Dinv, Area, and Bounce for $\vec{k}$-Dyck paths
著名的$q,t$ -Catalan序列作为普通Dyck路的加权和有两种组合解释：一种是Haglund的面积反弹公式，另一种是Haiman的单位面积公式. zeta映射是为了连接这两个公式而构造的：它是从普通Dyck路径到它们自身的双射，它需要dinv到面积，面积到反弹。Loehr把这个结果推广到$k$ -Dyck路径上. Zeta地图由Armstrong-Loehr-Warrington扩展为非常一般的一类路径。本文推广了$\vec{k}$ -Dyck路径的面积反弹结果：i）给出了$\vec{k}$-Dyck路径反弹统计量的尺规作图法，其中包括$k$ -Dyck路径和普通Dyck路径的特殊情况; ii）给出了$\vec{k}$ -Dyck路径的dinv统计量的几何解释。我们的反弹结构受到Loehr结构和Xin-张的线性算法反演扫描映射上的$\vec{k}$ -Dyck路径。我们的dinv解释受到Garsia-Xin在理性Dyck路径上对dinv到面积结果的视觉证明的启发。
2020-11-10 math.CO
Humps for Dyck and for Motzkin paths
我们计算的总数量的驼峰在戴克和Motzkin路径，我们给标准的杨表格所涉及的数字的解释。然后观察到有趣的现象，驼峰计算改变分区在一个带的分区在一个钩。
2010-02-24 math.CO
Some combinatorics related to central binomial coefficients: Grand-Dyck paths, coloured noncrossing partitions and signed pattern avoiding permutations
我们给出了某些整数序列的参数的Grand-Dyck路径和有色不相交划分的一些解释，我们发现了一些新的双射有关Grand-Dyck路径和符号模式避免置换。接下来，我们转移一个自然的分配格结构的Grand-Dyck路径的有色非交叉分区和签署的模式，避免置换，从而显示，特别是，它是同构的结构诱导的（强）Bruhat秩序上的某一组签署的模式，避免置换。
2008-06-05 math.CO
Counting generalized Dyck paths
Catalan数有很多解释，其中之一就是Dyck路的数量。Dyck路径是从$(0,0)$到$(n,n)$的位于对角线$y=x$下方的晶格路径。推广Dyck路定义的一种方法是改变Dyck路的终点，即我们定义（广义）Dyck路为从$(0,0)$到$(m,n) \in \mathbb{N}^2$的一条格路，它位于对角线$y=\frac{n}{m}x$的下方，用$C(m,n)$表示从$(0,0)$到$(m,n)$的Dyck路的个数.本文给出了计算任意$m$和$n$的$C(m,n)$的公式。
2013-04-20 math.CO
Weighted unary-binary trees, Hex-trees, marked ordered trees, and related structures
十六进制树被认为是加权一元-二元树的一个特殊实例。这些对象的Horton-Strahler数被重新访问，并且由于不是立即直观的替代，明确的结果是可能的。它们也被渐近估计所增强。此外，标记有序树（在双射斜Dyck路径）进行了研究，其次是3-Motzkin路径和多边缘树。基本主题是整数序列百科全书中的序列A002212。
2021-08-16 math.CO
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1}, s_{k+1,1^{n-k}} \rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langleΔ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n}, h_m h_n \rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）的扩展摘要：即将出版的出版物将提供证明和其他细节和结果。
2017-11-10 math.CO
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture (FULL VERSION)
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1},s_{k+1,1^{n-k}}\rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langle Δ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n},h_m h_n\rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）arXiv：1711.03923的完整版本。
2017-12-23 math.CO
Generating functions of lattice paths
本文回顾格路径的主要类型，并利用 Riordan 数组方法统一、澄清和简化各类格路径的生成函数及相关整数序列。
2024-01-15 math.CO
Anchored Dyck Paths
University of Georgia（佐治亚大学）
本文通过二进制项链和锚定达克路径解释了一个推广有理卡塔兰数的公式，回答了Simental提出的问题。
2026-05-14 math.CO math.RT
On Enumeration of Dyck Paths with colored hills
我们继续研究早期定义的函数fm和gm的性质，它们依赖于初始算术函数f0。在本文中，f0的值是精细数。我们研究函数fi; gi;（i = 1; 2; 3; 4）。对于每个函数，我们推导出一个明确的公式，并给出一个组合的解释。看来g2和g3是著名的组合对象，称为加泰罗尼亚三角形。最后我们得到一个由十个元素组成的恒等式。
2018-03-21 math.CO
Dyck path triangulations and extendability
本文介绍了两个单形$Δ_{n-1}\timesΔ_{n-1}$的笛卡儿积的Dyck路径三角剖分。这种三角剖分的最大单形由Dyck路径给出，并且其构造自然地推广到使用有理Dyck路径产生$Δ_{r\ n-1}\timesΔ_{n-1}$的三角剖分。我们的研究Dyck路径三角剖分的动机是两个单纯形的乘积的部分三角剖分的可拓性问题。我们表明，只要$m\geq k>n$，任何三角的$Δ_{m-1}^{(k-1)}\timesΔ_{n-1}$扩展到一个独特的三角的$Δ_{m-1}\timesΔ_{n-1}$。此外，通过一个显式构造，我们证明了界$k>n$是最优的。我们还表现出有趣的解释，我们的结果在语言的热带定向拟阵，这是类似于经典的结果在定向拟阵理论。
2014-02-20 math.CO
Permutation-generated maps between Dyck paths
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung（万隆理工学院数学系）；Department of IT and Big Data Analytics, Calvin Institute of Technology（卡尔文理工学院信息技术与大数据分析系）
在2003年，Deutsch和Elizalde定义了一类Dyck路集到自身的双射映射，这类映射是由一些特殊的置换诱导的。在本文中，我们通过允许置换是任意的，推广了映射的构造。我们将生成相同映射的置换进行排序，并找到所有生成双射的置换。因此，我们给出了一个新的组合解释的数量$(2n-1)!!$，以及一些新的统计Dyck路径等分布到一些已知的高度统计，通过我们的广义地图。
2022-12-30 math.CO
Generalized Dyck paths of bounded height
广义Dyck路径（或离散偏移）是一维路径，它们在给定的有限集S中采取步骤，开始和结束于高度0，并保持在非负高度。Bousquet-Mélou证明了不超过k的高度偏移的母函数E_k是F_k/ F_{k+1}的形式，其中F_k是满足线性递推关系的多项式。本文用转移矩阵法给出了多项式F_k及其递推关系的组合解释。然后，我们将我们的方法扩展到枚举离散的曲折（或从0开始并保持在非负高度，但可能在任何地方结束的路径）。最后，我们研究的特殊情况下，设置S是对称的，并表明，几个简化发生。
2013-03-11 math.CO
A bijection between bargraphs and Dyck paths
条形图是一类特殊的凸多项式。它们可以用晶格路径来标识，晶格路径的单位步长分别为北、东、南，起始于原点，终止于$x$轴，并且除了端点之外的任何地方都严格位于$x$轴上方。在统计物理学中，条形图被用来表示直方图和建模聚合物，在文献中已经通过半周长和其他几种统计方法进行了列举，使用不同的方法，如Bousquet-Mélou和Rechnitzer的蜂腰分解，以及某些Motzkin路径的双射。本文描述了条形图与Dyck路之间的一种特殊的双射，并研究了一些统计量如何由这种双射映射。因此，我们得到一个新的解释加泰罗尼亚数，计数条形图的半周长减去峰的数量是固定的。
2017-05-17 math.CO
Bi-banded Paths, a Bijection and the Narayana Numbers
我们找到了双带状路径和峰值计数路径之间的双射，适用于两类格路径，包括Dyck路径。因此，我们找到了一个新的解释Narayana数的权重多项式枚举双带Dyck路径，这类路径自然出现在以前的文献中的“TASEP”随机过程的稳态的解决方案的系数。
2010-05-10 math.CO
Down-step statistics in generalized Dyck paths
本文研究广义Dyck路径中上步对间下行步的计数，通过双射和生成函数证明，发现与穿孔卷积码的联系，并给出Catalan数的新组合解释。
2022-05-13 cs.DM math.CO
Peaks and peak-nestings on unit interval graphs
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文在单位区间图上引入峰嵌套统计量，通过Dyck路径与双色Motzkin路径的双射细化Touchard恒等式，研究各类子图的多项式性质，并联系格路径拟阵。
2026-09-30 math.CO
Dyck algebras, interval temporal logic and posets of intervals
研究了等长Dyck路集合上的一种自然Heyting代数结构。给出了伪补运算、相对伪补运算以及正则元素的几何描述。我们还发现这样的海廷代数，我们称之为戴克代数的逻辑理论解释，通过显示它们是一个经典的区间时态逻辑（也称为Halpern-Shoham逻辑）的某个片段的代数对应。最后，我们提出了一个推广我们的方法，提出了类似的研究所产生的Heyting代数的偏序集的区间的有限偏序集使用Birkhöff对偶。为了说明这一点，我们展示了几个组合参数的Dyck路径可以表示的Heyting代数结构的Dyck代数连同一定的总秩序的原子集的每个Dyck代数。
2015-03-17 cs.DM cs.LO math.CO
How to decompose a permutation into a pair of labeled Dyck paths by playing a game
我们给出了长度为2n的置换和某些Dyck路径对与标签的下降步骤之间的双射。双射来自一个游戏，在这个游戏中，两个玩家从一组2n个项目中交替选择：排列编码了玩家对项目的偏爱序，而戴克路径编码了在最佳游戏下选择项目的顺序。我们列举排列的某些统计数据，AA反转和BB反转，这在游戏方面有自然的解释。给出了经典恒等式如\sum_p \prod_{i=1}^n q^{h_i-1} [h_i]_q = [1]_q [3]_q. [2n-1]_q，其中和是在所有长度为2n的Dyck路p上，h_i是p的下台阶的高度。
2013-06-28 cs.GT math.CO math.PR
How to bounce your canon permutation
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文研究了一类新的回文下降多项式，通过Dyck路径和排列生成因果排列，并探讨了其多项式性质及组合解释。
2026-03-23 math.CO
Matchings and shape-Wilf-Equivalence of sets of patterns of length three II: Quadruples and Quintuples
Indian Institute of Technology, Bombay（印度孟买理工学院）；Indian Institute of Science, Bengaluru（印度班加罗尔印度科学学院）
本文完成了长度为三的模式四元组和五元组的shape-Wilf等价分类，引入Dyck路径方法处理Ferrers板，获得新等价关系、计数公式及匹配枚举的双射解释。
2026-10-02 math.CO
Restricted Grassmannian permutations
本文研究了Grassmannian排列的模式避免与奇偶性限制，推导了避免任意大小经典模式的计数公式，并给出了基于Dyck路径和Schröder路径的组合解释与双射。
2022-03-18 math.CO
Inequalities among two rowed immanants of the $q$-Laplacian of Trees and Odd height peaks in generalized Dyck paths
本文证明了树$q$-拉普拉斯算子归一化immanant在两行划分下的不等式序列，主要引理涉及二项式系数与不可约特征标，并给出了Riordan路径及广义Dyck路径奇数高度峰的组合与概率解释。
2023-07-29 math.CO
Patterns in Multi-dimensional Permutations
本文提出一个通用框架，将排列模式理论推广到多维，通过引入“层”概念统一多种组合对象，并为OEIS序列提供组合解释，特别为Springer数给出优雅的组合计数解释。
2024-11-05 math.CO
ad-nilpotent $\frak b$-ideals in sl(n) having a fixed class of nilpotence: combinatorics and enumeration
本文研究了$sl(n+1,\Bbb C)$的Borel子代数的幂零理想的组合.我们提供了一个归纳的方法来计算类的零这些理想和公式的理想的数量有一个给定的类的零。基于ad-幂零理想幂零理想与Dyck路之间的一个显著的双射，我们研究了这些结果与Dyck路的组合数学之间的关系.最后，我们提出了Catalan数$C_n$的（q，t）-模拟.这些（q，t）-Catalan数计数一方面广告-幂零理想方面的维数和类的零，另一方面承认的解释，在自然统计的戴克路径。
2000-04-17 math.CO math.RA
Brick Wall Excursions: Combinatorial Interpretation of Random Flight Moments
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；Sorbonne Université, CNRS, LIP6 UMR 7606（索邦大学，法国国家科学研究中心，LIP6 UMR 7606）
本文研究了任意维度中短的均匀随机游走的预期距离，并为d=2和d=4的情况提供了随机飞行时刻的组合解释，通过m-1维的2n步格路来解释。
2026-05-15 math.CO
Deficit and $(q,t)$-symmetry in triangular partitions
Université Paris-Saclay, CNRS（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心）
本文研究三角Dyck路径的(q,t)计数，引入三角和sim-sym表格及亏缺统计量，用于三角2划分的新结果及猜想。
2026-03-31 math.CO
Path counting and random matrix theory
我们建立了三个身份涉及戴克路径和交替Motzkin路径，其证明是基于同一双射的变种。我们用半直线上的闭随机游动来解释这些恒等式。我们解释如何产生这些身份的组合解释的某些属性的$β$ -厄米和$β$ -拉盖尔合奏的随机矩阵理论。最后，我们提出了其他两个身份以同样的方式获得，其中找到组合证明是一个开放的问题。
2003-07-17 math.CO
Integer sequences and k-commuting permutations
令$β$是$n$符号上的任何置换，并且令$c(k, β)$是$k$ -与$β$交换的置换的数目。置换$β$的循环类型是向量$(c_1, \dots, c_n)$，使得$β$在其不相交循环因式分解中恰好具有长度为$i$的$c_i$循环。在这篇文章中，我们得到了$c(k, β)$的公式，对一些循环类型。我们还表示这些公式的整数序列中给出的“在线百科全书序列”（OEIS）。对于这些序列中的一些，我们获得新的解释或与OEIS数据库中的序列的关系。
2015-11-30 math.CO
Matrix Identities on Weighted Partial Motzkin Paths
本文给出了Catalan数上的矩阵恒等式和Shapiro，Woan和Getu利用Riordan阵列导出的序列$(1, 4, 4^2, 4^3, ...)$的组合解释.通过给出带提升线的加权部分Motzkin路与加权自由Motzkin路之间的一个双射，得到了任意$k \geq 2$的加权Motzkin路个数与序列$(1, k, k^2, k^3, ...)$的一个矩阵恒等式.通过扩展这一论点部分Motzkin路径与多个海拔线，我们给出了一个身份最近获得的卡梅隆和Nkwanta的组合证明。还给出了有色Dyck路上的矩阵恒等式，从而得到序列$(1, t^2+t, (t^2+t)^2, ...)$的矩阵恒等式.
2005-09-12 math.CO
Homological algebra of Nakayama algebras and 321-avoiding permutations
本文通过线性Nakayama代数与Dyck路径及321-避免排列的自然对应，给出了不动点统计量的同调解释，并证明了Jacobson根的自我扩张空间同构于$K^{\mathfrak{s}(\pi)}$。
2025-05-26 math.CO math.RT
Peaks are preserved under run-sorting
我们研究排序程序（运行排序）排列，其中运行重新排列的字典顺序。我们描述了一个相当令人惊讶的双射置换长度$n$，与属性，它发送的峰值集的峰值后运行排序。我们还证明了期望的下降数在排列$σ\in S_{n}$运行排序后等于$(n-2)/3$。此外，我们提供了Nabawanda，Rakotondrajao和Bamunoba在2020年引入的指数母函数的封闭形式，用于$[n]$的游程排序排列的数量，（$RSP(n)$）具有$k$游程，这给出了一个新的解释序列在线百科全书中的序列A124324。我们表明，下降生成多项式，$A_{n}(t)$为$RSP(n)$是真正的根源，并满足类似的欧拉多项式所满足的交错属性。最后，我们研究了游程排序的二进制字，并计算了游程排序后的期望下降数的长度为$n$的二进制字。
2021-05-20 math.CO
On a Family of Nested Recurrences and Their Arithmetical Solutions
本文研究了一族由整数 $m \ge 1$ 参数化的嵌套递推关系，证明其唯一解为 $a(n)=n-h(n)$，推导了显式取整公式，并探讨了其组合解释及与 OEIS 的联系。
2025-05-30 math.CO
Relations between the properties of a complete rooted tree and the properties of a distribution of lengths of randomly generated strings
让我们将高度为$n$的完全$m$ -ary有根树图表示为$G$。在本文的范围内，我们证明了$G$的属性和字符串的长度分布的期望和方差之间的某些关系，产生如下：从一个空字符串开始，我们从字母表$\{ α_1, α_2, \dots α_m \}$中挑选一个随机符号，并将其附加到字符串，该过程继续，直到我们看到一行中的特定符号的$n$实例。考虑随机变量$ξ_{m,n}$，其表示根据所描述的过程生成的字符串的长度。期望$\mathbb{E}[ξ_{m,n}]$和方差$\mathrm{Var}[ξ_{m,n}]$取决于$m$（字母表的大小）和$n$（定义字符串生成过程的停止标准的参数）。此外，让我们将$G$的所有2元组节点上的公共路径长度之和表示为$S_{m,n}$，并让我们将$G$中的边的总数表示为$T_{m,n}$。在本文的范围内，我们证明了以下关系对所有的$m,n \geq 1$都成立：$\mathbb{E}[ξ_{m,n}] = T_{m,n}$和$\mathrm{Var}[ξ_{m,n}] = (m-1) \cdot S_{m,n}$。虽然已知$\mathbb{E}[ξ_{2,n}]$和$T_{2,n}$均由来自On-Line Encyclopedia of Sequences（OEIS）的序列A000918描述，并且已知$S_{2,n}$由OEIS序列A286778描述，但我们…
2020-07-13 math.CO
