网格图、圆柱图、环面图与国王图的控制多项式
Domination Polynomials of the Grid, the Cylinder, the Torus, and the King Graph
AI总结：
本研究提出一种计算网格、圆柱、环面及国王图控制多项式的算法，明确其时间与空间复杂度，借此计算大尺寸图的相关参数，估计控制集数的渐近增长率，并扩充整数序列在线百科的序列。
摘要：
我们提出一种算法，用于计算m×n网格图、圆柱图、环面图以及国王图的控制多项式。该算法针对环面图的时间复杂度为O(m²n²λ²ᵐ)，针对其余图的时间复杂度为O(m³n²λᵐ)，其中λ=1+√2；所有图对应的空间复杂度均为O(mnλᵐ)。我们利用该算法计算了尺寸最大为24×24的图的控制多项式，以及更大尺寸图的控制集总数。借此我们给出了控制集数量渐近增长率的精确估计，还扩充了Online Encyclopedia of Integer Sequences（整数序列在线百科）中的若干序列。
英文摘要：
We present an algorithm to compute the domination polynomial of the $m \times n$ grid, cylinder, and torus graphs and the king graph. The time complexity of the algorithm is $O(m^2n^2 λ^{2m})$ for the torus and $O(m^3n^2λ^m)$ for the other graphs, where $λ= 1+\sqrt{2}$. The space complexity is $O(mnλ^m)$ for all of these graphs. We use this algorithm to compute domination polynomials for graphs up to size $24\times 24$ and the total number of dominating sets for even larger graphs. This allows us to give precise estimates of the asymptotic growth rates of the number of dominating sets. We also extend several sequences in the Online Encyclopedia of Integer Sequences.
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