Christoffel词与Markoff三元组
Christoffel words and Markoff triples
摘要:
马尔可夫三元组由Christoffel词唯一地参数化。
英文摘要:
Markoff triples are parametrized uniquely by Christoffel words.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Christoffel words and Markoff triples
Christophe Reutenauer
马尔可夫三元组由Christoffel词唯一地参数化。
Markoff triples are parametrized uniquely by Christoffel words.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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A $q$-analog of the Markoff injectivity conjecture holds
该研究证明Markoff单射猜想的$q$-模拟在Christoffel词上成立,基于$q=\text{exp}(iπ/3)$赋值完成证明,还将问题推广至任意词并给出不满足单射性的词对族。
The $q$-analog of the Markoff injectivity conjecture over the language of a balanced sequence
马尔可夫内射性猜想指出$w\mapstoμ(w)_{12}$是Christoffel词集合上的内射,其中$μ:\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^*\to\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$是某种同态,$M_{12}$是$2\times2$矩阵$M$的对角线上方的项。最近,Leclere和Morier-Genoud(2021)提出了$μ$的$q$ -模拟$μ_q$,使得$μ_{q}(w)_{12}|_{q=1}=μ(w)_{12}$是在$q=1$处评估时与Christoffel字$w$相关联的马尔可夫数。证明了$\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^*$上存在一个$<_{radix}$阶,使得对于每个平衡序列$s \in \{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^\mathbb{Z}$和所有因子$u, v$,$s$与$u <_{radix} v$的语言中的差$μ_q(v)_{12} - μ_q(u)_{12}$是一个非零多项式的不定$q$与非负整数系数.因此,映射$u\mapstoμ_q(u)_{12}$在平衡序列的语言上是单射的。证明使用满足某些马尔可夫性质的平衡序列和不可区分的渐近对之间的等价性。
On the Markoff Equation
正整数的三元组(a,b,c)称为马尔可夫三元组当且仅当它满足丢番图方程a2+b2+c2=abc。在整数上三角3 × 3矩阵的框架中,重新构造其顶点是马尔可夫三元组的马尔可夫树,将表明这样的三元组的最大成员唯一地确定其他两个。这回答了一个一百年来一直悬而未决的问题。这个问题的解决方案将通过3x3矩阵的方式在更广泛的研究马尔可夫方程的过程中获得。
Markoff Triples and Strong Approximation
研究了由Vieta对合生成的态射群在Markoff方程以及其它Markoff型仿射三次曲面的同余解上的传递性.这些由这些作用的有限$\bar{\mathbb Q}$轨道决定,并且可以有效地确定。这些结果被应用于这些曲面上整数点的强逼近形式和筛选
Markoff Equation and Nilpotent Matrices
正整数的三元组(a,b,c)称为马尔可夫三元组当且仅当它满足丢番图方程a2 + b2 + c2 = abc。在积分上三角3 × 3矩阵的框架下,重新构造其顶点为马尔可夫三元组的马尔可夫树,将表明这样的三元组的最大成员唯一地确定其他两个。这回答了一个近100年来一直悬而未决的问题。
On the new bound for the number of solutions of polynomial equations in subgroups and the structure of graphs of Markoff triples
我们锐化了J. Bourgain,A. Gamburd和P. Sarnak(2016)关于“巨型分量”之外的节点的可能数量以及适当定义的马尔可夫三元组模$p$的函数图中各个连通分量的大小。这是朝着根本不存在这样的节点的猜想迈出的一步。
Markoff-Rosenberger triples and generalized Lucas sequences
本文考虑Markoff-Rosenberger方程$$ax^2+by^2+cz^2=dxyz$$与$(x,y,z)=(U_i,U_j,U_k),$,其中$i$表示第一/第二类广义Lucas数.我们提供了上界的指数的最小值,我们将结果完全解决具体的方程,例如,我们确定的解决方案只包含平衡数和Jacobsthal数,分别。
On the uniqueness conjecture for Markoff triples
由于证明中的一个错误,这篇论文已被作者撤回。
Markoff-Rosenberger triples in geometric progression
研究了Markoff-Rosenberger方程ax^2+by^2+cz^2 = dxyz的解,使得它们的坐标属于数域的整数环,并构成一个等比数列.
Branches of Markoff $m$-triples with two $k$-Fibonacci components
本文研究了具有两个 $k$-斐波那契成分的无限路径的马尔科夫 $m$-三元组,通过分类非树根的三元组并证明所有路径均存在于特定分支中。
Markoff-Rosenberger triples in arithmetic progression
本文研究Rosenberg-Markoff方程ax^2+by^2+cz^2 = dxyz(著名的Markoff方程的推广)的解.我们特别专注于寻找解决方案,在等差数列中,位于一个数字字段的整数环。借助Alvanos和Poulakis的工作,我们给出了一个完整的判定算法,它允许我们证明关于这些特解的有限性结果.最后,给出了两种特殊情况下的计算结果:二次域上的广义Markoff方程x^2+y^2+z^2 = dxyz和任意数域上的经典Markoff方程x^2+y^2+z^2 = 3xyz.
Minimal triples for a generalized Markoff equation
本研究针对广义马尔可夫方程,证明其所有正解由有限极小三元组集合生成,建立极小三元组与二元二次型基本解的对应关系,给出极小三元组计数公式及高效计算方法,还给出形如(1,b,c)型极小三元组的存在准则与数量公式。
A Cryptographic Hash Function from Markoff Triples
Charles、Goren和Lauter在[CGL]中基于图中路径难以找到的特性提出了基于扩展图的加密哈希函数。在本文中,我们提出了一个新的候选人的哈希函数的基础上,在图中的马尔可夫三元组模p.这些图已经被广泛研究,在数论和其他各种领域的硬度找到路径,但在图中找到路径仍然很困难。我们讨论的困难,找到点之间的路径,基于马尔可夫图的结构。我们研究了几种可能的攻击途径,并估计其运行时间大于O(p)。特别是,我们分析了最近在[BGS 1]中的一个突破性的证明,即这种图是连通的,并讨论了这个证明如何给出一个寻找路径的算法
Bounding Lifts of Markoff Triples mod $p$
本文通过分析 Markoff 模 $p$ 图中路径的增长,为 Markoff 曲面模 $p$ 点的提升提供了两种上界估计,并给出了改进这些界限的数值证据与启发式论证。
Nonabelian level structures, Nielsen equivalence, and Markoff triples
本文建立了椭圆曲线覆盖的Hurwitz空间的分支到椭圆曲线的模栈的映射的度的一个同余。组合地,这可以表示为有限群的生成对的尼尔森等价类的基数上的同余。在Bourgain、Gamburd和Sarnak的工作基础上,我们应用这个同余证明了对于除了1000个素数$p$之外的所有素数,马尔可夫自同构群传递地作用于马尔可夫方程$x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz = 0$的非零$\mathbb{F}_p$ -点。这产生了一个强的逼近性质的马尔可夫方程,有限的同余条件所满足的马尔可夫数,和某些无限家庭的赫维茨空间的$\text{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ -覆盖的椭圆曲线。除了可能的许多例外,这解决了布尔甘、甘布尔德和萨纳克的一个猜想,这个猜想最早是由巴拉格在1991年提出的。由于他们的方法是有效的,这减少了一个有限的计算猜想。
Markoff Surfaces and Strong Approximation: 1
我们证明的结果有关的强逼近的马尔可夫三元组的情况下,素数模。
A classification of Markoff-Fibonacci m-triples
本文对正数 $m$ 的方程 $a^2+b^2+c^2=3abc+m$ 的 Fibonacci 分量解三元组进行分类,证明了特定 $m$ 值下解的数量与形式,并指出存在无限多个 $m$ 值恰好允许一个极小解。
Markoff triples and Nielsen equivalence in $\text{SL}_2(\mathbb{F}_p)$
本文证明了关于SL₂(F_p)中马尔科夫三元组的Q-分类猜想,通过矩阵可逆性检查解决了相关等价类问题。
Markoff triples and generating pairs of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$
本文研究马尔可夫方程模p水平集的Vieta对合轨道与SL2(Fp)生成对的Nielsen移动对应关系,刻画了例外轨道集合,证明p≡3 mod4时McCullough-Wanderley猜想等价于强逼近,并提出最大轨道大小的整除性猜想。
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