Monochromatic 4-term arithmetic progressions in 2-colorings of $\mathbb Z_n$
本文的动机是Wolf \cite{wolf}关于$\Z_p$中单色4项等差数列（简称4-AP）的最小个数的一个结果，其中$p$是素数. Wolf证明了$\Z_p$存在一个2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少0.000386%;证明是概率性的和非构造性的。在本文中，我们提出了一个明确的和简单的2-着色的单色4-AP比随机2-着色少9.3%的建设。这个问题使我们考虑在一般$n$的$\Z_n$中单色4-AP的最小数目。我们得到了$\Z_n$的所有2-着色中单色4-AP的最小数目的上界和下界。Wolf证明了$\Z_p$的任意2-着色至少有$(1/16+o(1))p^2$单色4-AP。我们将这个下界改进为$(7/96+o(1))p^2$。我们关于$\Z_n$的结果自然适用于$[n]$上的类似问题（即，$\{1,2,..., n\}$）。在2008年，Parillo、Robertson和Saracino \cite{prs}构造了$[n]$的2-着色，单色3-AP比随机2-着色少14.6%。2010年，Butler、Costello和Graham \cite{BCG}扩展了他们的方法，并使用广泛的计算机搜索来构建$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少17.35%（单色5-AP少26.8%）。我们的构造给出了$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少33.33%…
2011-07-14 math.CO math.NT
Counting List Colorings of Unlabeled Graphs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究无标号图的列表着色计数问题，定义了无标号列表着色函数，并证明在k足够大时，该函数与经典色多项式相等。
2026-09-18 math.CO
Coloring connections with counting mountain-valley assignments
我们调查了最近的尝试，列举了一些山谷的任务，让一个给定的折痕模式，以当地折叠单位。特别是，我们解决了这个问题的平方扭曲镶嵌和推广的方法用于更广泛的家庭的折痕图案。我们还描述了更困难的情况下，三浦ori和最近发现的双射与3顶点着色的网格图。
2016-01-12 cs.CG math.CO
Counting subgraphs of coloring graphs
本文将色多项式推广为计数着色图中任意导出子图的$π_G^{(H)}(k)$，证明其关于颜色数$k$为多项式，研究了色对多项式并揭示了其与树度序列的等价关系，同时生成了新的图不变量。
2025-05-05 math.CO
Counting locally flat-foldable origami configurations via 3-coloring graphs
折纸，其中二维纸张折叠成复结构，被证明是丰富的组合和几何结构，其中大部分仍然是完全理解。在本文中，我们考虑\emph{flat origami}，其中材料片折叠成二维物体，并考虑由这种折叠形成的山（凸）和谷（凹）折痕，称为折痕图案的\emph{MV assignment}。我们建立了一个方法，给定一个平可折叠的折痕模式$C$在一定的条件下，创建一个可平面图$C^*$，其3-着色是在一对一的对应与局部有效的MV分配$C$。这减少了一般的，未解决的问题，枚举本地有效的MV分配的枚举3-着色的图。
2019-10-03 math.CO
Counting unlabeled k-trees
我们计数未标记的k-树，通过适当地将它们着色为k+1种颜色，然后在颜色上的对称群的作用下计数这些着色的轨道。
2014-05-11 math.CO
Counting colorings of a regular graph
一个正则图最多允许多少个（真）q-染色？Galvin和Tetali证明了在所有的n-顶点图中，d-正则图具有2d| n，没有一个图比完全二部图K_{d,d}的n/2d个副本的不交并允许更多的q-染色.本文给出了这一猜想的渐近证据，给出了一个n-顶点d-正则图允许的q-染色数的上界，该上界为a^n b^{n（1+o（1））/d}（其中a和b依赖于q，当d趋于无穷大时o（1）趋于0），它与K_{d,d}的n/2d个拷贝的q-染色数在o（1）项上一致.一个辅助结果是正则图的着色数的一个上界。例如，我们证明了对所有偶数q和固定ε> 0，存在δ=δ（ε，q）使得一个没有大小为n（1-ε）/2的独立集的n-顶点d-正则图允许的真q-染色数至多为（a-δ）^n.
2012-05-11 math.CO
A Polynomial Method for Counting Colorings of Sparse Graphs
本文提出一种统一的多项式方法，为满足稀疏性条件的图的$S$-标号着色数给出指数下界，并利用$S$的结构改进下界适用性，从而改进了DP-着色、平面图色多项式、列表着色及符号图着色等各类着色数的枚举下界。
2024-10-19 math.CO
Coloring t-perfect graphs with fewer colors
研究t-完美图色数，通过改进证明，利用线性界保证r-算术绳存在及稍弱算术绳概念，将t-完美图色数界从199053提高到186。
2026-10-30 cs.DM math.CO
Distributed coloring in sparse graphs with fewer colors
本文研究了分布环境下稀疏图的有效着色问题，并给出了一个尽可能少的着色数。根据著名的四色定理，可平面图最多可以用4种颜色着色，并给出了求这类图着色的（序贯）二次算法。一个自然的问题是在分布式环境中提高这种复杂性。Goldberg，Plotkin和Shannon利用可平面图线性地包含许多度至多为6的顶点这一事实，得到了一个在$O(\log n)$轮中用7种颜色着色$n$ -顶点可平面图的确定性分布式算法。在这里，我们展示了如何在$\mbox{polylog}(n)$轮中使用6种颜色对可平面图进行着色。我们的算法确实更一般地工作在列表着色设置和稀疏图（对于这样的图，我们提高了至少一个颜色的数量，从一个有效的算法Barenboim和埃尔金，在一个稍微最坏的复杂性为代价）。我们对颜色数量的界限一般来说是相当清晰的。在其他的结果中，我们证明了没有分布式算法可以在$o(n)$轮中用4种颜色对每个$n$ -顶点可平面图进行着色。
2018-12-19 cs.DC cs.DS math.CO
On the Chromatic Polynomial and Counting DP-Colorings
图$G$的色多项式，记为$P(G,m)$，等于$G$的真$m$ -染色的个数.图$G$的列表色函数，记作$P_{\ell}(G,m)$，是自1992年以来一直在研究的色多项式的列表模拟，主要是通过与相应的色多项式的比较。DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。在本文中，我们介绍了一个DP-着色模拟的色多项式称为DP色函数，表示$P_{DP}(G,m)$，并提出了几个基本的开放问题，其中一些进展。出于已知的结果与列表颜色函数，我们表明，虽然DP颜色函数的行为类似于列表颜色函数的一些图，也有一些令人惊讶的差异。例如，Wang，Qian和Yan最近证明了，如果$G$是一个有$l$边的连通图，则$P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$无论何时都是$m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明，对于任何$g \geq 3$，都存在一个图$G$，其围长$g$使得当$m$足够大时$P_{DP}(G,m) < P(G,m)$。我们还研究了固定图$G$的$P(G,m) - P_{DP}(G,m)$的渐近性。我们开发的技术来计算$P_{DP}(G,m)$准确，并将其应用到某些类的图，如弦图，单圈图，和周期的和弦。最后，我们取得了进展，表明任何图$G$，有一个$p$，使$P_{DP}(G \vee K_p, m) =…
2020-07-10 cs.DM math.CO
Counting Colored Trees
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Canisius University（卡尼西乌斯大学）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；North Carolina School of Science and Mathematics（北卡罗来纳州科学与数学学校）；Institute of Discrete Mathematics, TU Graz（格拉茨工业大学离散数学研究所）；Department of Mathematics, Uppsala University（乌普萨拉大学数学系）
本文研究了根据特定着色规则计数平面树的问题，揭示了不同规则导致相同计数序列的条件，并给出了多种颜色下的计数序列及公式。
2026-07-22 math.CO
Randomly coloring planar graphs with fewer colors than the maximum degree
研究了具有最大度$Δ$的图的随机抽样$k$ -着色的马尔可夫链.我们的主要结果是一个多项式上界的混合时间的单站点更新链称为Glauber动态的可平面图时，$k=Ω(Δ/\logΔ)$。我们的结果可以部分地推广到更一般的情况，即对于固定的$\eps > 0$，图的邻接矩阵的最大特征值至多为$Δ^{1-\eps}$。$k \le Δ+ 1$的主要挑战是“冻结”顶点的可能性，也就是说，顶点只有一种颜色是可能的，条件是它的邻居的颜色。事实上，当使用$Δ= O(1)$时，即使是典型的着色也会有恒定比例的顶点被冻结。我们的证明依赖于最近的进展，边界混合时间使用“局部均匀性”的性质的技术。
2011-08-31 math.CO math.PR
Counting Group Valued Graph Colorings
图的同态或着色的分拆函数有许多变体。这里考虑的情况是一个计数或硬约束问题，其中的范围或颜色图进行自由和顶点传递的阿贝尔群行动，使颜色与该组的元素。利用傅里叶变换得到了以无峡子图为索引项的着色数的展开式。这些项是颜色图的边密度a中的多项式与域的索引子图到互补颜色图中的着色的数量的乘积。a中的多项式与颜色组无关，并且该项具有到r的阶数（1-a），其中r是顶点数减去索引子图中的分量数。因此，如果（1-a）是小的，则存在由空子图索引的主项，该空子图是a中的多项式，并且对着色群的第一依赖性发生在最低阶校正中，该最低阶校正由图中的最短圈索引，并且是（1-a）到g-1的阶，其中g是这些最短圈的长度。主要定理被表述为互反定律。例子中，着色组是长周期和产品的短周期和邻顶点相邻的需要有遥远的，而不是不同的颜色。图的色多项式对应于使用任何群并取允许集作为单位元的补。
2012-04-05 math.CO
Counting colorings of triangle-free graphs
根据Johansson的一个定理，对于某个泛常数$C > 0$，每个最大度为$Δ$的无三角形图$G$的色数至多为$(C+o(1))Δ/\log Δ$.使用熵压缩方法，Molloy证明了人们实际上可以使用$C = 1$。这里我们证明了对于每个$q \geq (1 + o(1))Δ/\log Δ$，$G$的真$q$ -着色的个数$c(G,q)$满足$c(G, q) \,\geq\, \left(1 - \frac{1}{q}\right)^m ((1-o(1))q)^n$，其中$n = |V(G)|$和$m = |E(G)|$ .除了$o(1)$项，这个下限是最好的可能性，如随机$Δ$ -正则图所证明的。当$q = (1 + o(1)) Δ/\log Δ$，我们的结果产生的不等式$c(G,q) \,\geq\, \exp\left((1 - o(1)) \frac{\log Δ}{2} n\right)$，这改善了早期的界的Iliopoulos和产生的指数常数因子的最佳值。此外，这个结果意味着$G$中独立集的数量的最佳下界，这是由于Davies，Jenssen，Perkins和Roberts。在我们的证明中，一个重要的组成部分是Rosenfeld最近开发的计数方法。作为一个副产品，我们得到了另一种证明莫洛伊的界限$χ(G) \leq (1 + o(1))Δ/\log Δ$使用罗森菲尔德…
2023-01-20 cs.DM math.CO
Counting Strict Gridlock on Graphs
本文研究图上分布式着色问题，提出一种新的着色框架，用于分析网络上达成共识的障碍。通过定义一种特定的着色方式，探讨了在有限信息下群体无法达成统一着色的数学度量。
2026-03-18 math.CO physics.soc-ph
Counting equitable $k$-colorings in graphs of bounded clique-width
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究有界团宽图中公平 $k$ 着色的计数问题，给出多项式时间算法并证明团宽依赖最优，同时改进线性团宽算法，并证明 $P_t$-free 图中公平列表 $3$ 着色可次指数时间计数。
2026-06-26 cs.DM math.CO
Correlation decay and deterministic FPTAS for counting list-colorings of a graph
我们提出了一个确定性的算法，近似计数的数量列表着色的图。在图是无三角形的，每个列表的大小至少为$αΔ$的条件下，得到了如下结果，其中$α$是大于$α^{**}=2.8432...$的任意常数，$Δ$是图的最大度.对于每个列表的大小是一个大常数的情况下，我们显示了存在一个\emph{deterministic} FPTAS计算列表着色的总数。相同的确定性算法具有复杂性$2^{O(\log^2 n)}$，没有对列表大小的任何假设，其中$n$是实例大小。我们进一步扩展我们的方法，离散马尔可夫随机场（MRF）模型。在一定的假设下，有关的字母表的大小，度的图形和相互作用的潜力，我们再次构建一个确定性的FPTAS计算的MRF的分区函数。我们的结果不是基于现有的最强大的计数技术-快速混合马尔可夫链方法。相反，我们建立在统计物理学的概念，特别是相关现象的衰减及其对无限图中吉布斯测度唯一性的影响。这种方法在最近的两篇论文\cite{BandyopadhyayGamarnikCounting}和\cite{weitzCounting}中提出。这种方法的原理是，相关性衰减特性可以相对于某些\emph{computation tree}来建立，这与相对于给定节点的图论邻域的传统相关性衰减特性相反。这允许在对数深度处截断计算，以便在多项式时间内获得多项式精度。
2007-02-25 math.CO math.PR
A verified implementation of the Misra and Gries edge coloring algorithm
本文使用Lean定理证明器对Misra和Gries边着色算法进行验证实现，确保算法正确性并维护数学不变量。
2025-12-16 cs.DM math.CO
An Algebraic Approach for Counting DP-3-colorings of Sparse Graphs
DP-着色（或对应着色）是列表着色的一种推广，自2015年由Dvoprák和Postle引入以来一直被广泛研究。作为图$G$的色多项式$P(G,m)$和列表色函数$P_{\ell}(G,m)$的类似物，$G$的DP色函数，用$P_{DP}(G,m)$表示，计算所有可能的$m$ -折叠覆盖上的DP-着色的最小数目。因此，$P_{DP}(G,m) \le P_{\ell}(G,m) \le P(G,m)$。一个函数$f$是色附着的，如果对于每个图$G$，对于某些$a \geq χ(G)$的$f(G,a) = P(G,a)$意味着对于所有$m \geq a$的$f(G,m) = P(G,m)$。已知DP颜色函数不是色度粘附的，但是只有两个已知的图证明了这一点。设$G$是一个$n$ -顶点图，$\mathcal{H}$是$G$的一个3重覆盖，本文将$\mathcal{H}$与一个多项式$f_{G, \mathcal{H}} \in \mathbb{F}_3[x_1, \ldots, x_n]$相关联，使得$f_{G, \mathcal{H}}$的非零个数等于$G$的$\mathcal{H}$ -染色个数.然后，我们使用一个著名的结果阿隆和Füredi的非零的多项式的数量，建立一个非平凡的下界$P_{DP}(G,3)$时$2n > |E(G)|$。一个简单的结果是，$P_{DP}(G, 3)…
2023-03-17 math.CO
Arithmetic of marked order polytopes, monotone triangle reciprocity, and partial colorings
对于偏序集P，子偏序集A，和一个从A到实数的保序映射F，标记的顺序多面体参数化F到P的保序扩张。我们证明了函数计数整值扩张是F中的分段多项式，我们证明了一个倒序映射的互易性声明。我们应用我们的结果给出了由于Fischer和Riegler（2011）的单调三角形的组合互易性的几何证明，并且我们考虑了Herzberg和Murty（2007）的部分图着色的计数扩展的计数问题。
2014-07-18 math.CO math.MG
Counting edge-colorings of a complete graph avoiding a rainbow $K_4$
Universidade Federal do Ceará (UFC)（塞阿拉联邦大学）
本文研究避免彩虹 $K_4$ 的完全图边着色计数，证明对 $r\ge25$ 大多数着色使用超过五种颜色，并给出指数增长率，结合容器法与图移除引理。
2026-09-22 math.CO
Counting subgraphs of coloring graphs using shadow graphs
本文提出利用影子图色多项式显式构造着色图中诱导子图计数多项式的方法，给出超立方体情形公式，并以同色对多项式、不同色多项式的图对反驳相关猜想。
2025-10-04 math.CO
Acyclic Edge Coloring through the Lovász Local Lemma
我们对Lovász局部引理（LLL）的Moser型算法进行了概率分析，该算法经过调整以搜索图的非循环边着色。因此，我们提高了最好的已知的上界非循环色指数，也通过分析一个类似的算法，但通过熵的方法（基本上计数参数）。具体地说，我们证明了一个图的最大程度$Δ$有一个非循环的正确的边染色，最多$\lceil 3.74(Δ-1)\rceil+1 $颜色，而以前，最好的界限是$4(Δ-1)$。这项工作的主要贡献是，它包括一个概率分析的Moser型算法适用于事件有关的因变量。
2018-01-07 cs.DM cs.DS math.CO
Number of Distinguishing Colorings and Partitions
如果图$G$的非单位自同构不保留它，则图$G$的顶点着色称为可区分的（或对称性破缺），并且由$D(G)$表示的可区分数是这种着色所需的最小颜色数。本文研究了具有$k$颜色的图的非等价可区别染色的计数问题。本文给出了一个参数$Φ_k (G)$，它是图$G$的最多含有$k$颜色的非等价可区别染色的个数，它在计算字典积和图的$X$ -联的可区别数中的应用.我们研究这个指数（和其他一些类似的指数），这是一般难以计算。然后，我们证明了，如果一个图$G$，这是最小的颜色数$θ(G)$的区别阈值，使$k\geq θ(G)$，每个$k$ -染色的$G$是可区别的，然后，在某些特殊情况下，计数的数量可区别的颜色与$k$是非常容易的。我们计算$θ(G)$的一些类的图，包括Kneser图$K(n,2)$。然后，我们转向顶点划分，通过研究图$G$的区别染色分区;一个分区的顶点$G$诱导区别染色$G$。在这里，我们引入了$Ψ_k (G)$作为最多有$k$细胞的非等价可区别染色划分的数量，这是其可区别染色对应物的推广。
2020-05-08 math.CO
Counting patterns in colored orthogonal arrays
设$S$是一个正交数组$OA(d,k)$，$c$是它的基集$X$的$r$ -染色.我们给出了一个组合恒等式，它将$S$中的向量数与$c$下给定的颜色模式与颜色类的基数联系起来。几个应用程序的身份被认为是。其中，我们证明了整数区间$[1,n]$的每一个均匀$r$ --染色至少有$1/2(n/r)^2+O(n)$单色Schur三元组。我们还表明，在一个正交表$OA(d,d-1)$，单色矢量的每种颜色的数量只取决于错过该颜色的矢量的数量和颜色类的基数。
2011-04-01 math.CO
Polynomials Counting Group Colorings in Graphs
Guangzhou University（广州大学）
本文定义了α-兼容图和循环分配多项式，用于计数图中的(A,f)-着色，并展示了多项式系数与可接受分配的关系。
2026-01-22 math.CO
Counting Packings of List-colorings of Graphs
本文研究图的列表着色装填计数，定义装填枚举函数，证明大色数下表色与列表情形相等，并将稀疏图装填数界推广为指数下界。
2025-03-17 math.CO
Sampling List Packings
研究图的列表打包计数问题，在最大度 $\Delta$ 且颜色数至少 $\Omega(\Delta^2)$ 时，基于 Glauber 动力学的快速混合给出 FPRAS，并分析非典型自旋系统。
2024-02-05 cs.DS math.CO
Pointed Quandle Coloring Quivers of Linkoids
本文通过引入箭图增强了链状图的指向性拟计数不变量，将链结的入度多项式不变量推广至链状图，提出新不变量入度箭图多项式矩阵，并研究了(p,2)-环面型链状图的指向性拟着色箭图。
2025-10-13 math.AT math.CO math.GT
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
2020-08-06 math.CO
A $(5,5)$-coloring of $K_n$ with few colors
对于固定整数$p$和$q$，令$f(n,p,q)$表示对完全图$K_n$的所有边着色所需的最小颜色数，使得没有$p$顶点的团跨越少于$q$的不同颜色。任何具有此性质的边着色都称为$(p,q)$着色。我们构造了一个显式的$(5,5)$ -着色，证明了$f(n,5,5) \leq n^{1/3 + o(1)}$是$n \rightarrow \infty$ .这改进了Erdens和Gyárfás给出的$O\left(n^{1/2}\right)$的最佳概率上限，并且接近于匹配最佳已知下限$Ω\left(n^{1/3}\right)$。
2017-02-21 math.CO
Conflict-Free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图中，无冲突着色（相对于开邻域）是对图$G$的顶点的颜色分配，使得$G$中的每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。无冲突着色问题要求找到无冲突着色所需的最小颜色数。无冲突着色问题是NP完全的。Abel et. [SODA 2017]，可以推断每个平面图都有最多9种颜色的无冲突着色。由于平面图最著名的下界是四色，在同一篇论文中有人问，如果更少的颜色就足够了。我们在回答这个问题上取得了进展，证明了每个平面图最多可以用六种颜色着色。同样的证明思想被用来证明每一个外平面图可以用最多五种颜色着色。使用不同的方法，我们进一步表明，每一个outerplanar图可以着色使用最多四种颜色。最后，我们研究了Kneser图上的问题。我们证明了当$n\geq k(k+1)^2 + 1$满足一定条件时，$k+2$着色是对Kneser图$K(n,k)$着色的充分必要条件.
2019-10-02 cs.DM math.CO
Long paths need not minimize $H$-colorings among trees
针对树中 $H$-着色数最小化问题，本文提出枚举类路径树到高对称目标图同态的新策略，构造目标图 $H$ 与树 $E_n$，证明充分大的 $n$ 下其着色数可严格少于路径。
2025-10-21 math.CO
Inside-Out Polytopes
我们提出了一个共同的推广计算的合理多面体格点和计数适当的图形着色，无零流的图形，幻方和图形，反幻方和图形，组成的一个整数的部分是部分不同的，和广义拉丁方。我们的方法是将Ehrhart的格点计数理论推广到由超平面排列分割的凸多胞体。我们特别开发的应用程序，图和签名图着色，组成的整数，和antimagic标签。
2005-08-15 math.CO
FirstFit online coloring in the random order model
Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术研究院）
本文研究随机顺序模型下FirstFit在线着色算法，将其树图分析推广至稀疏图类，证明其在冠图上仅用O(1)颜色，明确密度不足以保证二分图的O(1)颜色，指出部分图类随机改进有限并提出开放问题。
2026-09-01 cs.DM cs.DS math.CO
The list coloring number of uncrowded hypergraphs
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）
研究证明，对于固定整数r≥2和任意ε>0，足够大的稀疏(r+1)超图在最大度Δ下，列表着色数上限为(1+ε)(rΔ/logΔ)^{1/r}。通过半随机列表着色nibble方法，结合主动边着色约束和二项式度数界控制，最终完成着色。
2026-07-07 math.CO
An explicit edge-coloring of K_n with six colors on every K_5
对于固定的整数p和q，设f（n，p，q）表示使完全图K_n的所有边着色所需的最少颜色数，使得p个顶点的团的颜色数不少于q个。给出了一个证明f（n，5，6）< n^（1/2+o（1））的构造.这改进了Erdens和Gyárfás给出的O（n^（3/5））的最著名的概率上界。还证明了f（n，5，6）= Ω（n^（1/2））.
2017-04-06 math.CO
Counting dominating sets and related structures in graphs
本文研究了正则图的最大（强）控制集个数问题，以及它们的加权类似问题。我们的主要工具是希勒熵引理。这些技术扩展到一个相当广泛的一类图参数枚举顶点着色满足条件的多集的颜色出现在（封闭）的街区。我们还进一步推广到计数问题，我们称之为存在同态。在这里，我们的结果基本上不那么完整，尽管我们确实解决了一些自然问题。
2015-03-03 math.CO
The Balanced Four-Color Theorem
The University of Tokyo（东京大学）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
研究n≥3顶点平面图的染色问题，核心方法是证明其能进行特定4染色且可在O(n log n)时间找到，贡献是给出最优界限并扩展到更多颜色及一般曲面图。
2026-07-15 cs.DS math.CO
Sampling Colorings and Independent Sets of Random Regular Bipartite Graphs in the Non-Uniqueness Region
对于自旋系统，例如$q$着色和独立集模型，在所谓的非唯一性区域中近似配分函数，其中模型表现出长程相关性，对于有界度图通常在计算上是困难的。我们提出了新的算法的结果，近似的分区函数和抽样的吉布斯分布的自旋系统的非唯一性区域的随机规则二分图。本文给出了几乎所有$Δ$ -正则二部图上偶$q=O\big(\tfracΔ{\logΔ}\big)$的$q$ -染色的一个$\mathsf{FPRAS}$.这是在唯一性区域中的一般图的采样算法的因子$O(\logΔ)$内，并且在Jenssen、Keevash和Perkins（SODA'19）的$q=O\big(\tfrac{\sqrtΔ}{(\logΔ)^2}\big)$的先前最佳界上显著改进。类似地，对于$λ>0$加权的独立集上的硬核模型，我们提出了一个$\mathsf{FPRAS}$来估计当$λ=Ω\big(\tfrac{\logΔ}Δ\big)$时的配分函数，它通过一个$Ω(\log Δ)$因子改进了以前的结果。我们的着色和硬核模型的结果遵循适用于任意自旋系统的一般结果。我们的主要贡献是展示如何提升概率/分析边界上的边缘概率的典型结构的阶段随机二分规则图到有效的算法，使用聚合物的方法。我们进一步证明，我们的结果着色是在一个恒定的因素，最好的使用目前的聚合物方法的方法。
2021-05-04 cs.DM cs.DS math.CO
On Rainbow Cycles and Proper Edge Colorings of Generalized Polygons
一个单图$G$的边着色称为\textit{proper rainbow-cycle-forbidding}（PRCF），如果没有两个关联边接收相同的颜色，并且对于$G$中的任何一个圈，该圈中至少有两个边接收相同的颜色.如果图$G$允许PRCF边着色，则它被定义为\textit{PRCF-good}，否则它被认为是\textit{PRCF-bad}。在最近的工作中，Hoffman等人研究了PRCF边着色，并发现了许多围长小于或等于4的PRCF-坏图的例子。然后，他们问是否存在这样的图具有周长大于4。在我们的工作中，我们给出了一个简单的计数参数表明，霍夫曼-辛格尔顿图回答这个问题的情况下，围长5肯定的。然后，它表明，某些广义多边形，构造足够大的顺序，也是PRCF坏，从而证明存在的PRCF坏图的围长为6，8，12，和16。
2021-06-09 math.CO
A Simple Characterization of Proportionally 2-choosable Graphs
我们最近介绍了比例可选性，一个新的列表模拟公平着色。像是一种颜色，不像是一种颜色。公平的可选择性），比例的可选择性从上到下都限制了颜色类的大小。本文证明了一个图是比例2-可选的当且仅当它是一个线性森林，使得它的最大分支至多有5个顶点，并且它的所有其他分支都有两个或更少的顶点。我们还构造的例子表明，公平的2-可选图的特征仍然是开放的。
2018-06-29 math.CO
Counting edge-Kempe-equivalence classes for 3-edge-colored cubic graphs
一个图的两个边着色是{ \em edge-Kempe等价}的，如果一个边着色可以通过一系列的边-Kempe交换从另一个边着色得到.本文给出了三次图的边-Kempe等价类个数的一些结果。特别地，我们证明了每个2-连通平面二部三次图恰好有一个边-Kempe等价类。此外，我们展示了无限多个非平面二部三次图的边Kempe等价类的数量范围。技术的发展，将是有用的分析其他类别的图形以及。
2012-09-08 math.CO
Proper Conflict-free Coloring of Graphs with Large Maximum Degree
本研究针对图的正常无冲突着色问题，基于通用框架结合Rosenfeld计数方法，给出大最大度下图的列表着色上界及渐近最优的分数着色结果，推进了相关猜想的研究。
2024-03-07 math.CO
Upper bounds for the achromatic and coloring numbers of a graph
Dvotelák \emph{et al.}引入了图$G$的Randić指标的一个变体，记为$R'(G)$，其中$R'(G)=\sum_{uv\in E(G)}\frac 1 {\max\{d(u), d(v)\}}$和$d(u)$表示$G$中顶点$u$的度。图$G$的色数$col(G)$是最小的数$k$，对于该最小的数，存在$G$的顶点的线性排序，使得每个顶点之前的邻居少于$k$。众所周知，对于任何图$G$，都有$χ(G)\leq col(G)$，其中$χ(G)$表示$G$的色数.本文证明了对任何不含孤立点的图$G$，$col(G)\leq 2R'(G)$具有相等性当且仅当$G$是通过用一个完全图的顶点确定一个星的中心而得到的.这推广了一些已知的结果。此外，我们给出了图的染色数和消色数的一些新的谱界。
2015-11-05 math.CO
New results in $t$-tone coloring of graphs
$G$的$t$ -色调$k$ -着色将来自$\{1,..., k\}$的$t$颜色集合分配给$G$的每个顶点，使得在距离$d$处的顶点共享比$d$公共颜色少的公共颜色。$G$的{ \it $t$ -色调色数}，记为$τ_t(G)$，是使$G$具有$t$ -色调$k$ -着色的最小$k$. Bickle和菲利普斯表明，总是$τ_2(G) \le [Δ(G)]^2 + Δ(G)$，但强调，事实上$τ_2(G) \le 2Δ(G) + 2$ ;我们确认这一猜想时，$Δ(G) \le 3$，也表明，总是$τ_2(G) \le \ceil{(2 + \sqrt{2})Δ(G)}$。对于一般的$t$，我们证明了$τ_t(G) \le (t^2+t)Δ(G)$ .最后，对于每个$t\ge 2$，我们表明，存在常数$c_1$和$c_2$，使得对于每棵树$T$，我们有$c_1 \sqrt{Δ(T)} \le τ_t(T) \le c_2\sqrt{Δ(T)}$。
2011-08-24 math.CO
$t$-tone colorings of outerplanar and Halin graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文研究了外平面图和哈林图的$t$-tone着色问题，确定了子三次外平面图的2-tone色数，并为哈林图给出了2-tone色数的上界。
2026-03-19 math.CO
Strong spatial mixing for list coloring of graphs
自旋系统中的空间混合和强空间混合的性质已经引起了人们的兴趣，因为它对无限图上吉布斯测度的唯一性和计数问题的有效近似的影响，否则已知是#P困难的。在着色的上下文中，强空间混合已经建立了规则树时，$q \geq α^{*} Δ+ 1$其中$q$颜色的数量，$Δ$是度和$α^* = 1.763..$是唯一的解决方案，以$xe^{-1/x} = 1$。对于有界度格图，当有$q \geq α^* Δ- β$满足一定的常数$β$时，也建立了这一定理，其中$Δ$是图的最大顶点度.后者使用的技术的基础上递归构建耦合的马尔可夫链，而前者是基于建立树上的相关性衰减。我们建立强空间混合列表着色任意有界度的三角形自由图的每个顶点$v$的列表的大小至少是$αΔ(v) + β$，其中$Δ(v)$是顶点$v$和$α> α^*$和$β$的程度是一个常数，只依赖于$α$。我们这样做是通过证明衰减的相关性，通过递归收缩的边缘测量相对于一个适当选择的误差函数之间的距离。
2012-07-05 cs.DM math.CO math.PR
The forb-flex method for odd coloring and proper conflict-free coloring of planar graphs
本研究提出贪心着色新工具forb-flex方法，结合放电法改进了平面图奇着色与正常无冲突着色的色数上界，优化了已有研究结果。
2024-01-26 math.CO
Sidorenko's conjecture, colorings and independent sets
令$\hom(H,G)$表示从图$H$到图$G$的同态的数目。Sidorenko猜想断言，对于任何二分图$H$和图$G$，我们有$$\hom(H,G)\geq v(G)^{v(H)}\left(\frac{\hom(K_2,G)}{v(G)^2}\right)^{e(H)},$$，其中$v(H),v(G)$和$e(H),e(G)$分别表示图$H$和$G$的顶点和边的数目。本文对某些特殊图$G$证明了Sidorenko猜想：对$q$顶点上的完全图$K_q$，对$K_2$的一个端点上加了一个环，对$3$顶点上的一条路的每个顶点上加了一个环.这些情形对应于图$H$的计数着色、独立集和Widom-Rowlinson着色。例如，对于一个二分图$H$，$q$ -着色数$\textrm{ch}(H,q)$满足$$\textrm{ch}(H,q)\geq q^{v(H)}\left(\frac{q-1}{q}\right)^{e(H)}.$$事实上，我们将证明在后两种情况下（独立集和Widom-Rowlinson着色），图$H$不需要是二分的。在所有情况下，我们首先证明了一定的相关不等式，这意味着Sidorenko猜想在一个更强的形式。
2017-02-02 math.CO
Colorings with only rainbow arithmetic progressions
如果我们想用所有3项等差数列都是彩虹的属性（也就是说，它们的元素接收3种不同的颜色）来给$1,2,\ldots,n$着色，那么，显然，我们至少需要使用$n/2$颜色。令人惊讶的是，如果我们允许保留一小部分整数不着色，那么颜色就少得多了。具体地说，我们证明了存在$α,β<1$，使得对于每个$n$，存在一个大小至少为$n-n^α$的$\{1,2,\ldots,n\}$的子集$A$，其元素可以用$n^β$颜色着色，并且$A$中的每个3项算术级数都是彩虹.此外，$β$可以选择为任意小。我们的结果可以很容易地推广到任何$k\ge 3$的$k$ -项等差数列.作为推论，我们得到了Alon，Moitra和Sudakov的以下结果，这些结果可用于设计共享定向多信道上的有效通信协议。存在$α',β'<1$使得对于每个$n$，存在一个图，该图具有$n$顶点和至少$\binom{n}{2}-n^{1+α'}$边，其边集最多可划分为$n^{1+β'}$诱导匹配.
2019-12-16 math.CO
Counting the Number of Domatic Partition of a Graph
本文引入支配划分多项式 $DP(G,x)$ 来计数图的支配划分，并基于弱 2-着色数为树设计了二次时间计算算法，同时给出了路径和某些图乘积上的具体结果。
2024-06-27 cs.DM math.CO
Combinatorial Bounds for Conflict-free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图$G$中，关于开邻域的无冲突着色（表示为CFON着色）是对顶点的颜色分配，使得每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。$G$的CFON着色所需的最小颜色数是$G$的CFON色数，用$χ_{ON}(G)$表示。询问$χ_{ON}(G) \leq k$是否是NP完全的决策问题。我们得到了以下结果：* Bodlaender，Kolay和Pieterse [WADS 2019]显示了上界$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+3$，其中${\sf fvs}(G)$表示$G$的最小反馈顶点集的大小。我们证明了$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+2$的改进界，它是紧的，从而回答了上述文件中的一个公开问题。* 本文研究了图$χ_{ON}(G)$与图$G$的路宽之间的关系，记为${\sf pw}(G)$ .上述来自WADS 2019的论文显示了上界$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf tw}(G)+1$，其中${\sf tw}(G)$代表$G$的树宽。这意味着$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf pw}(G)+1$的上界。给出了$χ_{ON}(G) \leq \lfloor \frac{5}{3}({\sf pw}(G)+1) \rfloor$的一个改进的界. * 我们证明$χ_{ON}(G)$的结构参数邻域多样性和聚类距离方面的新的界限，改…
2020-07-10 math.CO
