特殊线性群的大子群所保持的集合
Sets preserved by a large subgroup of the special linear group
AI总结：
本文研究有限域仿射平面上被特殊线性群大子群保持的集合，证明当集合大小与保持它的群元素数量满足 $β\geq 3α/2$ 时该集合必包含在一条直线中，并借助点-线关联界给出精确结果。
摘要：
设 $E$ 是有限域 $\mathbb{F}_q$ 上仿射平面的一个子集。我们对保持 $E$ 的 $SL_2(\mathbb{F}_q)$ 子群的大小给出上界。作为推论，我们证明：若 $E$ 的大小为 $\ll q^α$，且被 $SL_2(\mathbb{F}_q)$ 中 $\gg q^β$ 个元素保持，其中 $β\geq 3α/2$，则 $E$ 包含在一条直线中。该结果在一般情况下是精确的，其证明将使用组合论证，并应用 Mockenhaupt 和 Tao（2004）给出的 $\mathbb{F}_q^3$ 中的点-线关联界。
英文摘要：
Let $E$ be a subset of the affine plane over a finite field $\mathbb{F}_q$. We bound the size of the subgroup of $SL_2(\mathbb{F}_q)$ that preserves $E$. As a consequence, we show that if $E$ has size $\ll q^α$ and is preserved by $\gg q^β$ elements of $SL_2(\mathbb{F}_q)$ with $β\geq 3α/2$, then $E$ is contained in a line. This result is sharp in general, and will be proved by using combinatorial arguments and applying a point-line incidence bound in $\mathbb{F}_q^3$ due to Mockenhaupt and Tao (2004).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
