Minimal triples for a generalized Markoff equation
本研究针对广义马尔可夫方程，证明其所有正解由有限极小三元组集合生成，建立极小三元组与二元二次型基本解的对应关系，给出极小三元组计数公式及高效计算方法，还给出形如(1,b,c)型极小三元组的存在准则与数量公式。
2023-07-19 math.NT
On the uniqueness conjecture for Markoff triples
由于证明中的一个错误，这篇论文已被作者撤回。
2000-11-03 math.GT math.NT
Markoff-Rosenberger triples in geometric progression
研究了Markoff-Rosenberger方程ax^2+by^2+cz^2 = dxyz的解，使得它们的坐标属于数域的整数环，并构成一个等比数列.
2013-05-09 math.AG math.NT
Bounding Lifts of Markoff Triples mod $p$
本文通过分析 Markoff 模 $p$ 图中路径的增长，为 Markoff 曲面模 $p$ 点的提升提供了两种上界估计，并给出了改进这些界限的数值证据与启发式论证。
2023-11-20 math.NT
A classification of Markoff-Fibonacci m-triples
本文对正数 $m$ 的方程 $a^2+b^2+c^2=3abc+m$ 的 Fibonacci 分量解三元组进行分类，证明了特定 $m$ 值下解的数量与形式，并指出存在无限多个 $m$ 值恰好允许一个极小解。
2025-01-29 math.NT
Markoff-Rosenberger triples in arithmetic progression
本文研究Rosenberg-Markoff方程ax^2+by^2+cz^2 = dxyz（著名的Markoff方程的推广）的解.我们特别专注于寻找解决方案，在等差数列中，位于一个数字字段的整数环。借助Alvanos和Poulakis的工作，我们给出了一个完整的判定算法，它允许我们证明关于这些特解的有限性结果.最后，给出了两种特殊情况下的计算结果：二次域上的广义Markoff方程x^2+y^2+z^2 = dxyz和任意数域上的经典Markoff方程x^2+y^2+z^2 = 3xyz.
2013-01-21 math.AG math.NT
A Cryptographic Hash Function from Markoff Triples
Charles、Goren和Lauter在[CGL]中基于图中路径难以找到的特性提出了基于扩展图的加密哈希函数。在本文中，我们提出了一个新的候选人的哈希函数的基础上，在图中的马尔可夫三元组模p.这些图已经被广泛研究，在数论和其他各种领域的硬度找到路径，但在图中找到路径仍然很困难。我们讨论的困难，找到点之间的路径，基于马尔可夫图的结构。我们研究了几种可能的攻击途径，并估计其运行时间大于O（p）。特别是，我们分析了最近在[BGS 1]中的一个突破性的证明，即这种图是连通的，并讨论了这个证明如何给出一个寻找路径的算法
2021-11-28 cs.CR math.NT
Markoff triples and Nielsen equivalence in $\text{SL}_2(\mathbb{F}_p)$
Clemson University（克莱姆森大学）
本文证明了关于SL₂(F_p)中马尔科夫三元组的Q-分类猜想，通过矩阵可逆性检查解决了相关等价类问题。
2025-11-21 math.NT
Nonabelian level structures, Nielsen equivalence, and Markoff triples
本文建立了椭圆曲线覆盖的Hurwitz空间的分支到椭圆曲线的模栈的映射的度的一个同余。组合地，这可以表示为有限群的生成对的尼尔森等价类的基数上的同余。在Bourgain、Gamburd和Sarnak的工作基础上，我们应用这个同余证明了对于除了1000个素数$p$之外的所有素数，马尔可夫自同构群传递地作用于马尔可夫方程$x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz = 0$的非零$\mathbb{F}_p$ -点。这产生了一个强的逼近性质的马尔可夫方程，有限的同余条件所满足的马尔可夫数，和某些无限家庭的赫维茨空间的$\text{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ -覆盖的椭圆曲线。除了可能的许多例外，这解决了布尔甘、甘布尔德和萨纳克的一个猜想，这个猜想最早是由巴拉格在1991年提出的。由于他们的方法是有效的，这减少了一个有限的计算猜想。
2021-06-19 math.AG math.NT
Markoff Surfaces and Strong Approximation: 1
我们证明的结果有关的强逼近的马尔可夫三元组的情况下，素数模。
2016-07-06 math.GR math.NT
On the structure of solutions graph of the Markoff-Hurwitz equation and recurrence sequences
本文研究Markoff-Hurwitz方程在模p剩余域上的解图结构，证明几乎所有解可由自然变换链相互得到，并分析了模素数p的递推序列。
2025-09-23 math.NT
The Markoff equation over polynomial rings
当$A=3$时，所谓的Markoff方程$$M_A:x^2 + y^2 + z^2 = Axyz$$的正整数解可以通过超曲面的某些自同构的作用从单解$(1,1,1)$生成.自从Markoff证明了这一事实，一些作者已经证明了$M_A(R)$的结构，当$R$是$\mathbf{Z}[i]$或数域中的某些顺序时，表现出类似的方式。此外，对于$R=\mathbf{Z}$和$R=\mathbf{Z}[i]$，Zagier和Silverman分别找到了有界高度的积分点数的渐近公式。本文研究了当$R$是奇特征域$K$上的多项式环时的这些问题。我们的特点集$M_A(K[t])$在类似的方式Markoff和以前的作者。我们还给出了一个渐近公式，类似于Zagier和Silverman的公式。
2020-03-12 math.NT
Connectedness of special points in the Markoff mod $p$ graphs
University of Toronto（多伦多大学）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）；San Francisco State University（旧金山州立大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）
本文利用Fibonacci序列的Pisano周期结果，研究了Markoff模p图中特殊点的连通性，证明了特定素数下特殊点的连通性。
2025-11-28 math.NT
Unfocused notes on the Markoff equation and T-Singularities
我们考虑$\mathbb{P}(e^2, f^2, g^2)$型加权射影平面的奇点的极小分解，其中$e, f, g$满足马尔可夫方程$ e^2 + f^2 + g^2 = 3efg$ .我们给这样的决议的连分数类似的Frobenius的经典工作的一个完整的分类。特别是，我们调查的行为下的决议突变和描述康托尔集出现的限制连分数。
2022-10-24 math.AG math.NT
Fundamental domain for the Markoff-Hurwitz equation
该研究针对Markoff-Hurwitz方程的整数解集合，通过构造与高度函数关联的图并利用其性质，确定了由对合映射、置换和双重符号变换生成的对称群的精确基本域。
2023-12-17 math.CO math.NT
Commutators in $\mathrm{SL}_2$ and Markoff surfaces I
我们证明了$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$上的换位子方程满足一个profinite局部到全局原理，而对于$ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}])$，它可以失败，但有无穷多个例外。失败的来源是一个互惠障碍的哈斯原则，立方马尔可夫表面。
2022-01-18 math.GR math.NT
Markoff triples and generating pairs of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$
Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究马尔可夫方程模p水平集的Vieta对合轨道与SL2(Fp)生成对的Nielsen移动对应关系，刻画了例外轨道集合，证明p≡3 mod4时McCullough-Wanderley猜想等价于强逼近，并提出最大轨道大小的整除性猜想。
2025-08-29 math.NT
Recherches autour de la theorie de Markoff
正文涉及在数论中的Markoff方程的一般化，从连续分数产生。它给出了这种新方程的完全解决方法，以及它们在代数和代数几何中的解释。这种代数方法是完成与有关Fuchsian群的分析发展。与Teichmuller理论穿孔环面的链接是完全描述，给他们的分类与减少理论。引用了关于黎曼曲面、测地线及其哈密顿研究的更一般的考虑，以及它们在物理、1/f噪声和zeta函数中的应用。提出了一些重要的设想。由于群GL（2，Z）中的分解结果，给出了Markoff理论出现在不同几何背景下的原因。
2003-07-16 math-ph math.MP math.NT
Topological properties of generalized Markoff mod $p$ graphs
Research and Education Institute for Semiconductors and Informatics, Kumamoto University（半导体与信息学研究与教育学院，熊本大学）；Graduate School of Science and Engineering, Ehime University（理学工学研究科，爱媛大学）
本文研究广义马尔科夫模p图的拓扑性质，通过构造K_{3,3}-子图结合图论、计算机代数和数论技术，分析其非平面性、曲面可嵌入性和短环存在性。
2025-12-26 math.CO math.NT
Estimates on the number of rational solutions of Markoff-Hurwitz equations over finite fields
本文利用代数几何方法估计有限域上广义Markoff-Hurwitz型方程的解数，并给出所有变量均非零的解的存在条件。
2025-08-25 math.AG math.CO math.NT
An asymptotic formula for integer points on Markoff-Hurwitz varieties
我们建立了Markoff-Hurwitz方程\[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}\ldots x_{n}+k. \]整数解个数的渐近公式。当\[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}\ldots x_{n}+k. \]时，Baragar（1998）给出了一个指数增长率，当$n\geq 4$时，指数$β$一般不是整数。我们根据射影空间上存在某种共形测度的唯一参数给出了这个增长指数的一个新的解释。
2018-06-13 math.DS math.GR math.NT
The Markoff Group of Transformations in Prime and Composite Moduli
马尔可夫变换群是仿射积分态射的群$Γ$，已知其传递作用于方程$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$的所有正整数解的集合。马尔可夫方程的基本强逼近猜想指出，对于每个素数$p$，群$Γ$传递地作用在$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$上同一方程的非零解的集合$X^{*}\left(p\right)$上。最近，Bourgain，Gamburd和Sarnak证明了这个猜想的所有素数以外的一个小的例外集。在本文中，我们研究了$Γ$作用于$X^{*}\left(p\right)$而获得的一组排列，并表明对于大多数素数，它是完全对称或交替群。我们利用这个结果推导出$Γ$也传递作用于一个大类的复合模的非零解的集合。我们的结果也与Gilman的一个著名定理有关，即对于任何有限的非交换单群$G$和$r\ge3$，群$\mathrm{Aut}\left(F_{r}\right)$至少作用于$G$的一个$T_{r}$ -系统作为交替群或对称群。在这种语言中，我们的主要结果转化为，对于大多数素数$p$，群$\mathrm{Aut}\left(F_{2}\right)$作用于$\mathrm{PSL}\left(2,p\right)$的特定$T_{2}$ -系统作为交替或对称群。
2017-10-16 math.GR math.NT
An equivalent condition for the Markov triples and the Diophantine equation $a^2+b^2+c^2=abcf(a,b,c)$
本文提出了H.基本上是拉德马赫。作为应用，我们研究了丢番图方程$a^2+b^2+c^2=abcf(a,b,c)$的可解性。
2020-08-03 math.NT
A paucity problem for certain triples of diagonal equations
本文考虑一类全次数超过5的10个变量的三联对角方程组。通过一个复化的论证，我们得到了这个有界高度系统的积分解个数的渐近公式，解决了相关的匮乏问题。
2021-06-07 math.NT
A Family of Cubic Diophantine Equations and 4-Chains
在一个简单的整数链中，如果$u_{i-1}$、$u_i$和$u_{i+1}$是链中的三个连续项，并且这对$(u_{i-1}, u_i)$具有某个属性，那么下一对$(u_i, u_{i+1})$也具有相同的属性。我们将简单链的概念推广到$n$ -链，其中$n$是正整数，如果一对$(u_{i-1}, u_{i})$具有某种性质，那么第二对$(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i})$也具有相同的性质.在这种情况下，我们将$(u_{i-1}, u_{i}, u_{i+1})$和$(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i}, u_{\pm n+i+1})$称为匹配三元组。利用$4$ -链研究了一类三次丢番图方程，包括$x^3 + y^3 + x +y +1 = xyz$和其它三个方程.我们表明，一对整数$(x, y)$满足这四个方程之一，当且仅当$x$和$y$是连续的条款的$4$链。我们的主要结果是，如果三元组$(u, t, vw)$是一个$4$ -链的三个连续项的有序列表，其中$|t|$是素数，$t$不整除$(u-v)$，三元组$(v, t, uw)$是第二个$4$ -链的三元组并且它匹配第一个三元组，那么三元组$(-w, t, -uv)$是第三个$4$ -链的三元组并且它匹配另外两个三元组.
2017-10-01 math.NT
Patterns in the Markov numbers and their generalizations
本文研究任意实数D下Markov数树结构的模式，通过连续函数统一描述，证明编码函数在D<4凸、D=4直线、D>4凹，并推广计数估计、几何描述及McShane-Hines恒等式。
2026-09-15 math.GT math.NT
Frobenius numbers associated with Diophantine triples of $x^2+y^2=z^r$ (extended version)
本研究推导了与丢番图方程$x^2+y^2=z^r$相关三元组的$p$-Frobenius数显式公式，明确了其定义，补充了$r=2$时该数已有结论的背景，拓展了相关数论问题的研究结果。
2024-03-12 math.CO math.NT
Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic
我们解决了勾股方程a^2+b^2=c^2的“分割正则性”问题;特别是，自然数是否可以被赋予2-着色，使得没有勾股三元组（即，方程的解）是单色的？我们证明了勾股三元组超图不可能包含Steiner三元系，这是2-可染性的一个自然障碍。然后，在将问题转化为关于3-CNF可满足性的问题并应用一些约简之后，使用SAT求解器来找到{1，...，7664}。工作继续，因为我们寻求改善的减少和扩展的计算。
2015-05-09 cs.DM cs.LO math.CO
Are monochromatic Pythagorean triples unavoidable under morphic colorings ?
毕达哥拉斯三元组是正整数a，b，c $\in$ N ${}^{+}$的三元组，满足a ${}^2$ + b ${}^2$ = c ${}^2$。对于N ${}^{+}$的任何有限着色，是否至少有一个毕达哥拉斯三元组是单色的？换句话说，迪奥-番汀方程X ${}^2$ + Y ${}^2$ = Z ${}^2$是正则的吗？这个问题，最近通过大量的SAT计算解决了2-着色[Heule等人，2016年]，仍然广泛开放的k着色与k $\ge$ 3。本文引入了N ~+的态射染色，它是具有部分乘法性质的有限群中的一种特殊染色。我们发现，对于许多形态着色2和3的颜色，单色毕达哥拉斯三元组是不可避免的，在相当小的整数间隔。
2017-04-24 cs.DM math.CO math.NT
