在有限射影平面中避开给定大小的割线
Avoiding secants of given size in finite projective planes
AI总结：
本文研究了有限射影平面中不与任何直线恰好交于 $k$ 个点的点集基数问题，利用多项式技术证明了在 $k$ 非极值时几乎所有可能基数均存在，并构造了能避开任意预设交点数的点集。
摘要：
设 $q$ 为素数幂，$k$ 为自然数。在阶为 $q$ 的射影平面中，不与任何直线恰好交于 $k$ 个点的点集 ${S}$ 可能的基数是多少？该问题及其变体此前已被研究过，与 blocking sets、untouchable sets 或 sets of even type 等相关。在本文中，我们展示了一系列结果，指出只要 $k$ 不接近极值 $0$ 或 $q+1$，$|S|=m$ 的所有或几乎所有可能值 $m\in [0, q^2+q+1]$ 都存在。此外，利用多项式技术，我们证明了存在具有如下性质的点集 $S$：对于任意给定的数字列表 $t_1, \ldots t_{q^2+q+1}$，对于第 $i$ 条直线 $\ell_i$，$|S\cap \ell_i|\neq t_i$ 均成立，$\forall i \in \{1, 2, \ldots, q^2+q+1\}$。
英文摘要：
Let $q$ be a prime power and $k$ be a natural number. What are the possible cardinalities of point sets ${S}$ in a projective plane of order $q$, which do not intersect any line at exactly $k$ points? This problem and its variants have been investigated before, in relation with blocking sets, untouchable sets or sets of even type, among others. In this paper we show a series of results which point out the existence of all or almost all possible values $m\in [0, q^2+q+1]$ for $|S|=m$, provided that $k$ is not close to the extremal values $0$ or $q+1$. Moreover, using polynomial techniques we show the existence of a point set $S$ with the following property: for every prescribed list of numbers $t_1, \ldots t_{q^2+q+1}$, $|S\cap \ell_i|\neq t_i$ holds for the $i$th line $\ell_i$, $\forall i \in \{1, 2, \ldots, q^2+q+1\}$.
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