三次庞加莱中心问题的新解

加权射影叶理的Poincaré问题

Poincaré problem for weighted projective foliations

本文给出了加权射影空间上对给定度的一维全纯叶理不变的拟光滑超曲面的度的一个界。

Poincaré级数与低脚柱度Gorenstein局部代数的变形

Poincaré series and deformations of Gorenstein local algebras with low socle degree

设$K$是特征$0$的代数闭域，$A$是具有极大理想$M$的ArtinianGorenstein局部交换Noether $K$ -代数.本文证明了描述这类满足$M^4=0$的$K$-代数的一个结构定理。我们利用这个结果证明了这样的$K$ -代数$A$具有有理Poincaré级数，并且在任意嵌入维上总是光滑的，如果$\dim_K M^2/M^3 \le 4$ .我们还证明了一般的Artinian Gorenstein局部$K$ -代数与socle度3有合理的庞加莱级数，尽管这样的代数不一定光滑。

On the Poincaré problem for foliations on compact toric orbifolds

We give an optimal upper bound of the degree of quasi-smooth hypersurfaces which are invariant by a one-dimensional holomorphic foliation on a compact toric orbifold, i.e. on a complete simplicial toric variety. This bound depends only on the degree of the foliation and of the degrees of the toric homogeneous coordinates.

一般低次超曲面和庞加莱对偶的几何马林猜想的逆

A converse to geometric Manin's conjecture for general low degree hypersurfaces and Poincaré duality

该研究通过高亏分数的圆法推广，证明了对于一般低次超曲面，不存在增加Fujita不变量的累积映射，从而在特定范围内建立了这些模空间的庞加莱对偶性。

代数曲线上稳定向量丛模空间的Hodge-Poincaré多项式

The Hodge--Poincaré polynomial of the moduli spaces of stable vector bundles over an algebraic curve

设X是一个非奇异复射影簇，它被一个约化群$G$作用，使得$X^{ss} \neq X_{(0)}^{s}\neq \emptyset$ .给出了商$X_{(0)}^s/G$的Hodge-Poincaré级数的计算公式.利用这些计算得到了当秩和度不互素时真稳定向量丛模空间的Hodge-Poincaré多项式的相应公式.我们明确地计算秩等于2且度为偶数的情况。

关于由系数矩确定的常微分方程的中心集

On Center Sets of ODEs Determined by Moments of their Coefficients

经典的H. Poincaré中心-焦点问题是关于平面多项式向量场的特征，使得它们的所有积分轨迹都是内部包含不动点（{ \em中心}）的闭曲线。这个问题可以归结为一个常微分方程的中心问题，该方程的系数是多项式依赖于域的系数的三角多项式。本文证明了Center-Focus问题的中心集可由该方程系数的矩确定为某些连续函数的零点集。

Projective Poincaré and Picard bundles for moduli spaces of vector bundles over nodal curves

Let $U^{'s}_L(n,d)$ be the moduli space of stable vector bundles of rank $n$ with determinant $L$ where $L$ is a fixed line bundle of degree $d$ over a nodal curve $Y$. We prove that the projective Poincare bundle on $Y \times U^{'s}_L(n,d)$ and the projective Picard bundle on $U^{'s}_L(n,d)$ are stable for suitable polarisation. For a nonsingular point $x \in Y$, we show that the restriction of the projective Poincare bundle to $x \times U^{'s}_L(n,d)$ is stable for any polarisation. We prove that for arithmetic genus $g\ge 3$ and for $g=n=2, d$ odd, the Picard group of the moduli space $U'_L…

Milnor纤维的纤维化结构和度公式

Fibrations structure and degree formulae for Milnor fibers

在这篇综述中，我们回顾了最近在真实和复杂情况下，在局部和全局设置中证明的一些纤维化结构定理（也称为Milnor纤维化）。本文给出了几个Poincaré-Hopf型公式，它们将这些纤维（也称为Milnor纤维）的Euler-Poincaré特征与定义在半径足够小或足够大的球面上的适当向量场的指数（拓扑度）联系起来。

向量场次数的下界

Bounds on the degrees of vector fields

本文从反向视角研究广义庞加莱问题，建立了向量场次数与簇不变量之间的下界关系。

不可约曲线上无挠层模空间上的Poincare层

Poincare sheaves on the moduli spaces of torsionfree sheaves over an irreducible curve

设$Y$是定义在实数上的几何不可约射影曲线。设$U_Y$（分别为$U'_Y$）是秩为$n$、度为$d$的$Y$上几何稳定的无挠层（分别为局部自由层）的模空间。定义$χ\, =\, d+n(1-\text{genus}(Y))$，其中$\text{genus}(Y)$是算术亏格。如果$2n$与$χ$互质，则存在$U_Y\times Y$上的庞加莱层。若$2n$与$χ$不互质，则在$U'_Y$的任何非空开子集上都不存在Poincare层。

关于自反differential forms的Poincaré引理

On the Poincaré Lemma for reflexive differential forms

本文研究正规复空间上自反微分形式层的de Rham复形的上同调。首先，我们证明了复形在适当的条件下在底层拓扑空间上是一次正合的，但正合性一般依赖于复形的复结构。第二，我们显示在高程度上的全纯可缩空间的精确性在温和的假设下的性质的奇异性，例如klt奇异性。随后，自反微分形式的de Rham复形的精确性与Lipman-Zagliki猜想和奇异空间上Kodaira-Akizuki-Nakano型消灭定理的失败有关。

曲线上向量丛的Poincare丛

On Poincare bundles of vector bundles on curves

设$M$表示亏格为$g \geq 2$的非奇异射影曲线$X$上秩为$n$的稳定向量丛和与$n$互质的不动点行列式的模空间.用$\cU$表示$X \times M$上的通用束。我们证明了，对于$x,y \in X, x \neq y$，限制$\cU|\{x\} \times M$和$\cU|\{y\} \times M$是稳定的和非同构的，当被认为是$X$上的丛。

高亏格曲线的Poincare层的构造

Construction of the Poincare sheaf for higher genus curves

设$X$是亏格为$g$的光滑射影曲线，$L$是$X$上的一个度$l$线丛，其中$l\geq 2g-1$是$X$上的.用$\mathcal{H}iggs$表示$L$中的值，用$\mathcal{H}iggs_{ss}$表示$X$上的秩为2的Higgs束的堆叠。设$H$为Hitchin基。本文构造了$\mathcal{H}iggs\times_{H}\mathcal{H}iggs_{ss}$上的Poincare层$\mathcal{P}$，$\mathcal{P}$是$\mathcal{H}iggs_{ss}$上的极大Cohen-Macaulay层.特别地，这包括非约化光谱曲线的轨迹。

两个二元形式的联合不变量和协变量的Poincaré级数

The Poincaré series of the joint invariants and covariants of the two binary forms

设$\mathcal{I}_{d_1,d_2}$和$\mathcal{C}_{d_1,d_2}$是两种二元度形式的联合不变量和联合协变量的代数，给出了计算这两种代数的Poincaré级数的公式$d_1$和$d_2.$，并利用这些公式计算了$d_1,d_2 \leq 20.$的级数$\mathcal{PI}_{d_1,d_2}(z),$ $ \mathcal{PC}_{d_1,d_2}(z)$

$SL_2$ -不变量代数的多元Poincaré级数

Multivariate Poincaré series for algebras of $SL_2$-invariants

设$\mathcal{C}_{\mathbi{d}},$ $\mathcal{I}_{\mathbi{d}},$ $\mathbi{d}{=}(d_1,d_2,..., d_n)$是$n$二元度形式的连接协变和连接不变量的代数$d_1,d_2,..., d_n.$给出了计算多元Poincaré级数的公式$\mathcal{P}(\mathcal{C}_{\mathbi{d}},z_1,z_2,...,z_n,t)$和$\mathcal{P}(\mathcal{I}_{\mathbi{d}},z_1,z_2,...,z_n)$.

拟普通奇点、本质除子与Poincaré级数

Quasi Ordinary Singularities, Essential Divisors and Poincare Series

本文通过单项赋值序列定义了拟超曲面奇点的Poincaré级数，证明其为有理函数及解析不变量，并证明其与特征单项式规范序列相互确定，从而刻画了奇点的嵌入拓扑类型。

稳定庞加莱 - 里布图的代数实现

Algebraic realization of stable Poincaré-Reeb graphs

推广有限型区域概念，证明特定有限图可实现为稳定代数区域的庞加莱 - 里布图，还构建含度为2顶点的图类，用代数逼近技术和稳定莫尔斯函数等工具。

叶状曲面的显式界与庞加莱问题

Explicit bounds on foliated surfaces and the Poincaré problem

该研究在极小模型纲领框架内，通过扩展已有方法研究伴随叶状结构的伪有效阈值集合，给出Cerveau和Lins Neto表述下庞加莱问题的解，并得到一般型叶状结构一般叶次数的线性界，以及伴随除子的有效双有理性结论。

一般曲面的Kobayashi双曲性：基于Poincaré问题

Kobayashi Hyperbolicity of General Surfaces via the Poincaré Problem

通过Poincaré问题与2-jet微分叶状结构，证明$\mathbb{P}^3$中次数至少18的一般曲面无有理或椭圆曲线，进而建立其Kobayashi双曲性，并推广到平面曲线补集。

支撑在五次曲线上的稳定对空间的虚Poincaré多项式

Virtual Poincaré polynomial of the space of stable pairs supported on quintic curves

设$\mathbf{M}^α(d,χ)$是具有Hilbert多项式$χ(F(m))=dm+χ$的射影平面$\mathbb{P}^2$上的$α$ -稳定对$(s,F)$的模空间.对于足够大的$α$（记为$\infty$），公知的是模空间同构于泛度$d$平面曲线上的点的相对Hilbert格式。对于一般的$(d,χ)$，相对Hilbert格式在Hilbert点格式上不具有丛结构.作为第一个非平凡的情形，本文研究了当$(d,χ)=(5,2)$为$α$ -稳定对空间时的跨壁问题。作为直接推论，结合稳定层模空间的Bridgeland壁交叉，计算了$\mathbf{M}^{\infty}(5,2)$的虚Poincaré多项式.

Poincaré bundle for the fixed determinant moduli space on a nodal curve

Let $Y$ be an integral nodal projective curve of arithmetic genus $g\ge 2$ with $m$ nodes defined over an algebraically closed field $k$ and $x$ a nonsingular closed point of $Y$. Let $n$ and $d$ be coprime integers with $n\ge 2$. Fix a line bundle $L$ of degree $d$ on $Y$. Let $U_Y(n,d,L)$ denote the (compactified) "fixed determinant moduli space". We prove that the restriction $\mathcal{U}_{L,x}$ of the Poincare bundle to $x \times U_Y(n,d,L)$ is stable with respect to the polarisation $θ_L$ and its restriction to $x \times U'_Y(n,d,L)$, where $U'_Y(n,d,L)$ is the moduli space of vector bund…

平面除赋值有限集的生成序列和Poincaré级数

Generating sequences and Poincaré series for a finite set of plane divisorial valuations

设$V$是一个以2维正则局部环$R$为中心的整除赋值的有限集.本文利用值半群$S_V$和由$V$定义的多指标分次代数$\gr_V R$来研究它的结构。我们证明了$S_V$是非线性生成的，并在研究约化曲线奇点的基础上计算了它的最小生成元集。此外，我们证明了一个唯一的分解定理的元素的半群。$V$中赋值之间的比较，约化平面曲线奇异性$C$由整除赋值集合族$V^{(k)}$逼近，以及$C$的值半群与集合$V^{(k)}$的半群之间的关系，使我们能够得到$C$和$V$的（有限）极小生成序列.我们还分析了$\gr_V R$的均匀组分的结构。它们的尺寸的研究使我们能够与庞加莱系列的$V$和一般曲线$C$的$V$。由于最后一个级数与奇点的Alexander多项式一致，我们可以推出$V$的Poincaré级数的A 'Campo型公式. $C$的Poincaré级数可以看作是$V^{(k)}$，$k\ge 0$级数的极限。

庞加莱丛的稳定性

Stability of the Poincaré bundle

设$C$是复数上亏格为$g\ge2$的非奇异射影曲线，$M_ξ$表示$C$上秩为$n$的稳定丛和行列式为$ξ$的稳定丛的模空间，其中$ξ$是$C$上度为$d$的线丛，且$n$和$d$互质.结果表明，$C\times M_ξ$上的普适束$\cu_ξ$相对于$C\times M_ξ$上的任何极化都是稳定的。进一步证明了包含$\cu_ξ$的$\cu_ξ$的模空间的连通分量与$C$的雅可比矩阵同构。

计算对称半代数集的Euler-Poincaré特征的有效算法

Efficient algorithms for computing the Euler-Poincaré characteristic of symmetric semi-algebraic sets

设$\mathrm{R}$是实封闭的域，$\mathrm{D} \subset \mathrm{R}$是有序域.考虑了$\mathrm{R}^k$的实代数和半代数子集的广义Euler-Poincaré特征的算法问题，这些子集由$\mathrm{D}$中系数的对称多项式定义.我们给出了计算这类集合的广义Euler-Poincaré特征的算法，假设输入多项式的次数由一个常数限制，其复杂性由$\mathrm{D}$中算术运算的次数来衡量，根据$k$和输入多项式的数目是多项式有界的。这是在对比的最佳复杂性的已知算法的相同的问题，在非对称的情况下，这是单指数。后一个问题的单指数复杂性不太可能得到改善，因为来自离散复杂性理论的硬度结果（$\#\mathbf{P}$ -硬度）。

On Centers and Direct Sum Decompositions of Higher Degree Forms

Higher degree forms are homogeneous polynomials of degree $d > 2,$ or equivalently symmetric $d$-linear spaces. This paper is mainly concerned about the algebraic structure of the centers of higher degree forms with applications specifically to direct sum decompositions, namely expressing higher degree forms as sums of forms in disjoint sets of variables. We show that the center algebra of almost every form is the ground field, consequently almost all higher degree forms are absolutely indecomposable. If a higher degree form is decomposable, then we provide simple criteria and algorithms for d…