arXiv 2409.079742024-09math.CO

关于 Christoffel 字及其字典序数组

On Christoffel words & their lexicographic array

Luca Q. Zamboni

AI总结：

本文研究 Christoffel 矩阵的性质，证明可逆 Christoffel 矩阵构成阿贝尔子群，并利用其商群同构于模 $n$ 整数乘法群，构造出有限阿贝尔群到一般线性群的忠实表示。

摘要：

所谓 Christoffel 矩阵，是指对应于长度为 $n$ 的 Christoffel 字的字典序数组的 $n\times n$ 矩阵。本文证明，若 $R$ 是一个整环，则 $R$ 上两个 Christoffel 矩阵的乘积是可交换的，且仍是 $R$ 上的 Christoffel 矩阵。此外，若 $R$ 上的 Christoffel 矩阵可逆，则其逆矩阵也是 $R$ 上的 Christoffel 矩阵。由此，$R$ 上所有 $n\times n$ 可逆 Christoffel 矩阵的集合 $GC_n(R)$ 构成 $GL_n(R)$ 的一个阿贝尔子群。$GC_n(R)$ 中由对角线上为某元素 $a$、其余位置为 $b$（$a,b \in R$ 且不相等）的所有可逆 Christoffel 矩阵组成的子集构成 $GC_n(R)$ 的子群 $H$。若 $R$ 是域，则商群 $GC_n(R)/H$ 同构于模 $n$ 整数乘法群 $(\Z/n\Z)^\times$。由此推出，对每个有限域 $F$ 和每个有限阿贝尔群 $G$，存在 $n\geq 2$ 及一个完全由 $F$ 上 $n\times n$（可逆）Christoffel 矩阵构成的忠实表示 $G\rightarrow GL_n(F)$。我们还描述了 $GC_n(\Z/2\Z)$ 的结构。

英文摘要：

By a Christoffel matrix we mean a $n\times n$ matrix corresponding to the lexicographic array of a Christoffel word of length $n.$ In this note we show that if $R$ is an integral domain, then the product of two Christoffel matrices over $R$ is commutative and is a Christoffel matrix over $R.$ Furthermore, if a Christoffel matrix over $R$ is invertible, then its inverse is a Christoffel matrix over $R.$ Consequently, the set $GC_n(R)$ of all $n\times n$ invertible Christoffel matrices over $R$ forms an abelian subgroup of $GL_n(R).$ The subset of $GC_n(R)$ consisting all invertible Christoffel matrices having some element $a$ on the diagonal and $b$ elsewhere (with $a,b \in R$ distinct) forms a subgroup $H$ of $GC_n(R).$ If $R$ is a field, then the quotient $GC_n(R)/H$ is isomorphic to $(\Z/nZ)^\times,$ the multiplicative group of integers modulo $n.$ It follows that for each finite field $F$ and each finite abelian group $G,$ there exists $n\geq 2$ and a faithful representation $G\rightarrow GL_n(F)$ consisting entirely of $n\times n$ (invertible) Christoffel matrices over $F.$ We describe the structure of $GC_n(\Z/2\Z).$

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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