$，并且对于每个顶点$j\in V$，$ϕ(ω^-(j))\subset ω^-(j)\cap A'$。那么，{ \it部分线有向图}的$D$，表示为$\mathcal{L}_{(A',ϕ)}D $（简称$\mathcal{L}D$，如果对$(A', ϕ)$是明确的从上下文），是有向图的顶点集$V (\mathcal{L}D)=A'$和一组弧$A(\mathcal{L}D) = \{(ij, ϕ(j,k)) : (j,k)\in A\}.$在本文中，我们证明了以下结果：设$k,l$是两个自然数，使$1\le l \le k$，和$D$有向图的最小入度至少为1。则$D$的$(k,l)$ -核的数目小于或等于$\mathcal{L} D$的$(k,l)$ -核的数目。此外，如果$l<k$和$D$的周长至少为$l+1$，则这两个数相等。$D$的半核数等于$\mathcal{L} D$的半核数。作为Grundy函数的推广，我们引入了$(k,l)$ -Grundy函数的概念，并证明了$D$的$(k,l)$ -Grundy函数的个数等于任何部分线有向图$\mathcal{…
2016-01-28 math.CO
Kernels and Small Quasi-Kernels in Digraphs
一个有向图$D=(V(D),A(D))$有核，如果存在一个独立集$K\subseteq V(D)$，使得每个顶点$v\in V(D)-K$对于某个$u\in K$都有一个进入弧$u\mathbin{\longrightarrow}v$.有有向图不具有核（例如3圈）。准核是一个独立集$Q$，使得每个顶点可以从$Q$最多两步到达。每个有向图都有一个拟核。P.L.的猜想。埃尔德什和洛杉矶Székely（cf. A.科斯托奇卡河Luo和S. Shan，arxiv：2001.04003v1，2020）假设每个无源有向图都有一个大小至多为$|V(D)|/2$的拟核，其中无源是指每个顶点的入度至少为1。本文通过归纳证明，证明了每一个有核的无源有向图也有一个大小至多为$|V(D)|/2$的拟核.此外，本文中的所有定义和证明都是通过Coq证明助手进行形式验证的。
2021-10-02 math.CO
Perfect graphs with polynomially computable kernels
在有向图中，核是稳定且吸收的顶点子集。不是所有的有向图都有核，但Boros和Gurvich的一个定理保证了完美图的每个无圈-无圈定向都有核。然而，一个悬而未决的问题是在这样的有向图的核计算的复杂性状况。我们的主要贡献是证明了完美图的子族的新的多项式性结果，其中包括无爪完美图和弦图。我们的研究结果是基于两个图形操作的核心计算方法的设计：cnc-割集分解和平坦边缘的增强。我们还证明了，决定存在的内核-计算它，如果它存在-是多项式在每个方向的弦或圆弧图，即使不是cyclo-acyclic。
2018-01-07 cs.DM math.CO
Distant digraph domination
本文研究有向图 $k$-核的大小界，证明分裂有向图上的 Erdős–Székely 猜想、竞赛图—无环集划分情形的推论，并给出强连通有向图约 $|G|/(k-1)$ 的 $k$-核界。
2024-09-08 math.CO
On kernel isomorphisms of $m$-Cayley digraphs and finite $2$PCI-groups
本文研究$m$-Cayley有向图同构问题，引入核同构并建立相关理论，证明有限$2$PCI-群的可解性与Sylow子群结构，完成有限非阿贝尔BCI-群的完全分类。
2025-06-14 math.CO
Generalized Quasikernels in Digraphs
本文研究有向图中的广义拟核（$q$-核），提出并推进了小拟核猜想的弱版本，即每个有向图对所有 $q\ge 2$ 存在满足 $|N^+[Q]|\ge \frac{1}{2}|V(D)|$ 的 $q$-核。
2024-07-18 math.CO
Cycle Spaces of Digraphs
图的圈空间对应于关联矩阵的核。我们研究了有向图的一个类似子空间。在图的有向图的情况下，其中每一条边都被两条相反方向的弧所取代，我们给出了这样一个空间的基的组合描述。我们的动机是离散时间量子行走的转移阵的连接。
2016-09-28 math.CO
Bikernels by monochromatic paths
本文定义双色有向图的单色路径双核，刻画多类有向图存在该结构的充要条件，并研究 $BK$-可着色性。
2025-03-14 math.CO
Greedily Constructing Small Quasi-Kernels
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文提出一种贪心算法，用于构造小准核，并在不同条件下给出了准核阶数的上界。
2026-01-17 math.CO
Semi-Grundy function, an hereditary approach to Grundy function
Grundy functions have found many applications in a wide variety of games, in solving relevant problems in Game Theory . Many authors have been working on this topic for over many years. Since the existence of a Grundy function on a digraph implies that it must have a kernel, the problem of deciding if a digraph has a Grundy function is NP-complete, and how to calculate one is not clearly answered. In this paper, we introduce the concept: Semi-Grundy function, which arises naturally from the connection between kernel and semi-kernel and the connection between kernel and Grundy function. We expl…
2019-01-15 math.CO
Three Results on Generalized Quasikernels in Digraphs
School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
本文研究有向图中广义拟核，通过证明无向\(4 -\)圈的\(n\)顶点无源二分有向图有特定大小拟核、无\((r - 1)\)源集的有向图含\(r\)个不相交\((3r - 2)\)核，以及单圈有向图中存在特定的两个\(q -\)核，证实猜想并回答问题。
2026-07-13 math.CO
A study on token digraphs
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Federal do ABC（ABC联邦大学）；Universidad de Chile（智利大学）；University of Chile（智利大学）；Universidad Andres Bello（安德烈斯贝略大学）
该研究对作为token图推广的token有向图展开分析，探究其连通性、核、围长等多种性质，拓展了k-token图相关的团数与色数结论，还证明2-token有向图的核判定问题是NP完全的。
2024-10-26 math.CO
Small $q$-kernels in digraphs with minimum in-degree $δ$
College of Charleston（查尔斯顿学院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；University of Vermont（佛蒙特大学）
研究有向图中最小入度与 $q$-核大小的关系，通过单调性分析和构造证明，改进了 $c_{δ,q}$ 的上界，并给出精确值条件。
2026-06-16 math.CO
Kings and Kernels in Semicomplete Compositions
本文研究了半完全复合图中的王与核问题，刻画了具有k-king的有向图复合，并证明了限制在半完全复合图上的k-Kernel问题在不同条件下的NP完全性与多项式时间可解性。
2024-04-24 math.CO
Kernels by rainbow paths in arc-colored tournaments
对于一个弧色有向图$D$，定义它的{ \em kernel by rainbow paths}为一个顶点集$S$，使得（i）$S$中没有两个顶点通过$D$中的彩虹路径相连，并且（ii）$S$外的每个顶点都可以通过$D$中的彩虹路径到达$S$。本文证明了用彩虹路判定弧色竞赛图是否有核是NP-完全的，其中{ \em竞赛图}是完全图的定向图.此外，我们证明了每个弧着色的$n$顶点竞赛图及其所有强连接的$k$顶点子竞赛图，$3\leq k\leq n$，着色至少$k-1$颜色有一个核的彩虹路径，所需的颜色的数量不能减少。
2018-03-11 math.CO
