A matrix-algebraic algorithm for the Riemannian logarithm on the Stiefel manifold under the canonical metric
Department of Mathematics and Computer Science, University of Southern Denmark（南丹麦大学数学与计算机科学系）
本文提出一种基于矩阵代数的算法，用于计算Stiefel流形上的Riemann对数，证明其局部收敛性及线性收敛速度，不同于传统优化方法。
2017-03-17 cs.NA math.DG math.NA
Geodesic orbit metrics in a class of homogeneous bundles over real and complex Stiefel manifolds
研究实与复Stiefel流形上一类齐性丛的测地轨道度量，其中紧致经典李群及对角嵌入乘积构成齐性空间，涵盖球面、Stiefel、Grassmann及实旗流形，为半单李群情形的g.o.空间研究作出贡献。
2021-07-11 math.DG
An efficient algorithm for the Riemannian logarithm on the Stiefel manifold for a family of Riemannian metrics
本文推广了Zimmermann的纯矩阵代数方法，为Stiefel流形上的单参数Riemannian度量族提出了backward和forward两种Riemannian对数算法，并证明了其保持局部线性收敛性。
2024-12-27 cs.NA math.DG math.NA
Closed-form geodesics and trust-region method to calculate Riemannian logarithms on Stiefel and its quotient manifolds
本文针对Stiefel流形及其商流形提出闭式测地线公式，并结合信赖域优化平方Frobenius距离来计算黎曼对数映射与测地距离，为无闭式对数映射的流形提供了新计算框架。
2021-03-12 math.AG math.DG math.OC
Geodesic Flows and Neumann Systems on Stiefel Varieties. Geometry and Integrability
我们研究可积测地线流Stiefel品种$V_{n,r}=SO(n)/SO(n-r)$给出的欧几里德，正常（标准），Manakov型，爱因斯坦度量。我们还考虑自然推广的诺依曼系统$V_{n,r}$与上述度量，并证明其可积性在非交换意义上提出兼容的泊松括号$(T^*V_{n,r})/SO(r)$。对后一类系统的各种约化进行了描述，特别是在有向格拉斯曼$G_{n,r}$上和在有杨-米尔斯场或磁场存在的球面$S^{n-1}$上的广义Neumann系统.除了已知的广义Neumann系统的拉克斯对之外，本文还提出了另一种（对偶）拉克斯对，它使人们能够用公式表示与共焦二次曲面相切的系统和公共线性空间的轨迹有关的Chasles定理的推广.此外，还考虑了复Stiefel簇$W_{n,r}=U(n)/U(n-r)$上的广义Neumann系统，二重Neumann系统和耦合Neumann系统的矩阵模拟.
2010-11-08 math-ph math.DG math.MP
The real symplectic Stiefel and Grassmann manifolds: metrics, geodesics and applications
实辛Stiefel流形是固定维数的辛子空间的辛基的流形。它在物理学和工程学中有着广泛的应用。在这项工作中，我们研究这个流形的目标是提供理论和基于矩阵的数值工具，适合基本的数据处理。测地线是数据处理的基础。然而，这些是迄今未知的。追求一个李群的方法，我们关闭这个差距，并获得有效的计算公式的测地线都相对于一个自然的伪黎曼度量和一个新的黎曼度量。此外，我们提供有效的可计算和可逆的撤回。此外，我们引入了实辛格拉斯曼流形，即，辛子空间的流形再次，我们推导出有效的伪黎曼和黎曼测地线和可逆收缩公式。数值实验结果表明，我们认为通过梯度下降的优化流形上，并比较所提出的方法与最先进的状态。特别是，我们对待的“最近的辛矩阵”的问题和问题的最佳数据表示通过低秩辛子空间。后者的任务是与找到一个“适当的辛分解”，这是重要的结构保持模型的哈密顿系统的降阶问题。
2021-08-27 cs.NA math.DG math.NA
The ultimate upper bound on the injectivity radius of the Stiefel manifold
该研究针对Hüper等人2021年提出的含典范、欧几里得度量的黎曼度量族，通过分析Stiefel流形的共轭点与测地环得到单射半径上界，并用数值实验验证该上界等于单射半径的猜想。
2025-01-13 math.DG math.OC
Operator-valued formulas for Riemannian Gradient and Hessian and families of tractable metrics
本文提出一种算子值公式方法，用于计算一类商流形的黎曼梯度与海森矩阵，并将其应用于斯蒂费尔流形、旗流形及固定秩半正定矩阵流形，扩展了流形优化和机器学习中可用的度量族。
2021-06-29 cs.CV cs.LG math.DG
The injectivity radius of the compact Stiefel manifold under the Euclidean metric
本文研究欧几里得度量下紧斯蒂弗尔流形的单射半径，通过证明其测地线为常弗雷内曲率空间曲线，最终确定该流形的单射半径为π。
2024-05-03 cs.NA math.DG math.NA
An new polar factor retraction on the Stiefel manifold with closed-form inverse
SDU Odense（欧登塞南丹麦大学）
提出Stiefel流形上一种新的二阶收缩，具有闭式逆，在欧几里得度量下高效，并通过数值实验验证其在插值和黎曼重心计算中的性能。
2026-07-02 cs.NA math.DG math.NA
Riemannian metric representatives of the Stiefel-Whitney classes
Department of Mathematics, Courant Institute of Mathematical Sciences（纽约大学柯朗数学科学研究所）
本文研究了riemannian度量下stiefel-whitney类的代表形式，通过whitney准则证明了所有stiefel-whitney类的代表，并讨论了hermitian结构下的chern类与stiefel-whitney类的关系。
2025-10-23 math.DG
Riemannian and Sub-Riemannian geodesic flows
本文证明了次黎曼度量的测地流与黎曼扩张的测地流可交换当且仅当扩张度量关于某个联络平行。这有助于我们描述次黎曼度量在全测地黎曼浸没上的测地流。因此，我们可以将次黎曼测地线刻画为黎曼测地线投影的水平提升。
2015-02-20 math.DG
A polar-factor retraction on the symplectic Stiefel manifold with closed-form inverse
University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文提出一种辛斯蒂夫流形上的新重参数化方法，具有闭式反演特性，通过数值实验比较其性能，填补了该流形上已有闭式反演重参数化方法的空白。
2026-05-07 cs.NA math-ph math.DG
Shortest and Straightest Geodesics in Sub-Riemannian Geometry
黎曼测地线有许多等价的定义。它们自然地推广到次黎曼流形，但变得不等价。综述了次黎曼流形测地线的不同定义及其相互关系。我们回顾三个变分定义的测地线（局部）最短的曲线（欧拉-拉格朗日，庞蒂亚金和汉密尔顿）和三个定义的测地线作为直曲线（达朗贝尔，列维-奇维塔-Schouten和Cartan-Tanaka），用于非完整力学，并讨论它们之间的相互关系。考虑了黎曼流形上与主丛相联系的一类大的次黎曼流形，其最短测地线与最直测地线重合。利用旗流形的几何性质，我们刻画了一类紧致齐次次黎曼流形（包括接触次黎曼流形和对称次黎曼流形），其中最直测地线与最短测地线重合.在这些情况下，测地线的构造简化为描述黎曼齐次流形的黎曼测地线或李群上的左不变度量。
2020-03-26 math.DG
Locally extremal geodesic loops on Riemannian manifold
本文证明了黎曼流形中任何局部极值非自共轭测地线环路都是闭测地线。因此，任何完备的不可收缩的黎曼流形，如果其内射半径沿发散序列发散，且没有与其自身共轭的点，则具有极小化的闭测地线。
2017-09-22 math.DG
On geodesic equivalence of Riemannian metrics and sub-Riemannian metrics on distributions of corank 1
本文主要研究一般corank 1分布上的黎曼度量和次黎曼度量的（局部）测地线等价问题。利用庞特里亚金最大值原理，统一处理了黎曼和次黎曼情形，得到了（次）黎曼度量测地线等价的代数必要条件.这样，我们首先得到了经典的Levi-Civita定理的一个新的初等证明，该定理是关于在所谓的正则（稳定）点w.r.t.的邻域内所有黎曼测地等价度量的分类.这些指标。其次，我们证明了接触分布上的次黎曼度量是测地线等价的当且仅当它们是常比例的。然后，我们描述所有测地线等价的亚黎曼度量的准接触分布。最后，我们对曲面上所有测地等价的黎曼度量对进行了分类，这些度量对在孤立点上成比例。这是最简单的情况，列维-奇维塔定理没有涵盖。
2004-06-07 math.DG
Riemannian geodesics of semi Riemannian warped metrics
设$(M_1,g_1)$和$(M_2,g_2)$是两个$C^\infty$ -可微连通的完备黎曼流形，$k:M_1\to\mathbb R$是一个$C^\infty$ -可微函数，对任意的$x\in M_1$和$g:=g_1-kg_2$都有$0<k_0<k(x)\leq K_0$，$g:=g_1-kg_2$是乘积流形$M:=M_1\times M_2$上的半黎曼度量.我们关联到$g$一个合适的家庭的黎曼度量$G_r+g_2$，与$r>-K_0^{-1}$，$M$上，我们呼吁黎曼测地线$g$的测地线$g$是测地线的前一个家庭的度量，通过适当的reparametrization。在这些测地线的性质，我们引用：对于任何$z_0=(x_0,y_0)\in M$和任何$y_1\in M_2$存在一个子集$A$的$M_1$，使所有的测地线$g$加入$z_0$与一个点$(x_1,y_1)$，与$x_1\in A$，是黎曼。$g$的黎曼测地线决定了$M$上测地线联络的一个“部分”性质。最后，我们确定了两个新的类半黎曼度量（其中之一包括一些FLRM度量），测地线连接的$g$的黎曼测地线。
2013-01-22 math.DG
Sub-Riemannian and almost-Riemannian geodesics on SO(3) and $S^2$
本文研究SO（3）上左不变次黎曼度量和$S^2$上几乎黎曼度量的测地线。这些结构相互连接，并且可以使用关于其中一个的信息来获得关于另一个的结果。给出SO（3）上次黎曼测地线的一个显式参数化，并利用它得到$S^2$上准黎曼测地线的一个参数化.我们利用指数映射的对称性得到了一些必要的最优性条件。我们给出了这两种情况下截时的一些上界，并描述了SO（3）上的周期测地线。
2014-09-04 math.DG
Legendre singularities of sub-Riemannian geodesics
设$M$是一个具有黎曼度量的曲面，$UM$是$M$上的单位切丛，其正则接触子黎曼结构是$UM$上的$D$.本文给出了$(UM, D)$的次黎曼测地线在$UM$ ~ $M$的Legendre纤维化下奇点的完全局部分类。对于从$UM$到$M$上的黎曼测地线空间的另一个勒让德纤维化，也对次黎曼测地线的勒让德奇点进行了完全分类.勒让德奇点的对偶性与单摆运动有关。
2022-12-15 math.DG
Spectral flow and iteration of closed semi-Riemannian geodesics
我们引入的概念，沿着周期性的半黎曼测地线的谱流，作为一个合适的替代的莫尔斯指数在黎曼的情况下。我们研究了谱流沿闭测地线的迭代增长，确定了其渐近行为。
2007-11-06 math.DG
Pseudo-Riemannian Submanifolds with 3-Planar Geodesics
本文研究了具有3-平面测地法截面的伪黎曼子流形，考虑了伪黎曼子流形上的W-曲线（螺旋线）。最后给出了伪黎曼子流形上的法截面是W-曲线的必要条件和充分条件。
2015-04-16 math.DG
Totally geodesic submanifolds in the tangent bundle of a Riemannian 2-manifold
给出了常曲率黎曼2-流形的切丛中全测地子流形的一个完整刻画，并在一般情况下给出了一类新的圆柱型全测地子流形。
2005-03-24 math.DG
Classification of Pseudo-Riemannian submersions with totally geodesic fibres from pseudo-hyperbolic spaces
本文对从实伪双曲空间到伪黎曼流形上的具有连通全测地纤维的伪黎曼浸入进行了分类。同时，我们还得到了从（仿）复伪双曲空间到伪黎曼流形上的具有（仿）复连通全测地纤维的伪黎曼浸入的分类.
2013-09-06 math.DG
Geodesic orbit Riemannian spaces with two isotropy summands. I
本文主要研究黎曼空间的测地线轨道，它可以用测地线是一个单参数等距群的轨道这一性质来刻画。主要结果是在各向同性表示下对具有两个不可约子模的紧致单连通测地轨道黎曼空间$G/H$进行了分类。
2017-04-06 math.DG
Geodesic Orbit Riemannian Structures on $\mathbf{R}^n$
测地线轨道流形是一个完备的黎曼流形，它的测地线都是单参数等距群的轨道。我们给出了与$\mathbf{R}^n$同构的测地轨道流形的几何和代数刻画。在此过程中，我们建立了更一般的测地轨道流形的各种结构性质。
2018-09-26 math.DG
On the structure of geodesic orbit Riemannian spaces
本文主要研究黎曼空间的测地线轨道，它可以用测地线是一个单参数等距群的轨道这一性质来刻画。特别地，我们讨论了一些重要的全测地子流形，它们继承了测地轨道的性质。对于给定的测地轨道黎曼空间，本文描述了等距群的李代数的零根和根的结构。在最后一部分，我们讨论了一些新的工具来研究测地轨道黎曼空间，涉及到紧李群表示与非平凡主各向同性代数。我们还讨论了一些新的例子测地轨道黎曼空间，新的方法来获得这样的例子，和一些未解决的问题。
2017-02-21 math.DG
A Riemannian plane with only two injective Geodesics
我们提出了一个例子，一个完整的黎曼平面，正好有两个内射测地线-重新参数化。这个例子是作为一个具有收缩端的旋转曲面的扰动而出现的。最后一节专门讨论开放问题。
2022-08-17 math.DG
Pseudo-Riemannian geodesic foliations by circles
研究了在什么样的假设下，由$S^1$作用生成的可定向的伪黎曼测地线叶理。我们构造的例子表明，相反的黎曼的情况下，它并不总是正确的。然而，我们证明了这样的作用总是存在时，叶理不包含lightlike叶，即伪黎曼Wadsley定理。作为应用，我们证明了所有类空/类时测地线都是闭的Lorentzian曲面都被$S^1\times \R$覆盖.由此可见，每个洛伦兹曲面都包含一条非闭测地线。
2012-03-24 math.DG
Sub-Riemannian Geometry and Geodesics in Banach Manifolds
本文定义并研究了巴拿赫流形上的次黎曼结构。我们得到的Chow-Rashevski定理的精确能控性的扩展，并给出的条件存在的Hamilton测测地流，尽管缺乏庞特里亚金最大值原理在无限维设置。
2016-01-05 math.DG
Some properties of geodesic $(α,E)$-preinvex functions on a Riemannian manifold
本文引入了\textit{geodesic $(α,E)$-invex set}的概念，并利用这一概念在黎曼流形上发展了\textit{geodesic $(α,E)$-preinvex functions}和\textit{geodesic $(α,E)$-invex functions}的概念。在此基础上，利用上述函数推导出了若干性质和结果。最后给出了一个例子来说明测地$(α,E)$ -不变凸集的定义.我们还建立了完备黎曼流形中测地$(α,E)$ -预不变凸函数与测地$(α,E)$ -不变凸函数之间的一个重要关系。
2019-08-02 math.DG
Weak geodesics on prox-regular subsets of Riemannian manifolds
本文给出了黎曼流形的弱正则子集上的弱测地线的定义。然后，在得到投影映射的一个合适的Lipschitz常数后，我们刻画了一个近正则集上的弱测地线，并指定端点作为能量泛函的粘性临界点.
2022-05-18 math.DG
On the Existence of a Codimension 1 Completely Integrable Totally Geodesic Distribution on a Pseudo-Riemannian Heisenberg Group
本文证明了具有左不变伪黎曼度量的海森堡群存在余维为1的完全可积全测地分布。这与T. Hangan
2010-02-28 math.DG
Totally geodesic submanifolds in Riemannian symmetric spaces
本文的第一部分总结了黎曼对称空间中全测地子流形的重要构造和分类结果。在第二部分中，我给出了秩为2的黎曼对称空间中全测地子流形的分类结果。
2008-10-24 math.DG
Full description of totally geodesic unit vector fields on 2-dimensional Riemannian manifolds
给出了黎曼2-流形上局部全测地单位向量场的完整几何描述，将其看作流形在Sasaki度量下到其单位切丛中的局部嵌入.
2005-03-24 math.DG
On the approximation of the Riemannian barycenter
本文提出一种基于黎曼距离函数上下逼近的黎曼重心计算方法，并在Stiefel流形上通过实验与黎曼最速下降法和提升映射逼近法进行比较。
2025-07-04 math.DG
Minimal geodesics on GL(n) for left-invariant, right-O(n)-invariant Riemannian metrics
对于左不变且右不变的黎曼度量，我们给出了一般线性群GL（n）上测地线距离的一个简单的计算方法.基于变分法和经典分析，利用简单的方法，得到了测地线的参数化和长度极小测地线的整体存在性。对某些特殊情况下的测地距离进行了讨论，并指出了它在非线性弹性理论中的应用。
2016-02-17 math.DG
Geodesics and shortest arcs of special sub-Riemannian metric on the Lie group $SL(2)$
作者发现了李群$SL(2)$上的左不变子黎曼矩阵的测地线、最短弧、割轨迹和共轭集，$SL(2)$相对于李群$SO(2)\subset SL(2)$是右不变的（换句话说，对于弱对称空间$(SL(2)\times SO(2))/SO(2)$上的不变子黎曼度量）。
2015-07-26 math.DG
Existence of curves with constant geodesic curvature in a Riemannian 2-sphere
证明了在任意黎曼2-球面上，对几乎所有给定曲率，均存在常测地曲率的浸入闭曲线。为了实现这一点，我们开发了一个加权长度泛函的最小-最大方案。
2021-06-23 math.DG
Geodesic Convexity Types in Riemannian Manifolds
通常的集合凸性概念，在经典的欧几里德上下文中是有效的，在更一般的黎曼设置中变形为几种不同的凸性类型。通过反向研究这一现象，我们刻画了完备流形，其中某些凸性类型被假定为先验重合。
2016-11-26 math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the 3-D sphere
单位球面$\mathbb S^3$可以用酉群SU（2）来标识。在这种标识下，单位球面可以被认为是一个非交换的李群。相应的李代数的向量场的对易关系定义了一个2步亚黎曼流形。利用Hamilton形式并求解相应的哈密顿系统，研究了次黎曼流形上的次黎曼测地线。
2008-06-03 math.DG
Geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds preserve the class of differentiability
本文证明了（伪）黎曼流形的测地映射保持可微类\hbox{$(C^r, r\geq1)$}。另外，如果Einstein空间$V_n$允许一个非平凡的测地线映射到一个\hbox{(pseudo-)}黎曼流形$\bar V_n\in C^1$上，那么$\bar V_n$是Einstein空间。如果四维非常曲率Einstein空间在（伪）黎曼流形$\bar V_4\in C^1$上全局存在测地线映射，则该映射是仿射的;如果数量曲率不为零，则该映射是位似的，即$\bar g={\rm const}\cdot g$ .
2013-06-28 math.DG
Submersions and curves of constant geodesic curvature
考虑黎曼淹没，我们找到了次黎曼正规测地线投影到第一测地曲率不变或第二测地曲率不变且为零的曲线的充要条件.我们描述了次黎曼度量的一个典型扩张，并研究了所得到的黎曼流形的几何性质。这项工作包含几个例子说明的结果。
2017-07-17 math.DG
Branching of regular abnormal geodesics in sub-Riemannian manifolds of rank two
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques Louis-Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国研究与数字发展署，雅克-路易· Lions 实验室）
该研究针对二阶次黎曼流形，探究正则异常测地线的分支问题，给出两类新现象的实例，丰富了次黎曼几何中测地线分支的相关研究。
2026-08-03 math.DG
Stochastic perturbation of geodesics on the manifold of Riemannian metrics
本文通过扩散过程研究黎曼度量流形上的随机扰动，推导出由 $L^2$ 随机动能泛函诱导的拉格朗日量演化方程。
2025-07-22 math.DG
On the Structure of Sub-Riemannian Geodesic Orbit Manifolds
Liaoning Normal University（辽宁师范大学）；Ningbo University（宁波大学）；Southeast University（东南大学）；Shandong University of Science and Technology（山东科技大学）
该研究探讨齐次次黎曼流形的结构，证明其满足Goh条件且无严格异常长度极小化器，并分类了特定紧致连通单连通次黎曼测地线轨道流形，推广了相关黎曼分类成果。
2026-10-09 math.DG
Counting closed geodesics on Riemannian manifolds
固定光滑闭流形$M$。令$R_M$表示所有对$(g,L)$的空间，使得$g$是$M$上的$C^3$黎曼度量，并且实数$L$不是任何闭$g$ -测地线的长度。构造了一个局部常数测地线计数函数$π_M:R_M\rightarrow Z$。为此，定义了闭$g$ -测地线空间的紧开子集的权，并研究了任意黎曼度量$g$的紧开子集的权.
2020-12-06 math.DG
On PSL(2,C) and on the space of geodesics of H^3 as Riemannian holomorphic manifolds
我们讨论了PSL（2，C）、SL（2，C）和H^3的测地线空间G的一些几何方面，该空间G具有一些适当的常截面曲率黎曼全纯流形的结构。我们还观察到G是群PSL（2，C）的对称空间，并利用它推导出它们的全纯黎曼度量之间的一些相关性。
2020-03-04 math.DG
Singularities of the geodesic flow on surfaces with pseudo-Riemannian metrics
我们考虑一个伪黎曼度量，改变签名沿表面上的平滑曲线，称为判别曲线。判别曲线将表面局部地分成黎曼域和洛伦兹域。我们研究的地方行为和性质的测地线在一个点上的判别式的各向同性方向是切线的判别曲线。
2015-05-25 math.DG
On the local and global properties of geodesics in pseudo-Riemannian metrics
本文研究二维伪黎曼度量中的测地线。首先，研究了一般抛物点邻域中测地线的局部性质。测地流的方程在这样的点上有奇点，这导致了一个奇怪的现象：测地线不能在任意切向上通过这样的点，而只能在某些被称为容许的方向上通过（容许方向的数目一般是1或3）。其次，我们研究了具有可微对称群的伪黎曼度量中测地线的整体性质。在文章的最后，考虑了两种特殊类型的不连续度量。
2014-06-19 math.DG
Sub-Riemannian Geodesics on $SL(2, \mathbb{R})$
我们明确地描述了长度最小化测地线的子黎曼结构的椭圆型定义在$SL(2, \mathbb{R})$。我们的方法使用了一个对称性约简，将问题转化为一个二维商空间上的黎曼问题，测地线的投影可以很容易地可视化。作为一个副产品，我们获得了一个替代的推导的特点，在\cite{BoscaRossi}中获得的切割轨迹。我们利用李群\cite{AGBD}，\cite{Biggs}，\cite{HB2}上三维右不变亚黎曼结构的分类结果来精确地识别我们的结果所适用的自守结构.
2022-03-09 math.DG
Invariants of Third Type Almost Geodesic Mappings of Generalized Riemannian Space
本文研究了第三类几乎测地线映射下Christoffel符号的变换规则。通过研究，我们得到了这类映射的一些新的不变量。这些不变量是Thomas投影参数和Weyl投影张量的类比。
2017-10-14 math.DG
Homogeneous spaces with geodesic orbit Riemannian metrics and with integrable invariant distributions
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）；Southern Mathematical Institute of VSC RAS（北高加索联邦共和国科学院南方数学研究所）
本文研究了具有可积不变分布和测地轨道度量的齐性空间，发现部分空间属于前者但不属于后者，并指出其中存在允许不变爱因斯坦度量的案例。
2026-10-14 math.DG
Bounded distance geodesic foliations in Riemannian planes
Burns和Schneeper的一个猜想是问一个2-平面，它的度量没有共轭点，而测地线的叶理的直线在有界的Hausdorff距离上，是否一定是平坦的。我们在两种情况下证明了这个猜想：假设平面允许全曲率，并在某点的能见度的假设。在此过程中，我们证明了黎曼2-平面上的所有测地线叶理必须同胚于标准的。
2020-12-17 math.DG
Geodesics on Riemannian stacks
最近引入了可微李群胚和可微堆叠，将流形和轨道折叠的黎曼几何扩展到更一般的奇异空间。在这里，我们继续这一理论，研究堆叠曲线的黎曼堆栈，测量其长度使用堆叠度量，并介绍堆叠测地线。我们的主要结果表明，Stacky曲线的长度度量轨道空间上的距离，将Stacky测地线刻画为局部极小曲线，并建立了Stacky形式的Hopf-Rinow定理.我们包括一个简洁的概述，绕过不必要的技术性，我们把重点放在轨道空间的等距行动和叶空间的黎曼叶的例子。
2019-10-23 math.DG
