有限域上不可约多项式的伪确定性构造
Pseudo-Deterministic Construction of Irreducible Polynomials over Finite Fields
AI总结：
本研究扩展Shoup的确定性算法，通过结合快速随机因式分解算法，提出了一种运行时间为$\tilde{O}(d^4 \u2009\text{log}^4 q)$的多项式时间伪确定性算法，用于构造有限域上的不可约多项式。
摘要：
我们提出了一种多项式时间伪确定性算法，用于构造有限域$\u211d_q$上次数为$d$的不可约多项式。伪确定性算法允许使用随机性，但需以高概率输出一个规范的不可约多项式。我们的构造运行时间为$\tilde{O}(d^4 \u2009\text{log}^4 q)$。\n 我们的构造扩展了针对同一问题的Shoup确定性算法（FOCS 1988），该算法的运行时间为$\tilde{O}(d^4 p^{\frac{1}{2}} \u2009\text{log}^4 q)$（其中$p$是域$\u211d_q$的特征）。Shoup已证明了从不可约多项式构造到有限域上多项式因式分解的归约。我们表明，通过使用快速随机因式分解算法，上述归约可得到一种高效的伪确定性算法，用于构造有限域上的不可约多项式。
英文摘要：
We present a polynomial-time pseudo-deterministic algorithm for constructing irreducible polynomial of degree $d$ over finite field $\mathbb{F}_q$. A pseudo-deterministic algorithm is allowed to use randomness, but with high probability it must output a canonical irreducible polynomial. Our construction runs in time $\tilde{O}(d^4 \log^4{q})$. Our construction extends Shoup's deterministic algorithm (FOCS 1988) for the same problem, which runs in time $\tilde{O}(d^4 p^{\frac{1}{2}} \log^4{q})$ (where $p$ is the characteristic of the field $\mathbb{F}_q$). Shoup had shown a reduction from constructing irreducible polynomials to factoring polynomials over finite fields. We show that by using a fast randomized factoring algorithm, the above reduction yields an efficient pseudo-deterministic algorithm for constructing irreducible polynomials over finite fields.
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