arXiv 2409.026022024-09-04math.CO

有向图的 $A_α$ 矩阵迹范数的界

Bounds for the trace norm of $A_α$ matrix of digraphs

Mushtaq A. Bhat, Peer Abdul Manan

备注：: 19 pages, 1 figure with 11 digraphs

阅读 PDF

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

AI总结：

本文研究有向图 $A_α$ 矩阵的迹范数，通过求解基本有向图的奇异值并刻画秩为1的情形，给出了迹范数的下界与上界，并确定了相应的极值有向图和有向树。

摘要：

设 $D$ 是一个阶为 $n$ 的有向图，其邻接矩阵为 $A(D)$。对于 $α\in[0,1)$，$D$ 的 $A_α$ 矩阵定义为 $A_α(D)=αΔ^{+}(D)+(1-α)A(D)$，其中 $Δ^{+}(D)=\mbox{diag}~(d_1^{+},d_2^{+},\dots,d_n^{+})$ 是 $D$ 的顶点出度对角矩阵。设 $σ_{1α}(D),σ_{2α}(D),\dots,σ_{nα}(D)$ 为 $A_α(D)$ 的奇异值。则 $A_α(D)$ 的迹范数，我们称之为 $D$ 的 $α$ 迹范数，定义为 $\\|A_α(D)\\||_*=\sum_{i=1}^{n}σ_{iα}(D)$。本文求出了一些基本有向图的奇异值，并刻画了满足 $\mbox{Rank}~(A_α(D))=1$ 的有向图 $D$。作为这些结果的应用，我们得到了有向图 $A_α$ 矩阵迹范数的一个下界，并确定了极值有向图。特别地，我们确定了使得 $A_α$ 矩阵迹范数达到最小的有向树。我们得到了有向图 $α$ 谱范数 $σ_{1α}(D)$ 的一个下界，并刻画了极值有向图。作为这一结果的应用，我们得到了有向图 $α$ 迹范数的一个上界，并刻画了极值有向图。

英文摘要：

Let $D$ be a digraph of order $n$ with adjacency matrix $A(D)$. For $α\in[0,1)$, the $A_α$ matrix of $D$ is defined as $A_α(D)=αΔ^{+}(D)+(1-α)A(D)$, where $Δ^{+}(D)=\mbox{diag}~(d_1^{+},d_2^{+},\dots,d_n^{+})$ is the diagonal matrix of vertex outdegrees of $D$. Let $σ_{1α}(D),σ_{2α}(D),\dots,σ_{nα}(D)$ be the singular values of $A_α(D)$. Then the trace norm of $A_α(D)$, which we call $α$ trace norm of $D$, is defined as $\|A_α(D)\|_*=\sum_{i=1}^{n}σ_{iα}(D)$. In this paper, we find the singular values of some basic digraphs and characterize the digraphs $D$ with $\mbox{Rank}~(A_α(D))=1$. As an application of these results, we obtain a lower bound for the trace norm of $A_α$ matrix of digraphs and determine the extremal digraphs. In particular, we determine the oriented trees for which the trace norm of $A_α$ matrix attains minimum. We obtain a lower bound for the $α$ spectral norm $σ_{1α}(D)$ of digraphs and characterize the extremal digraphs. As an application of this result, we obtain an upper bound for the $α$ trace norm of digraphs and characterize the extremal digraphs.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

相关论文