Topological Entanglement Entropy with a Twist
拓扑有序模型中的缺陷具有有趣的性质，让人想起模型本身的任意子激发。例如，在复曲面代码模型中的位错被称为扭曲，并具有类似于伊辛任意子的性质。我们加强这种类比，使用拓扑纠缠熵作为诊断工具，以确定在环面代码的缺陷和激发的属性。具体来说，我们表明，通过明确的计算，包括扭曲和双子激发的环面代码模型具有相同的量子尺寸，相同的总量子尺寸，和相同的融合规则作为一个伊辛任意子模型。
2013-11-26 cond-mat.str-el quant-ph
Representation of excited states and topological order of the toric code in MERA
全息对偶将场论与一维的（量子）引力理论联系起来。额外维度表示场论中RG变换的尺度。已经证明，在实空间重正化过程中出现的张量网络，如多尺度纠缠重正化（MERA），是引力理论背景的离散化版本。我们努力作出贡献，使这个猜想可测试的考虑一个明确的和易于处理的例子，即双网络的复曲面代码，MERA可以进行分析。我们研究如何将这种结构扩展到包括激发态。此外，我们展示了如何计算拓扑纠缠熵的几何MERA。该方法有望推广到具有一般纠缠结构的系统。
2015-10-27 cond-mat.str-el quant-ph
Decohered color code and emerging mixed toric code by anyon proliferation: Topological entanglement negativity perspective
Meijo University（名城大学）；Akita University（秋田大学）；Nihon University（日本大学）；Nagoya Institute of Technology（名古屋工业大学）
研究退相干色码如何产生内在混合态拓扑序，通过拓扑纠缠负性表征其拓扑性质，并展示退相干态与单个面码的关联。
2026-04-30 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Detecting Topological Order at Finite Temperature Using Entanglement Negativity
我们提出了一个诊断有限温度的拓扑秩序使用“拓扑纠缠负”，混合态纠缠措施的远程组件。作为证明，我们研究了$d$ = 2，3，4的$d$空间维的环面码模型，发现当拓扑序经受住热涨落时，它具有非零的拓扑纠缠负性，其值等于零温时的拓扑纠缠熵.此外，我们还证明了二维和三维环面码在任意非零温度下的Gibbs态以及四维环面码在某一临界温度以上的Gibbs态都可以表示为短程纠缠纯态的凸组合，这与拓扑序的缺失是一致的.
2019-12-09 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Entanglement and topological entropy of the toric code at finite temperature
我们精确地计算了作为系统大小和温度的函数的复曲面代码的冯诺依曼和拓扑熵。我们这样做的系统与无限的能量尺度之间的分离的磁和电的激励，使磁闭环结构被完全保存，而电回路结构被篡改的热激发的电荷。我们发现，纠缠熵是温度和系统尺寸的奇异函数，并且零温度极限和无限大系统尺寸极限不对易。从纠缠熵，我们得到的拓扑熵，这是下降到一半的零温度值的任何无穷小的温度在热力学极限，并保持恒定的温度进一步增加。这种不连续的行为是由一个光滑的递减函数在有限尺寸的系统。如果系统中的能量尺度的分离是大的，但有限的，我们认为，我们的结果保持在足够小的温度和有限的系统尺寸，和第二次下降的拓扑熵应该发生的温度升高，以破坏磁环结构，允许出现自由磁荷。我们解释我们的结果作为一个指示，基本的磁和电闭环结构的贡献同样的拓扑熵（因此拓扑秩序）在系统中。由于每个循环结构\emph{per se}是一个经典的对象，我们解释在我们的系统中的量子拓扑秩序所产生的能力，这两个结构被叠加，并同时出现。
2007-11-01 cond-mat.str-el quant-ph
Measurement-only circuit of perturbed toric code on triangular lattice: Topological entanglement, 1-form symmetry and logical qubits
Meijo University（名城大学）；Akita University（秋田大学）；Nihon University（日本大学）；Nagoya Institute of Technology（名古屋工业大学）
本研究探讨了三角晶格上正交码仅测量电路的相变特性，揭示了拓扑纠缠、1形式对称性和逻辑量子比特之间的关系。
2026-07-30 cond-mat.other cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Genuine Multi-Entropy in the Toric Code
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；National Tsing Hua University（国立清华大学）；Yukawa Institute for Theoretical Physics, Kyoto University（京都大学汤川理论物理研究所）
研究环面码中真多熵对多体纠缠的诊断，通过分析稳定子态等情况，发现其能探测超出三体信息和拓扑纠缠熵的多体纠缠结构，低复制指标稳定子态时可简化为低体熵数据。
2026-10-21 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Entanglement phases as holographic duals of anyon condensates
任意子凝聚形成了一种机制，它允许将不同的拓扑相联系起来。我们在投影纠缠对态（PEPS）的框架下研究任意子凝聚，其中拓扑序通过纠缠的局部对称性来表征。我们证明了任意子凝聚与虚纠缠态在边界处的行为是一一对应的（即，纠缠谱），其中包括对称性破缺和对称性保护（SPT）秩序，我们用它来表征所有的任意子凝聚的阿贝尔双模型通过其纠缠谱的结构。我们用Z4双模型来说明我们的发现，它可以通过凝聚产生Toric Code和Doubled Semion Order，区别在于它们纠缠的SPT结构。利用我们的框架的能力，直接测量凝聚和解除禁闭的序参量，我们数值研究的模型的相图，包括直接相变之间的双重半介子和复曲面码相位不描述的任意子凝聚。
2017-02-27 cond-mat.str-el quant-ph
Negativity and topological order in the toric code
在这篇手稿中，我们研究的行为纠缠措施被称为负的背景下的复曲面代码模型。使用最近由Calabrese，Cardy和Tonni [Phys. Rev. Lett. 109，130502（2012）]，我们得到了一个精确的表达式，它说明了在拓扑有序状态中存在的非局部相关性如何反映在系统的负性行为中。我们发现，负性有一个领先的面积法的贡献，如果子系统是直接接触彼此（如预期在零范围相关模型）。我们还发现了拓扑贡献直接相关的拓扑熵，只要分区是拓扑非平凡的两个方向上的环面。我们还表明，负捕获量子贡献的纠缠。事实上，我们发现，负消失相同的经典拓扑有序的8顶点模型，相反，表现出有限的冯诺伊曼熵，包括拓扑校正。
2013-09-27 cond-mat.str-el quant-ph
Quantum loop models and the non-abelian toric code
我定义的量子回路模型的自由度是伊辛自旋的正方形晶格中的复曲面代码，但在那里的激发应该有非阿贝尔统计。内积是拓扑的，允许在晶格上直接实现任意子融合矩阵。它还使得在基态中，对于每个环$d$的各种权重值，去精细化任意子成为可能。对于d= \sqrt{2}，只有四自旋相互作用时才能出现带隙的非阿贝尔拓扑相。
2007-11-01 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Fusion rules from entanglement
我们导出了任意子代数理论的一些公理[A. Kitaev，Ann. Phys.，321，2（2006）]从二维带隙系统的纠缠面积定律的简化形式。我们导出了拓扑荷的融合规则，并证明了融合规则的重数满足这些公理。此外，即使我们没有假设盘状区域纠缠熵的常数子前导项的确切值，该项也被证明等于$\ln \mathcal{D}$，其中$\mathcal{D}$是基础任意子理论的总量子维数。这些推导是严格的，并遵循纠缠区法律。更确切地说，我们的框架从两个局部熵约束，这是隐含的面积定律。从这些约束，我们证明了我们所说的“同构定理。“超选择扇区和聚变多重性的存在是从这个定理得出的，即使没有对父哈密顿量做任何假设。这些对象和公理的任意子理论的信息凸集的结构和内部的自洽关系。
2020-06-09 cond-mat.str-el quant-ph
Unveiling UV/IR Mixing via Symmetry Defects: A View from Topological Entanglement Entropy
本文通过精确计算秩-2环面码的拓扑纠缠熵，揭示其边界依赖的晶格尺寸效应，并利用平移对称性缺陷框架统一解释UV/IR混合现象。
2025-02-13 cond-mat.str-el quant-ph
Entanglement Entropy From Tensor Network States for Stabilizer Codes
本文研究了三维稳定子码简并基态的张量网络态的构造。然后，我们使用TNS的形式主义，得到这些基态的纠缠谱和熵的一些特殊的削减。特别地，我们给出了三维环面码、X立方体模型和Haah码的例子。后两种模型属于最近提出的“分形”模型，而第一种模型属于传统的拓扑相。我们提到的情况下，纠缠熵和频谱可以精确计算：对于这些，构造的TNS是奇异值分解（SVD）的基态相对于特定的纠缠削减。除了面积定律外，分形子模型的纠缠熵还具有常数修正和线性修正，而环面码模型的纠缠熵只有常数修正.对于我们考虑的切割，这三个模型的纠缠谱是完全平坦的。我们还推测，负的线性修正面积定律是广泛的基态简并的签名。此外，这些TNS的传递矩阵可以构造。我们证明了转移矩阵是特征值为1或0的投影矩阵。非零本征值的数目与基态简并度密切相关。
2018-03-02 cond-mat.str-el hep-th
Correspondence between bulk entanglement and boundary excitation spectra in 2d gapped topological phases
研究了具有带隙边界的开流形$\mathcal{M}$上非手征拓扑序的边界谱与闭流形上大部分带隙拓扑序的纠缠谱之间的对应关系.该闭流形被划分为两个子系统，其中一个子系统具有与$\mathcal{M}$相同的拓扑结构。具体来说，我们专注于广义弦网模型的情况下，并讨论的情况下，$\mathcal{M}$是一个磁盘或一个圆柱。当$\mathcal{M}$具有圆柱拓扑时，圆柱边界条件的不同组合将对应于环面上的不同纠缠切割。当两个边界都是电荷（光滑）边界时，在无限温度和恒定逸度下，纠缠谱可以与边界激发分布谱相一致。复曲面代码的例子，$\mathbb{Z}_N$理论，和简单的双斐波那契非阿贝尔的情况下进行了演示。
2019-05-12 cond-mat.str-el
Finite-temperature topological entanglement entropy for CSS codes
本文研究了CSS码在有限温度下的拓扑纠缠熵（TEE），CSS码包括一些普通的拓扑有序系统，如Toric码和一些分形子模型，如Haah码和X-cube模型。我们发现，在没有扩展的临界相的假设下，有限温度的TEE是一个分段恒定的温度函数，只有在相变可能的不连续性。然后我们考虑CSS码的相变。我们认为，任何二维和三维拓扑有序的CSS码在零温度下都存在相变。对于一些常见的例子，这一说法可以得到严格的证明，而对于一般模型，它可以根据低温膨胀进行论证。这表明在有限温度下拓扑序的破坏。我们还讨论了与自校正量子存储器的可能联系。
2019-10-16 cond-mat.str-el
On tensor network representations of the (3+1)d toric code
定义了（3+1）维复曲面码基态子空间的两个对偶张量网络表示.这两个表示，这是通过最初施加任何家庭的稳定器约束，其特征在于由不同的虚拟对称性所产生的字符串和膜状运营商，分别。我们讨论的拓扑性质的模型从这些虚拟对称的角度来看，强调这两种表示之间的差异。特别是，我们认为，根据代表性，边界纠缠度的自由度的相图自然与（2+1）d哈密顿显示无论是全球或规范$\mathbb Z_2$对称。
2021-12-07 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Entanglement properties of topological color codes
计算了一类定义在二维格点上的拓扑稳定态\emph{topological color codes}或\emph{2-colex}的纠缠特性。用拓扑熵度量了2-colex不同二分体的纠缠度。的依赖性的基态简并的表面上的属表明，颜色代码可以支持一个拓扑秩序，和颜色的贡献，在其结构中，使它有趣的比较与Kitaev的复曲面代码。当一个量子比特与系统的其余部分最大程度地纠缠时，两个量子比特不再纠缠，这表明颜色码是真正的多体纠缠。对于凸区域，发现纠缠熵只依赖于两个子系统边界上的自由度。熵的边界标度是补充了一个拓扑subleading长期的定义在一个紧凑的表面上的颜色代码是两倍的复曲面代码。从纠缠熵出发，我们构造了一组二等分，其中由边界项产生的发散项被洗掉，剩下的非零项将具有拓扑性质。除了紧致表面上的色码外，我们还分析了一种带边界色码\emph{triangular color code}的纠缠特性。
2008-12-07 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Topological entanglement entropy of three-dimensional Kitaev model
我们计算了Kitaev蜂窝格子自旋模型的三维超蜂窝格子的拓扑纠缠熵。我们发现，该模型的TEE是不是直接由系统的总量子维数。这与一般的二维系统和许多三维模型相反，其中TEE与总量子维度有关。我们的计算还提供了一个三维的复曲面代码型哈密顿出现的Kitaev模型在特定的限制作为有效的低能量理论的TEE。
2018-04-06 cond-mat.str-el quant-ph
Hierarchy of Entanglement Renormalization and Long-Range Entangled States
纠缠重整化群（ERG）的概念和应用作为量子多体物理的一个窗口，在研究物质的新量子相，特别是拓扑有序系统中的长程纠缠态（LRE）方面发挥着重要作用。例如，通过递归地应用局部幺正以及添加/移除形成乘积状态的量子位，2D复曲面代码基态，即，Z_2拓扑序的不动点，有效地粗粒度相对于系统的大小。作为进一步的改进，添加/删除二维复曲面代码到/从基态的三维X立方体模型，被证明是必不可少的，并显着导致定义良好的不动点的一大类的分形阶是非液体状。在这里，我们提出了一个基本统一的ERG框架，其中一般的自由度被允许递归地添加/删除。具体来说，我们建立了一个异国情调的层次结构的ERG和LRE状态的泡利稳定剂代码，其中的二维复曲面代码和三维X立方体模型自然包括在内。在该层次结构中，可以在更复杂的LRE状态的ERG过程中添加/移除像3D X立方体和3D复曲面代码基态的LRE状态。通过这种方式，一大组泡利稳定子码被归类为一系列"状态塔“;对于每个塔，除了包括CNOT门的局部酉元之外，在级-$(n+1)$的上LRE状态的级-$n$ ERG过程中添加/移除级- $n$的下LRE状态，从而连接不同级的LRE状态并揭示LRE状态之间的复杂关系。作为未来的方向，我们希望这种层次结构可以应用到更一般的LRE状态，导致一个统一的ERG场景的LRE状态和精确的张量网络表示的形式更广义的分支MERA。
2022-12-27 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Quantum critical phase transition between two topologically-ordered phases in the Ising toric code bilayer
我们证明了两个复曲面代码层上的正方形晶格耦合的伊辛相互作用显示两个不同的阶段与内在的拓扑秩序。弱耦合$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$和强耦合$\mathbb{Z}_2$拓扑序之间的二阶量子相变可以用玻色子准粒子从两侧凝聚来描述，属于3d Ising $^*$普适类.这可以通过对正方形格子上的横场伊辛模型的精确对偶变换来证明，该对偶变换建立在大量局部$\mathbb{Z}_2$守恒宇称的存在上。这些守恒量对应于不同层上两个相邻星算符的乘积。值得注意的是，我们表明，低能量的有效模型推导出的大伊辛耦合的限制是由一个有效的单层复曲面代码的伊辛复曲面代码双层的守恒量。这两个拓扑相的进一步特征在于作为非局域序参量的拓扑纠缠熵。
2020-10-12 cond-mat.str-el quant-ph
Mapping vortices to anyons in toric code phases of generalized Kitaev models
Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）；T.C.M. Group, Cavendish Laboratory, University of Cambridge（剑桥大学卡文迪许实验室理论化学组）
研究在广义Kitaev模型环面码相中把涡旋映射为任意子的理论，用马约拉纳费米子表示法，利用任意子融合规则等，适用于一般模型参数，能重现已知方案、推导不变性条件，通过计算说明理论，揭示不同映射与对称性破缺及拓扑序的关系。
2026-07-15 cond-mat.str-el
Infinite Randomness Phases and Entanglement Entropy of the Disordered Golden Chain
支持非阿贝尔任意子激发的拓扑绝缘体作为拓扑量子计算的候选者而处于关注的中心。本文分析了无序非阿贝尔任意子链的基态性质。非阿贝尔任意子的融合规则和实空间抽取的相似性强烈地表明，这种任意子的无序链一般表现出无限随机相。集中在最近邻耦合的无序黄金链模型，我们发现，斐波那契任意子的融合规则$τ\otimesτ={\bf 1}\oplus τ$表现出两个无限的随机性阶段：一个随机的单线态阶段时，所有的债券更喜欢平凡的融合通道，和混合相，每当一个有限的债券密度更喜欢$τ$融合通道。实空间RG分析表明，随机单重不动点对混合不动点是不稳定的。通过对混合相的纠缠熵的分析，我们找到了混合相的有效中心荷，并发现它从随机单重点开始沿着RG流增加，从而排除了有效中心荷的c-定理。
2008-07-08 cond-mat.dis-nn cond-mat.str-el
Knots and entanglement
本文将纠缠自举推广至 (3+1) 维拓扑序，利用浸入区域、信息凸集和螺旋映射刻画纽结激发与环融合，并以三叶形纽结补证明量子信息存储。
2023-06-01 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Ground state degeneracy on torus in a family of $\mathbb{Z}_N$ toric code
本文将 Kitaev 环面码推广到 $N$ 能级自旋，发现其拓扑有序相中基态简并会随系统尺寸变化甚至唯一化，并揭示其根源在于平移对称性对任意子种类的非平凡置换作用。
2023-04-16 cond-mat.other cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Entanglement order parameters and critical behavior for topological phase transitions and beyond
拓扑相位是一种奇异的量子相位，它缺乏序参量的表征。在本文中，我们开发了一个统一的框架的基础上变分iPEPS的拓扑和常规相变通过纠缠序参量的定量研究。为此，我们采用张量网络与适当的物理和/或纠缠对称性编码，并允许序参量检测任何这些对称性的行为，物理和纠缠的。首先，这引起了基于纠缠的序参量的拓扑相位。这些拓扑序参量允许定量探测拓扑相变，并确定其普遍的行为。我们将我们的框架应用于研究不同磁场中的Toric Code模型，在某些情况下，它映射到（2+1）D伊辛模型。我们确定了整个过渡的三维伊辛临界指数，与这些特殊情况和一般信念一致。然而，我们还发现一个未知的临界指数β =0.021。然后，我们将我们的纠缠序参量的框架，以传统的相变。我们构造了一种新型的无序算子（或无序参数），它在无序相中是非零的，并测量了波函数对纠缠中对称扭曲的响应。我们数值计算了（2+1）D横向场伊辛模型的无序算子，在那里我们再次恢复了一个临界指数，迄今为止未知的模型，β =0.024，与复曲面代码的结果一致。这表明，纠缠序参量可以提供额外的手段，在拓扑和传统的相变的通用数据的特征，并完全展示了这个框架的权力，以确定通用数据的过渡。
2021-06-30 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Finite-temperature quantum topological order in three dimensions
Nanjing University（南京大学）；Yale University（耶鲁大学）；Stanford University（斯坦福大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；King’s College London（伦敦国王学院）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理珀米特研究所）
研究三维系统在有限温度下的量子拓扑序，通过费米子环面码模型，利用其反常 2 - 形式对称性赋予低温态拓扑序和长程纠缠，为研究非零温度下量子拓扑序开辟道路。
2026-07-16 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Qutrit Toric Code and Parafermions in Trapped Ions
本文在囚禁离子处理器上制备24个qutrit的Z3 toric码基态，实现parafermion及其束缚态操控、缺陷融合与纠缠转移。
2024-11-06 cond-mat.str-el quant-ph
Geometric Entanglement in Topologically Ordered States
在这里，我们研究拓扑秩序和几何纠缠之间的联系，作为衡量的对数之间的重叠一个给定的状态和它的最接近的产品状态的块。我们这样做的各种拓扑有序的系统，如环面代码，双semion，色码，量子双模型。正如纠缠熵所发生的那样，我们发现，对于足够大的块尺寸，几何纠缠是两个贡献的总和：服从边界定律的批量贡献乘以块的数量，以及量化拓扑有序状态的长程纠缠的潜在模式的贡献。这种拓扑贡献在大多数情况下也存在于单自旋块的情况下，并构成了基于多体纠缠测度的这些量子态的拓扑序的另一种表征。特别是，我们看到，拓扑项的二维色码是两倍的复曲面代码，根据最近的重整化群参数。受此启发，我们也得到了一个一般的形式主义，以获得上限和下限的几何纠缠态与非阿贝尔对称性，我们用它来分析量子双模型。此外，我们还分析了鲁棒性的拓扑贡献重整化和微扰理论参数，以及小系统的数值估计。我们的一些结果依赖于从系统中分离单个站点的能力，这在我们的框架中总是可能的。此外，我们将我们的结果与拓扑系统中纠缠的相对熵联系起来，并讨论了一些张量网络数值方法，这些方法可用于提取超出精确可解模型的大系统的拓扑贡献。
2013-12-11 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Topological Phase Transitions Induced by Varying Topology and Boundaries in the Toric Code
物质的拓扑相的一个重要特征是定义它们的基础流形的拓扑。在本文中，我们提出了敏感性的物质相的底层拓扑结构，通过研究的相变诱导由于边界条件的变化。我们声称，这些相变是伴随着在激发空间中的对称性破缺，并获得进一步的洞察力，我们分析了各种签名，如基态简并，拓扑纠缠熵，同时引入开环运营商的期望值有效地捕捉相变。此外，我们扩展到一个开放的量子设置的分析，通过定义有效的崩溃运营商，其动力学冷却系统到不同的拓扑有序的稳定状态。我们表明，这种稳定状态之间的相变有效地捕获的期望值的开环运营商。
2021-01-22 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Entanglement bootstrap approach for gapped domain walls
本文提出了二维拓扑有序体系间的间隙畴壁理论。我们发现了一种新型的超选择部门-被称为部分子部门-细分已知的超选择部门本地化的缺口域墙上。此外，我们还介绍和研究了由部分子扇区构成的复合超选择扇区的性质。我们解释了一个系统的方法来定义这些部门，他们的融合空间，和他们的融合规则，推导出非平凡的身份有关的量子尺寸和融合多重性。我们提出了一套公理系统的基态纠缠熵，可以主机带隙畴壁，推广体公理提出[B. Shi，K.加藤和我H. 418，168164（2020）]。类似于我们的分析，我们得到我们的主要结果，通过检查的自洽关系的对象称为信息凸集。作为应用，我们定义了一个类似的拓扑纠缠熵，并推导出它的精确表达式。
2021-05-30 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Condensation Completion and Defects in 2+1D Topological Orders
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文探讨了二维拓扑序中通过凝聚完成构造融合2-范畴的方法，分析了缺陷的分类与融合规则，并展示了其在拓扑序模型中的应用。
2025-08-05 cond-mat.str-el hep-th
Long-range Entanglement and Role of Realistic Interaction in Braiding of Non-Abelian Quasiholes in Fractional Quantum Hall Phases
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；A*STAR（新加坡科技研究局）
本文利用 Jack 多项式研究分数量子霍尔相中摩尔-里德非阿贝尔准空穴的编织，揭示宇称守恒导致的长程纠缠对真实相互作用下交换统计测量的影响，并提出通过微调双体相互作用稳定融合通道的方法。
2025-11-07 cond-mat.str-el
Local realizations of anyon exchange symmetries without lattice dislocations
复曲面代码的全局$e$ - $m$交换对称性是通过没有晶格位错及其相关缺陷线的二维晶格上的精确可解汉密尔顿算子局部实现的。在我们希望实现这种任意子对称性的选定位置，哈密顿量仍然局部变化。我们将这些选定的位置称为与通常的晶格缺陷类似的缺陷位置。缺陷位置上的运营商凝聚的复曲面代码的双子，并示出支持的状态，遵守伊辛任意子的融合规则，就像晶格位错，从而实现过渡到伊辛阶段从复曲面代码阶段。它们也可以被引入到整个区域中，导致非局部缺陷的想法。该方法导致其他阿贝尔群的自然推广，它们有助于实现所有的任意子交换对称性本地。
2015-12-10 cond-mat.str-el hep-th
Seeing topological entanglement through the information convex
信息凸允许我们在二维拓扑序中研究某些信息论约束。我们提供了一个推导的拓扑贡献$\ln d_a$的冯诺伊曼熵，其中$d_a$是量子维数的任何子$a$。假设信息凸结构具有一定的拓扑依赖性，这个值是唯一与强次可加性一致的值。特别是，它是假设的融合多重相干编码在一个2孔盘。一个类似的贡献（$\ln d_α$）是来自间隙边界。该方法还允许我们识别融合概率和对融合理论的某些约束。我们还推导出了酉非阿贝尔弦算子的回路深度的线性界，并讨论了它是如何推广和变化的存在下的间隙边界。
2019-10-25 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Deformed quantum double realization of the toric code and beyond
量子双模型，如复曲面码，可以从具有离散规范群的格点规范理论的转移矩阵构造，并由规范群代数的中心及其对偶参数化。对于这些参数的一般选择，传递矩阵包含作用于链接的算子，这些算子也可以被认为是对量子双模型的扰动，将其从其拓扑相驱动并破坏量子双模型的精确可解性。我们修改这些转移矩阵的扰动和提取精确可解的模型，保持在一个量子阶段，从而抵消了扰动的影响。修改后的顶点和元格算子的代数现在服从量子双代数的变形版本。阿贝尔的情况下示出的量子双相，而非阿贝尔相位示出的是在相应的量子双相的修改后的相位。这些用组$\mathbb{Z}_n$和$S_3$表示。量子相位是通过研究这些系统的激发，即它们的融合规则和统计来确定的。然后，我们进一步构建一个转移矩阵，其中包含另一个$\mathbb{Z}_2$阶段，即双半元阶段。更一般地，对于其他离散群，这些传递矩阵包含扭曲量子双模型。这些转移矩阵可以认为是通过在格点规范理论的转移矩阵中引入额外的参数而得到的。这些参数是属于代数及其对偶的张量积的中心元素，并且与三维晶格的顶点和体积相关联。与格点规范理论的情况一样，我们构造了这种情况下产生激发的算符，并研究了它们的编织和熔合性质。
2015-12-10 cond-mat.str-el hep-th
Global entanglement in a topological quantum phase transition
量子相变的一个有用的表征和识别方法是多体纠缠的概念。在本文中，我们考虑众所周知的多体（全球）纠缠的措施，即，为了研究Kitaev Toric码哈密顿量在非线性扰动下的拓扑量子相变（TQPT），计算了单量子比特和双量子比特约化密度矩阵的平均线性熵.我们提供了一个$exact$映射从上述模型中的上述措施的内能和能量的经典伊辛模型的能量相关性。相应地，我们发现，整体纠缠显示出一个连续的和急剧的过渡，从一个最大值的拓扑阶段的磁化阶段为零的意义上说，它的一阶导数发散的过渡点。在这方面，我们的结论是，不仅可以作为一个合理的工具，探测量子临界TQPT的整体纠缠，但它也可以揭示拓扑相位的高度纠缠的性质。此外，我们还引入了一个条件版本的全球纠缠成为最大的临界点。因此，对于多体纠缠在量子多体系统临界点处达到最大值的普遍期望，我们的结果表明条件全局纠缠可以作为多体纠缠的一个很好的度量.
2022-03-30 cond-mat.str-el quant-ph
Soluble limit and criticality of fermions in Z2 gauge theories
量子信息理论和强关联电子系统有一个共同的主题，即宏观量子纠缠。在拓扑纠错码和量子材料理论（自旋液体、重费米子和高$T_c$系统）中，纠缠都是通过突现的规范对称性实现的。受这些联系的启发，我们引入了一个简单的模型，费米子移动的$\mathbb Z_2$规范理论的退禁闭阶段，通过耦合Kitaev的环面代码移动费米子。这使我们能够精确地解出该系统的基态并绘制出其相图。反转复曲面码中元格项的符号，使我们能够调整正交金属和正交半金属之间的基态，其中无隙准粒子尽管原始费米子的光谱中存在间隙，但仍然存在。这两种状态之间的小到大的费米表面转变发生在一个逐步的方式与多个中间阶段。通过使用一种新的图解技术，我们能够探索物理学以外的积分点，检查各种不稳定性的deconfined阶段，并推导出临界理论在deconfined和限制阶段之间的过渡。我们概述了如何费米复曲面代码可以实现为一个量子线路，从而提供了一个重要的量子材料和量子信息理论之间的联系。
2022-10-09 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Fracton fusion and statistics
我们介绍和发展的理论融合和统计过程的缺口激发阿贝尔分形相位。其关键思想是将晶格平移对称性通过其对超选择扇区的作用，从而导致融合理论赋予有关非平凡的流动性的分形和子维激发的信息。这导致在一个描述的统计过程中的融合理论所确定的局部移动。我们的结果可以理解为提供了一个表征的折射不变的分形相位。我们得到了X立方体和棋盘形分形子模型中的熔合理论的简单描述，以及一些无带隙U（1）张量规范理论的带隙电磁激发。一个替代路线的X-cube模型融合理论提供了一个系统的解耦二维复曲面代码层，并给出了一个描述的p-弦凝聚机制在我们的方法。我们讨论的X-立方体和棋盘模型的分形和子维激发的统计过程的例子。作为一个应用程序的想法，我们证明了X-立方体和半离子X-立方体模型实现不同的折射率不变的分形相位，即使当平移对称性被打破对应于一个任意的，但有限的放大的晶体晶胞。
2019-11-25 cond-mat.str-el quant-ph
Pivot Hamiltonians as generators of symmetry and entanglement
众所周知，通过纠缠子，有限深度酉算子$U$，可以从平凡相位中得到保序拓扑相位。在这里，我们考虑从局部“枢轴”哈密顿量$H_{piv}$获得纠缠，使得$U = e^{iπH_{piv}}$。这种观点的哈密顿之间的旋转平凡和SPT阶段开辟了两个新的方向，我们在这里探讨。(i)既然SPT哈密顿量和纠缠量现在处于相同的基础上，我们能否通过这个过程来创造其他有趣的状态？(ii)既然纠缠分子在SPT跃迁时以离散对称的形式出现，那么在什么条件下可以将其增强为由$H_{piv}$产生的$U(1)$“枢轴”对称？在这项工作中，我们将探讨这两个问题。关于第一个，我们给出了通过迭代使用SPT模型作为枢轴来生成下一个的二元性的丰富网络的例子。对于第二个问题，我们得到了一个简单的准则，保证平凡和SPT哈密顿量之间的直接插值具有$U(1)$枢轴对称性。我们在各种例子中说明这一点，假设$H_{piv}$的各种形式，包括伊辛链和复曲面码哈密顿量。这种$U(1)$枢轴对称的一个显著特性是，它与保护附近SPT相位的对称共享一个共同的异常。我们将讨论如何解释这种异常和非现场$U(1)$对称性的异国情调的相图，可以出现，包括一个SPT多临界点的无间隙基态是由定点复曲面代码状态。
2023-02-02 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Entanglement Entropy of Gapped Phases and Topological Order in Three dimensions
本文讨论了在不同维数下，将空间划分为两个区域后得到的带隙基态的纠缠熵。对于平凡的相位没有拓扑顺序，我们认为，纠缠熵可以通过整合的“熵密度”的分区边界，承认在边界的曲率梯度扩展。这限制了纠缠熵作为系统大小的函数的扩展，并指出了对维度的奇偶依赖性。例如，在二维中的熟悉的结果相比，一个大小无关的恒定贡献的纠缠熵可以出现在任何奇数空间维度的平凡阶段。然后，我们讨论相位拓扑纠缠熵（TEE），不能通过添加本地的贡献。我们发现，在三维空间中只有一种类型的TEE，在二维空间中，它线性依赖于边界的连通分量的数量（“第零贝蒂数”）。在D > 3维，新类型的TEE出现取决于边界流形的更高Betti数。我们构建广义环面代码模型，展示这些TEE，并讨论如何提取TEE在D >=3。
2011-08-19 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
A Rényi entropy perspective on topological order in classical toric code models
信息论的概念越来越多地用于描述凝聚态系统中的集体现象，例如使用纠缠熵来识别相互作用的量子多体系统中的涌现拓扑顺序。在这里，我们采用这些概念的经典变体，特别是雷尼熵及其相关的互信息，以确定在经典系统的拓扑顺序。与它们的量子对应物一样，拓扑序的存在可以在这样的经典系统中通过对经典雷尼熵的普遍体积和边界定律的普遍的、次要的贡献来识别。我们证明了一个额外的子领导$O(1)$贡献一般会出现所有Rényi熵$S^{(n)}$与$n \geq 2$时，驱动系统的相变，例如到一个传统的有序相。这个额外的子引导项，我们称之为连通性贡献，可以追溯到部分子系统排序，并且与给定二分区中连通部分的数量成比例。值得注意的是，Levin-Wen求和方案-通常用于提取对Rényi熵的拓扑贡献-在这个经典背景下并没有完全消除这种额外的连接性贡献。这表明从Rényi熵中提取拓扑序需要额外的审查级别，以区分拓扑和非拓扑$O(1)$贡献。这也是量子系统的情况下，我们讨论的熵是敏感的这些连接的贡献。我们展示了这些发现的一个经典的变体的复曲面代码模型，我们研究的稳定性的拓扑秩序的存在下，一个磁场，并在有限的温度下从雷尼熵的角度进行了广泛的数值模拟。
2015-07-16 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Gravitational anomaly of 3+1 dimensional Z_2 toric code with fermionic charges and fermionic loop self-statistics
在$3+1$维中，准粒子激发可以是玻色子，也可以是费米子。在这项工作中，我们介绍了$3+1$维拓扑相位的费米环激发的概念。具体来说，我们构建了一个新的多体晶格不变量的间隙哈密顿，循环自统计，区分两个玻色子拓扑秩序，都表面上类似于$3+1$ d ${\mathbb{Z}}_2$规范理论耦合到费米子带电物质。第一种是普通的费米子复曲面码，它含有费米子荷和玻色子${\mathbb{Z}}_2$规范磁通环（FcBl）。第二个有费米子电荷和费米子环（FcFl），并且，正如我们所认为的，只能存在于一个非平凡的4+1d可逆玻色子相的边界上，没有任何对称性，也就是说，它具有引力异常。我们证实了这些说法，通过构建一个明确的精确可解$4+1$ d沃克-王模型和计算在费米${\mathbb{Z}}_2$规范理论托管在其边界的循环自统计。我们还表明，FcFl相位具有相同的引力异常的全费米子量子电动力学。我们的结果与Johnson-Freyd最近对非简并编织融合2-范畴的分类一致，并与配边预测的非平凡${\mathbb{Z}}_2$分类的$4+1$ d可逆相位与作用$S=\frac{1}{2} \int w_2 w_3$一致.
2022-11-01 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Parametrized quantum circuit for weight-adjustable quantum loop gas
受最近在实际量子器件上用量子线路实现精确可解环面码模型的拓扑有序基态的成功启发[K. J. Satzinger { \it等人}，Science \textbf{374}，1237（2021）]，在这里，我们提出了一个参数化的量子线路（PQC），具有相同的实际设备可执行的最佳结构，以表示具有可调节加权回路配置的量子回路气体状态。将这种PQC与变分量子本征求解器相结合，我们得到了在任意场强的外磁场中环面码模型的精确量子线路表示，其中系统是不精确可解的.通过测量磁化强度和拓扑纠缠熵，在优化电路中进一步观察到该系统的拓扑量子相变。
2023-01-27 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
The toric code under antiferromagnetic isotropic Heisenberg interactions
Kyoto University（京都大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）；The Hamburg Centre for Ultrafast Imaging（汉堡超快成像中心）
研究各向同性反铁磁异斯贴生相互作用对托卡马克码的影响，揭示拓扑序破坏机制及临界点特征。
2026-03-05 cond-mat.dis-nn cond-mat.str-el quant-ph
Quantum phase transition between symmetry enriched topological phases in tensor-network states
提出张量网络可解模型，研究二维SET相变，揭示时间反演对称下三个相及相边界临界行为，并推广至其他拓扑相。
2023-09-04 cond-mat.str-el quant-ph
Decoding coherent errors in toric codes on honeycomb and square lattices: duality to Majorana monitored dynamics and symmetry classes
Cornell University（康奈尔大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文研究了在蜂窝和正方形晶格上拓扑码在X和Z型相干误差下的解码问题，通过与非相互作用Majorana费米子监视动力学的对偶性，揭示了解码相图的普遍结构，并探讨了不同对称类下的解码转变。
2026-04-09 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Entanglement Entropy, OTOC and Bootstrap in 2D CFTs from Regge and Light Cone Limits of Multi-point Conformal Block
利用融合矩阵方法研究了无手征原色的$c>1$二维共形场论中$n$点Virasoro共形块的光锥结构和Regge极限奇点.这些CFTs不仅包括与经典引力对偶的全息CFTs，还包括它们的完全量子修正，因为这种方法允许我们探索完全的$1/c$修正。作为重要的应用，我们研究了局域猝灭后的Renyi熵的时间依赖性和后期的超时有序相关器（OTOC）。我们首先证明了对于任意$c$和任意共形的激发原色，在我们的CFT中，局部猝灭后的第（$n>2$）个$n$ -次Renyi熵在最后时刻以几何方式增长.特别是，我们发现，这种行为是独立的$c$，相反的期望，有限的$c$校正固定后期的Renyi熵是恒定的。我们还表明，常数部分的后期时间Renyi熵是由一个monodromy矩阵。我们还研究了OTOC的单值矩阵。我们首先重写的monodromy矩阵的融合矩阵显式。通过这个表达式，我们发现OTOC随时间呈指数衰减，衰减率分为三种模式，取决于外部运营商的尺寸。我们注意到，我们的结果是有效的任何$c>1$和任何外部运营商的尺寸。我们的monodromy矩阵的方法可以推广到刘维理论，我们表明，刘维OTOC的方法常数在晚的时间制度。我们强调，还有一些其他的应用的融合和monodromy矩阵的方法，如解决共形引导方程。因此，人们很容易相信，融合和monodromy矩阵的方法提供了一个关键的理解AdS/CFT对应。
2019-08-12 cond-mat.str-el hep-th
Fermionic Matrix Product Operators and Topological Phases of Matter
我们介绍了费米子矩阵乘积算子的概念，并表明，它们提供了一个自然的表示费米子融合张量类别。这使得分类的二维费米拓扑相位的矩阵产品运营商代数。使用这种方法，我们给出了关于一个群$G$在三个上同调群方面的费米子对称性保护拓扑相的分类：$H^1(G,\mathbb{Z}_2)$，描述了哪些矩阵乘积算子是马约拉纳型的，$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$，描述了当两个矩阵乘积算子相乘时产生的熔合张量的费米子性质，和超上同调群$\bar{H}^3(G,U(1))$，其对应于改变融合顺序的结合子。我们还推广张量网络描述的弦网基态的费米设置，产生简单的表示类，包括费米复曲面代码。
2017-10-15 cond-mat.str-el quant-ph
Anomalies of Average Symmetries: Entanglement and Open Quantum Systems
本研究针对现实系统中仅平均成立的非对易对称性，提出反常平均对称性概念，证明其会导致密度矩阵本征值简并，给出晶格示例并推广至约化密度矩阵得到纠缠熵新下界，还拓展了其在多体局域化等领域及开放量子系统演化中的应用。
2023-12-14 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Resonating valence bond states in the PEPS formalism
我们在投影纠缠对态（PEPS）理论中研究了共振价键（RVB）态。基于PEPS描述中的对称性，我们建立了kagome格点上toric码态、正交二聚体态和SU（2）单重RVB态之间的关系：我们证明了toric码态和二聚体态的等价性，并设计了二聚体态和RVB态之间的插值。这种插值对应于哈密顿空间中的连续路径，证明了RVB态是（有限）kagome晶格上局部哈密顿量的四重简并基态。我们调查这种插值使用数值PEPS方法，研究的关联函数的衰减，重叠的变化，和纠缠谱，其中没有表现出的相变的迹象。
2012-10-19 cond-mat.str-el quant-ph
Non-Abelian Fusion Rules from an Abelian System
我们证明了非阿贝尔融合规则的出现，建立了阿贝尔自由度的二维晶格模型的激发。它可以被认为是通常的复曲面码模型的扩展与物质场增强的二维晶格。它由通常的$\mathbb{C}(\mathbb{Z}_p)$规范自由度的生活在链接与物质自由度生活在顶点。物质部分由一个$n$维向量空间描述，我们称之为$H_n$。$\mathbb{Z}_p$规范粒子作用于顶点粒子，因此$H_n$可以被认为是一个$\mathbb{C}(\mathbb{Z}_p)$模块。利用作用在相应Hilbert空间中的算子建立了一个精确可解模型。该模型的顶点激励进行了研究，并服从非阿贝尔融合规则。我们将针对$n$和$p$的特定值展示这一点，尽管我们相信此特性适用于所有$n>p$。我们将看到，$\mathbb{C}(S_3)$的量子偶的非阿贝尔任意子是作为具有$n=6$和$p=3$的模型的顶点激发的一部分而得到的。在具有$n=4$和$p=2$的模型中得到了Ising任意子。$n=3$和$p=2$的情况下，也制定了，因为这是最简单的模型展示非阿贝尔融合规则。这些模型共有的另一个共同特征是基态具有比$\mathbb{Z}_p$更高的对称性。这使它们成为实现量子计算的可能候选者。
2014-07-15 cond-mat.str-el quant-ph
Characterizing the ambiguity in topological entanglement entropy
本文提出模型无关的划分图像，揭示拓扑纠缠熵在纠缠边界接触有能隙边界时因边界条件与相干性选择而产生歧义，并用两个参数完整刻画Z2环面码中的歧义性。
2023-12-01 cond-mat.str-el hep-th math-ph
How Much Entanglement Is Needed for Topological Codes and Mixed States with Anomalous Symmetry?
该研究利用几何纠缠度量（GEM）定量表征拓扑编码与反常对称系统中涌现粒子所需的纠缠，证明二维稳定子编码GEM与码距二次相关、涌现任意子/费米子系统GEM随系统尺寸线性标度，并将结果推广至混合态，建立量子反常与长程纠缠的关联。
2025-06-03 cond-mat.str-el quant-ph
Structured volume-law entanglement in an interacting, monitored Majorana spin liquid
本研究通过随机纯测量电路实现Kitaev蜂窝模型的耦合竞争，发现结构化体定律纠缠马约拉纳液体相，揭示其相图临界边界与三临界点特性，并给出颜色编码错误阈值及替代实现方案。
2023-03-30 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
